008春季班 线性代数第二章矩阵代数 2 100 021 且 0 2 000 (2E-CB)A=C-,求矩阵A ●矩阵可逆的等价命题 n阶矩阵A可逆 兮A的行列式的值不为0 兮A满秩 兮A的列向量组线性无关 兮以A为系数矩阵的齐次线性方程组Ar=0只 有零解 兮A可分解为一系列初等矩阵的乘积 兮对任意n维向量b,方程组Ax=b必有惟一解 兮A没有零特征值 例14设A是n阶方阵,且4≠0,若 A=A,证明A可逆 例15设A是实矩阵,AA=E,A<0,证明 A+E不可逆2008 春季班 线性代数 第二章 矩阵代数 2—9 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 C ，且 1 1 (2 ) − − E −C B A = C T ，求矩阵 A． z 矩阵可逆的等价命题 n阶矩阵 A可逆 ⇔ A的行列式的值不为０ ⇔ A满秩 ⇔ A的列向量组线性无关 ⇔以 A为系数矩阵的齐次线性方程组 Ax = 0只 有零解 ⇔ A可分解为一系列初等矩阵的乘积 ⇔对任意n维向量b，方程组 Ax = b必有惟一解 ⇔ A没有零特征值 例 1４ 设 A是n阶方阵，且 A ≠ 0, 若 T A = A * ，证明 A可逆． 例 1５ 设 A是实矩阵， A A = E, A < 0, T 证明 A+ E 不可逆．