由实对称矩阵的正交对角化可得实二次型的标准化本质上是二次型矩阵的正交对角化，因此有 重要结果任意的n元二次型xTAr都可以通过坐标变换x=C(注意C是可逆柜阵)化成标准形，即x'A虹= yTAy=d山听+d2+…+d琉，其中A=CTAC.特别地，存在正交变换x=Cy(C是正交矩阵)化xTAx 为标准形，即xTAx=1+X2呢+…+Xn,A=CTAC=C-1AC,这里X1,2,…,入是二次型矩阵A 的n个特征值. (③)二次型为标准形的方法 句)用正交变换化二次型为标准形的解题步骤为： 第一步，把二次型表示为矩阵形式xTA 一步，求正交矩阵Q=(m,2, n)使得QAQ=ding(,…,An) 第三步，令x=Qu,得TA=1+听+…+入m听 (间用配方法 ()如二次型中至少有一个平方项，不妨设11≠0，则对所有含x1的项配方（经配方后所余各项中不再 含.如此继续配方，直至每一项都含在各完全平方项中，引入新变量，，，由=C-1工，得rPA d山听+d25+…+dn骗 (2)如二次型中不含平方项，只有混合项，不妨设12≠0，则可令1=劝+2,2=功-班，= 班，·，n=经此坐标变换，二次型中出现a12-a12后，再按(1)实行配方法 3.合同矩阵 定义若A和B为阶矩阵，若存在可逆矩阵C使得B=CTAC,则称矩阵A和B合同 性质()由B=CTAC得A=(C-1)TBC-1,若A和B合同，则B和A合同. (②)若A为对称矩阵且A和B合同，则B为对称矩阵且r(A)=r(B). 二，惯性定理 惯性定理设有二次型f1,2,·,工n)=xTA,的秩为r,有两个可逆变换x=Py,x=Q:使 f=k1听+…+k明，≠0及∫=+…+入异，入≠0 则，…，k,中正数的个数与1，…，入中正数的个数相等。 二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为二次型的负惯性扰 数，若f正惯性指数为p,秩为r,则∫负惯性指数为r一卫，∫的规范形为f=+…+呢-听+1一…一 由惯性定理得重要结果 ()二次型的秩T4的秩=r(A=A的非零特征值的个数（考虑重数） (②)二次型的秩xTA红的正惯性指数=A的正特征值的个数=f的规范形中正系数1的个数： (3③)二次型的秩xTA的负惯性指数为=A的负特征值的个数=了的规范形中正系数-1的个数： (④r(f)=r(A)=正惯性指数+负惯性指数. (⑤)实对称矩阵A与B合同=二次型xTA虹与xTBx有相同的正，负惯性指数=A,B的正负特征值的 个数（考虑重数）分别相等. (6)实对称矩阵A与B相似二A与B有相同的特征值，因此若A与B相似，则A与B合同：但A与B合同不 论推出A与B相似. (T)实对称矩阵A与B合同，则A与B或者同时为0或者符号相同。 注只要知道二次型的正，负惯性指数也就知道其规范形，二次型的标准形是不唯一的但它的规范形 唯一 三、正定二次型与正定矩阵d¢È°› Èzå¢g.IOzü˛¥g.› Èz,œdk ­á(J ?øng.x T Ax —屜LãICÜx = Cy(5øC ¥å_› ) z§IO/,=x T Ax = y TΛy = d1y 2 1 + d2y 2 2 + · · · + dny 2 n , Ÿ•Λ = C T AC. AO/, 3CÜx = Cy (C ¥› )zx T Ax èIO/, =x T Ax = λ1y 2 1 + λ2y 2 2 + · · · + λny 2 n , Λ = C T AC = C −1AC,˘pλ1, λ2, · · · , λn¥g.› A náAä. (3) g.èIO/ê{ (i) ^CÜzg.èIO/)K⁄½è: 1ò⁄, rg.L´è› /™x T Ax; 1⁄, ¶› Q = (γ1, γ2, · · · , γn)¶QT AQ = diag(λ1, · · · , λn). 1n⁄, -x = Qy, x T Ax = λ1y 2 1 + λ2y 2 2 + · · · + λny 2 n . (ii) ^ê{ (1) Xg.•ñkòá²êë,ÿîa11 6= 0, Kȧk¹x1 ëê(²ê￾§{àë•ÿ2 ¹x1). XdUYê,Üñzòë—¹3à²êë•,⁄\#C˛y1, y2, · · · , yn.dy = C −1x,x T Ax = d1y 2 1 + d2y 2 2 + · · · + dny 2 n . (2) Xg.•ÿ¹²êë,êk·‹ë,ÿîa12 6= 0,Kå-x1 = y1 + y2, x2 = y1 − y2, x3 = y3, · · · , xn = yn.²dãICÜ,g.•—ya12y 2 1 − a12y 2 2￾,2U(1)¢1ê{. 3. ‹”› ½¬ eA⁄Bèn› , e3å_› C¶B = C T AC,K°› A⁄B‹”. 5ü(1) dB = C T ACA = (C −1 ) T BC−1 ,eA⁄B‹”, KB⁄A‹”. (2) eAèÈ°› ÖA⁄B‹”, KBèÈ°› Ör(A) = r(B). , .5½n .5½n kg.f(x1, x2, · · · , xn) = x T Ax,fùèr,k¸áå_CÜx = P y, x = Qz¶ f = k1y 2 1 + · · · + kry 2 r , ki 6= 09f = λ1z 2 1 + · · · + λrz 2 r , λi 6= 0 Kk1, · · · , kr•ÍáÍÜλ1, · · · , λr•ÍáÍÉ. g.fIO/•XÍáÍ°èg..5çÍ,KXÍáÍ°èg.K.5ç Í,ef.5çÍèp,ùèr,KfK.5çÍèr − p,f5â/èf = y 2 1 + · · · + y 2 p − y 2 p+1 − · · · − y 2 r . d.5½n­á(J (1) g.ùx T Axù= r(A) = Aö"AäáÍ(ƒ­Í); (2) g.ùx T Ax.5çÍ= AAäáÍ= f5â/•XÍ1áÍ; (3) g.ùx T AxK.5çÍè= AKAäáÍ= f5â/•XÍ−1áÍ; (4) r(f) = r(A) =.5çÍ+K.5çÍ. (5) ¢È°› AÜB‹” g.x T Ax Üx T BxkÉ”,K.5çÍ A, BKAä áÍ(ƒ­Í)©OÉ. (6) ¢È°› AÜBÉq AÜBkÉ”Aä,œdeAÜBÉq,KAÜB‹”;AÜB‹”ÿ ÿÌ—AÜBÉq. (7) ¢È°› AÜB‹”,K|A|Ü|B|½ˆ”ûè0½ˆŒ“É”. 5 êág.,K.5çÍè“Ÿ5â/,g.IO/¥ÿçò,ß5â/ çò. n!½g.ܽ› 9