《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 使得当x>M时有Ifx)-AKe,则称函数∫当x→+o时以A为极限.记作 1imfx)=A或fx)→4x→+0). (三)几点注记 1、义1中作用ε与数列极限中作用相同，衡量f(x)与A的接近程度，正数M的作用与数 列极限定义中N相类似，表明x充分大的程度：但这里所考虑的是比M大的所有实数x, 而不仅仅是正整数n. 2、mf)=A的邻域描述：6,3U+o,当x∈U+o)时，)eU4E). 3、imf()=A的几何意义：对E,就有y=A+e和y=A-e两条直线，形成以A为中 心线，以2E为宽的带形区域。“当x>M时有|fx)-Akε”表示：在直线x=M的右方，曲线 y=f(x)全部落在这个带形区域内. 如果ε给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线x=M一般往右移；但无论带形区域 如何窄，总存在正数M,使得曲线y=f(x)在x=M的右边的全部落在这个更窄的带形区域内. 4、现记f为定义在U(-o)或U(o)上的函数，当x→-o或x→o时，若函数值f(x)能无 限地接近于常数A,则称∫当x→-0或x→o时时以A为极限，分别记作， 1imf(x)=A或fx)→A(x→-o), 1imf(x)=A或f(x)→A(x→o). 这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，简写如下： imf(x)=A台e>0,3M>0,当x<-M时，|fx)-AkE, Iimf(x)=A台s>0,3M>0,当|xbM时，Ifx)-Ake. 5、推论设fx)为定义在U(o)上的函数，则 lim f(x)=4 lim f(x)=lim f(x)=4. (四)利用Iimf(x)=A的定义验证极限等式举例 例1正明-0， 例2证明 1 )limarctx=-子：2)mrc=号 《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 3 使得当 x M 时有 | ( ) | f x A −   , 则称函数 f 当 x → + 时以Ａ为极限.记作 lim ( ) x f x A →+ = 或 f x A x ( ) ( ) → → + . (三) 几点注记 1、义 1 中作用  与数列极限中  作用相同，衡量 f x( ) 与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数 列极限定义中Ｎ相类似，表明 x 充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数 x ， 而不仅仅是正整数 n. 2、 lim ( ) x f x A →+ = 的邻域描述：   +  , ( ), U 当 x U + ( ) 时， f x U A ( ) ( ; ).   3、 lim ( ) x f x A →+ = 的几何意义：对  ，就有 y A = +  和 y A = − 两条直线，形成以Ａ为中 心线，以 2 为宽的带形区域.“当 x M 时有 | ( ) | f x A −   ”表示：在直线 x M= 的右方，曲线 y f x = ( ) 全部落在这个带形区域内. 如果  给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线 x M= 一般往右移；但无论带形区域 如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线 y f x = ( ) 在 x M= 的右边的全部落在这个更窄的带形区域内. 4、现记 f 为定义在 U( ) − 或 U ( )  上的函数，当 x →− 或 x → 时，若函数值 f x( ) 能无 限地接近于常数Ａ，则称 f 当 x →− 或 x → 时时以Ａ为极限，分别记作， lim ( ) x f x A →− = 或 f x A x ( ) ( ) → → − ， lim ( ) x f x A → = 或 f x A x ( ) ( ) → →  . 这两种函数极限的精确定义与定义 1 相仿，简写如下： lim ( ) x f x A →− =       0, 0, M 当 x M − 时， | ( ) | f x A −   ， lim ( ) x f x A → =       0, 0, M 当 | | x M 时， | ( ) | f x A −   . 5、推论 设 f x( ) 为定义在 U ( )  上的函数，则 lim ( ) x f x A → =  lim ( ) lim ( ) x x f x f x A →+ →− = = . (四) 利用 lim ( ) x f x →+ ＝Ａ的定义验证极限等式举例 例 1 证明 1 lim 0 x→ x = . 例 2 证明 1） lim x 2 arctgx  →− = − ；2） lim x 2 arctgx  →+ =