202 例5.13设A 22 ,求正交矩阵P使PTAP为对角阵 224 例5.14设3阶实对称矩阵A的各行元素之和为3,01=(-1,1，-1)T,2=(0,-1,1)T是方程组Ax= 0的两个解 (1)求A的所有特征值和特征向量；（②）求正交矩阵Q和对角阵A,使得QAQ-A (①)求A的所有特征值和特征向量：（②）求矩阵A. 七二次型 一，二次型的概念及其标准形 1.二次型及其矩阵表示 定义含有n个变量x1,2,,n的二次齐次多项式（即每项都是二次的多项式） f(x1,x2,,,无m)=a11x2+,+anmx2+2a12x12+·+2an-1.nxm-1xn(*) 称为二次型 今.=a1<i.i<n,x=(x ·,工)T,A=(a,则二次型表示为fe 中是对矩二称A为二次型…，的矩库.矩阵A的 .··,工)=xTAx.其 4)称为二次型的秩，记 作r(f 注1.二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系由二次型应能立即写出其二次型矩阵.反之，给 出实对称矩阵要能构造出二次型. 2。二次型的标准形和规范形 0只合平方项的二次型儿收样的标准林悲中为实数称为三次型的 只能为 二次型的规范 标准香次土子珠速安性安c.化大型…为 标准形 要使二次型∫经可逆线性变换x=C化为标准型，即 f=xTA=(CAC)g=k1听+…+kn后=(h,2,… ,也就是转换为求可逆矩阵C使得CTAC为对角阵. ~5.13 A =   2 0 2 0 2 2 2 2 4  , ¶› P¶P T APèÈ . ~5.14 3¢È°› Aà1ÉÉ⁄è3,α1 = (−1, 1, −1)T , α2 = (0, −1, 1)T¥êß|Ax = 0¸á). (1) ¶A§kAä⁄Aï˛; (2) ¶› Q⁄È Λ, ¶QT AQ = Λ. ~5.15 Aè3¢È°› ,Aùè2,ÖA   1 1 0 0 −1 1   =   −1 1 0 0 1 1  . (1) ¶A§kAä⁄Aï˛; (2) ¶› A. ‘ g. ò,g.Vg9ŸIO/ 1 . g.9Ÿ› L´ ½¬ ¹knáC˛x1, x2, . . . , xng‡gıë™(=zë—¥gıë™) f(x1, x2, · · · , xn) = a11x 2 1 + · · · + annx 2 n + 2a12x1x2 + · · · + 2an−1,nxn−1xn (*) °èg.. -aij = aji, 1 ≤ i, j ≤ n,x = (x1, x2, · · · , xn) T , A = (aij ), Kg.L´èf(x1, x2, · · · , xn) = x T Ax,Ÿ •A¥nÈ°› (AT = A),°Aèg.f(x1, x2, · · · , xn)› . › Aùr(A)°èg.fù,P är(f) . 5 1. g.ÜÈ°› Ém3òòÈA'X.dg.AU·=—Ÿg.› . áÉ,â —¢È°› áUE—g.. 2 . g.IO/⁄5â/ (1) ê¹²êëg.f(x1, x2, · · · , xn) = k1x 2 1 + · · · + knx 2 n , Ÿ•k1, · · · , knè¢Í°èg. IO/.ek1, · · · , knêUè−1, 0, 1,˘IO/°èg.5â/. (2) g.ÃáØK: œ¶å_Ç5CÜx = CY ,Ÿ•Cå_, zg.f(x1, x2, · · · , xn) = x T Axè IO/. á¶g.f²å_Ç5CÜx = CyzèIO., = f = x T Ax = y T (C T AC)y = k1y 2 1 + · · · + kny 2 n = (y1, y2, · · · , yn)   k1 k2 . . . kn     y1 y2 . . . yn   ,u ¥C T AT =   k1 k2 . . . kn   ,è“¥=Üè¶å_› C¶C T ACèÈ . 8