《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 1、If(x)-Ak6是结论，0x-xK6是条件，即由0x-xk6推出. 2、ε是表示函数f(x)与A的接近程度的.为了说明函数f(x)在x→x。的过程中，能够任 意地接近于A,必须是任意的.这即ε的第一个特性一一任意性，即ε是变量：但&一经给定 之后，暂时就把ε看作是不变的了.以便通过s寻找6，使得当0x-xk6时1∫(x)-Ak8成 立.这即ε的第二特性一一暂时固定性.即在寻找6的过程中ε是常量：另外，若6是任意正数， 则三，E,.均为任意正数，均可扮演6的角色，也即6的第三个特性一一多值性： (If(x)-Aksf(x)-As) 3、δ是表示x与x,的接近程度，它相当于数列极限的6-N定义中的N.它的第一个特性 是相应性.即对给定的￡>0，都有一个6与之对应，所以6是依赖于￡而适当选取的，为此记之 为6(x:):一般说来，ε越小，6越小.但是，定义中是要求由0x-x,k6推出1f(x)-Ak6 即可，放若石满足此要求，则号等等比6还小的正数均可满足要求，因此6不是唯一的这即 δ的第二个特性一一多值性. 4、在定义中，只要求函数∫在x的某空心邻域内有定义，而一般不要求∫在x处的函数 值是否存在，或者取什么样的值.这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x趋于x,的过程中 函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关.所以可以不考虑∫在点a的函数值是否存在，或 取何值，因而限定“0x-”, 5、定义中的不等式0dx-xk6台x∈U(x,6):Ifx)-AkE台fx)∈U(4s).从而定 义2一e>0,36>0，当x∈U°(x,8)时，都有fx)eU(4)一e>0,38>0,使得 f(U(x.5))U(A:s). 6、6-6定义的几何意义. 创1设0-证期：里-4 例2设f(x)=1(x≠0)，讨论x→0时f(x)的极限 例3证明1)imsinx=sin:2)mco=cos, 《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 5 1、| ( ) | f x A −   是结论， 0 0 | |  −  x x  是条件，即由 0 0 | |  −  x x  推出. 2、 是表示函数 f x( ) 与Ａ的接近程度的.为了说明函数 f x( ) 在 0 x x → 的过程中，能够任 意地接近于Ａ，  必须是任意的.这即  的第一个特性——任意性，即  是变量；但  一经给定 之后，暂时就把  看作是不变的了.以便通过  寻找  ，使得当 0 0 | |  −  x x  时 | ( ) | f x A −   成 立.这即  的第二特性——暂时固定性.即在寻找  的过程中  是常量；另外，若  是任意正数， 则 2 , , , 2    均 为任 意 正数 ，均 可 扮演  的角色 .也 即  的 第 三个 特性 — —多 值性 ； （ | ( ) | f x A −    −  | ( ) | f x A  ） 3、 是表示 x 与 0 x 的接近程度，它相当于数列极限的  −N 定义中的Ｎ.它的第一个特性 是相应性.即对给定的   0 ，都有一个  与之对应，所以  是依赖于  而适当选取的，为此记之 为 0   ( ; ) x ；一般说来，  越小，  越小.但是，定义中是要求由 0 0 | |  −  x x  推出 | ( ) | f x A −   即可，故若  满足此要求，则 , 2 3   等等比  还小的正数均可满足要求，因此  不是唯一的.这即  的第二个特性——多值性. 4、在定义中，只要求函数 f 在 0 x 的某空心邻域内有定义，而一般不要求 f 在 0 x 处的函数 值是否存在，或者取什么样的值.这是因为，对于函数极限我们所研究的是当 x 趋于 0 x 的过程中 函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关.所以可以不考虑 f 在点 a 的函数值是否存在，或 取何值，因而限定“ 0 0 | |  −x x ”. 5、定义中的不等式 0 0 | |  −  x x  0 0  x U x( , )  ； | ( ) | ( ) ( ; ) f x A f x U A −      .从而定 义 2        0, 0 ， 当 0 0 x U x  ( , )  时 ， 都 有 f x U A ( ) ( ; )          0, 0 ，使得 ( ) 0 0 f U x U A ( , ) ( ; )    . 6、 − 定义的几何意义. 例 1 设 2 4 ( ) 2 x f x x − = − ，证明： 2 lim ( ) 4 x f x → = . 例 2 设 f x x ( ) 1( 0) =  ，讨论 x →0 时 f x( ) 的极限. 例 3 证明 1） 0 0 lim sin sin x x x x → = ；2） 0 0 lim cos cos x x x x → =