《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 二、x→x时函数的极限 (一)引言 上节讨论的函数f当x→+o时的极限，是假定∫为定义在[a,+∞)上的函数，这事实上是 U(+oo),即∫为定义在U(+∞)上，考虑x→+∞时f(x)是否趋于某个定数A. 本节假定∫为定义在点x,的某个空心邻域U(x,)内的函数，现在讨论当x→xx≠x,) 时，对应的函数值能否趋于某个定数A数列， 先看下面几个例子： 例1fx)=1(x≠0).（fx)是定义在U(0)上的函数，当x→0时，fx)→1)。 例20)=-4.（)是定义在U2上的函数，当x→2时，f)→4). x-2 例3因-士（是定义在U0上的商数，当→0时，九因). 由上述例子可见，对有些函数，当x→x(x≠x)时，对应的函数值fx)能趋于某个定数 A:但对有些函数却无此性质.所以有必要来研究当x→x(x≠x。)时，∫(x)的变化趋势. 我们称上述的第一类函数fx)为当x→x。时以A为极限，记作Iimf(x)=A. 和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法.不是严格的数学定义.那么如何给 出这类函数极限的精确定义呢？ 作如下分析： “当自变量x越来越接近于x时，函数值f(x)越来越接近于一个定数A”→只要x充分接 近x。,函数值∫x)和A的相差就会相当小→欲使fx)-A相当小，只要x充分接近。就可以 了.即对Vs>0,36>0,当0x-xk6时，都有1f(x)-Ak6.此即1imf)=A. (二)x→xx≠x)时函数极限的E-6定义 定义2设函数f(x)在点x的某个空心邻域U°(x。;6)内有定义，A为定数，若对任给的 6>0,3(<8>0,使得当0x-xK6时有1f(x)-Aks,则称函数∫当x趋于时以A为 极限（或称A为x→x,时f)的极限），记作m)=A或(f)→4x→) (三)函数极限的ε-6定义的几点说明《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 4 二、 0 x x → 时函数的极限 (一) 引言 上节讨论的函数 f 当 x → + 时的极限，是假定 f 为定义在 [ , ) a + 上的函数，这事实上是 U( ) + ，即 f 为定义在 U( ) + 上，考虑 x → + 时 f x( ) 是否趋于某个定数Ａ. 本节假定 f 为定义在点 0 x 的某个空心邻域 ( ) 0 U x 0 内的函数，.现在讨论当 0 0 x x x x →  ( ) 时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列. 先看下面几个例子： 例 1 f x x ( ) 1( 0) =  .（ f x( ) 是定义在 0 U (0) 上的函数，当 x →0 时， f x( ) 1 → ）. 例 2 2 4 ( ) 2 x f x x − = − .（ f x( ) 是定义在 0 U (2) 上的函数，当 x →2 时， f x( ) 4 → ）. 例 3 1 f x( ) x = .（ f x( ) 是定义在 0 U (0) 上的函数，当 x →0 时， f x( ) ? → ）. 由上述例子可见，对有些函数，当 0 0 x x x x →  ( ) 时，对应的函数值 f x( ) 能趋于某个定数 Ａ；但对有些函数却无此性质.所以有必要来研究当 0 0 x x x x →  ( ) 时， f x( ) 的变化趋势. 我们称上述的第一类函数 f x( ) 为当 0 x x → 时以Ａ为极限，记作 0 lim ( ) x x f x A → = . 和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法.不是严格的数学定义.那么如何给 出这类函数极限的精确定义呢？ 作如下分析： “当自变量 x 越来越接近于 0 x 时，函数值 f x( ) 越来越接近于一个定数Ａ” → 只要 x 充分接 近 0 x ，函数值 f x( ) 和Ａ的相差就会相当小 → 欲使 | ( ) | f x A − 相当小，只要 x 充分接近 0 x 就可以 了.即对       0, 0 ，当 0 0 | |  −  x x  时，都有 | ( ) | f x A −   .此即 0 lim ( ) x x f x A → = . (二) 0 0 x x x x →  ( ) 时函数极限的  − 定义 定义 2 设函数 f x( ) 在点 0 x 的某个空心邻域 ( ) 0 0 U x ; 内有定义，Ａ为定数，若对任给的         0, ( ) 0  ，使得当 0 0 | |  −  x x  时有 | ( ) | f x A −   ，则称函数 f 当 x 趋于 0 x 时以Ａ为 极限（或称Ａ为 0 x x → 时 f x( ) 的极限），记作 0 lim ( ) x x f x A → = 或（ 0 f x A x x ( ) ( ) → → . (三) 函数极限的  − 定义的几点说明