第二章多元函数 同样可定义:若lm(xn,y+△y)-/(x,) 存在,则称此 极限值为厂在P点关于(对)y的偏导数,记成,(n,),或 flo,yo) D 存在,称之为关于(对)x偏导函数,简称关 于()x偏导数,()存在,称之为关于(对)y偏导函数简称关 o) 于(对)y偏导数 ●计算举例 x ay x ●高阶偏导数 (A)定义 称为对x的二阶偏导数 a2f aaf 称为(对x和y的)二阶混合偏导数 axay ax ay 类似可定义其他高阶混合偏导数 (B)混合偏导数中求导次序的影响: 定理:若二阶混合偏导数连续,则与求导次序无关,即: axon 证明: af(r,y)a(ar(x,,)_in S (+Ax, y)-S'x Ax lim lim f(x+Ax,y+ Ay)-f(xAx, y)-f(x, y+Ay)+f(x,y) 第二章多元函数第二章 多元函数 第二章 多元函数 2 同样可定义：若 ( ) y f x y y f x y y  +  −  → , ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称此 极限值为 f 在 P0 点关于(对) y 的偏导数,记成, ( ) y f x y   0 0 , , 或 ( ) 0 0 f x , y y  . D y x          , ( ) x f x y   , 存在，称之为关于(对) x 偏导函数,简称关 于(对) x 偏导数； ( ) y f x y   , 存在，称之为关于(对) y 偏导函数,简称关 于(对) y 偏导数. ⚫ 计算举例 : x y z =  y x z 1 =   , z x y =   , 2 z y z x = −    1 1 2  = −      − =           z y z z x x x y y z ⚫ 高阶偏导数 (A) 定义：           =   x f x x f : 2 2 , 称为对 x 的二阶偏导数;             =    y f x y x f : 2 称为(对 x 和 y 的)二阶混合偏导数; 类似可定义其他高阶混合偏导数. (B) 混合偏导数中求导次序的影响： 定理：若二阶混合偏导数 x y f    2 连续，则与求导次序无关, 即： y x f x y f    =    2 2 . 证明： ( ) ( )             =    y f x y x y x f x, y , 2 = ( ) ( ) x f x x y f x y y y x   +  −   → , , lim 0 = ( ) ( ) ( ) ( ) x y f x x y y f x x y f x y y f x y x y   +  +  − +  − +  +  →  → , , , , lim lim 0 0