1.正定二次型与正定矩阵的概念对二次型xTAr,如对任何x≠0，恒有xTAx>0,则称二次型xTA缸 是正定二次型，正定二次型的矩阵A称为正定矩阵. 2.二次型（矩阵）正定的充分必要条件 n元二； A(A正定 台xAx的正惯性指数p=n ÷A与E合同，即有可逆矩阵C.使CTAC=E 台A的所有特征值全大于零 与A的顺序主子式全大于零 台存在可逆矩阵C,使得A=CTC 注1.若A为正定矩阵 ,则()A1,A为正定矩阵：(2)4>0，a>0i=1,2,,n 2.若A,B为正定矩阵，则A+B为正定矩阵：若A为正定矩阵，B与A合同.则B为正定矩阵， 题型一、有关二次型基本概念的问题 例5.16二次型f(1,2,3)=(1+2)2+(2-3)2+(3+x1)P的正，负惯性指数分别为p=（),q (） 例5.17二次型fe1,2,x)=xTAz=2z号+2x号+4r12-41xg+823的矩阵A=(),规范形 是(). 题型二，化二次型为标准形 解题思路用正交变换化二次型为标准形的解题步骤为： 第一步，把二次型表示为矩阵形式xTAx: 第二步，求A的特征值及相应的特征向量（当入1≠时.最好检验你所求X,X2是否正交）： 第三步，若特征值有重根，则对重根所求的特征向量要注意，若不正交，则需 Schmidt正交化： 第四步，把特征向量 位化为m,2…,m 第五步，构造正交矩阵C=(m1.2.·,￥m): 第六步，令红=C,得xTAz=A1听+26+…+n2 用配方法化二次型为标准形的解题步骤为： (①)如二次型中至少有一个平方项，不妨设 0,则对所有含1的项配方（经配方后所余各项中不再 含如此维铁配方，直至每一项都含在各完全平方项中，引入新安量：助，由C-得 d1听+d25+·+dn后 (②)如二次型中不含平方项，只有混合项，不妨设12≠0，则可令工1=h+欢，x2=斯-2，= g,…,工n=经此坐标变换，二次型中出现a12-a12场后，再按(1)实行配方法. 例5.18求正交变换化二次型2写-212+2c13-223为标准形，并写出所用正交变换。 10 1. ½g.ܽ› Vg Èg.x T Ax,XÈ?¤x 6= 0, ðkx T Ax > 0, K°g.x T Ax ¥½g..½g.› A°è½› . 2. g.(› )½ø©7á^á n g.x T Ax(A) ½ ⇔ x T Ax .5çÍp = n ⇔ A ÜE‹”,=kå_› C,¶C T AC = E ⇔ A§kAäåu" ⇔ A^SÃf™åu" ⇔ 3å_› C,¶A = C T C 5 1. eAè½› , K(1) A−1 , A∗è½› ;(2) |A| > 0, aii > 0(i = 1, 2, · · · , n); 2. eA, Bè½› ,KA + Bè½› ; eAè½› ,BÜA‹”, KBè½› . K.ò!k'g.ƒVgØK ~5.16 g.f(x1, x2, x3) = (x1 +x2) 2 + (x2 −x3) 2 + (x3 +x1) 2,K.5çÍ©Oèp = ( ), q = ( ). ~5.17 g.f(x1, x2, x3) = x T Ax = 2x 2 2 + 2x 2 3 + 4x1x2 − 4x1x3 + 8x2x3 › A = ( ), 5â/ ¥( ). K.,zg.èIO/ )Kg¥ ^CÜzg.èIO/)K⁄½èµ 1ò⁄,rg.L´è› /™x T Ax; 1⁄,¶A Aä9ÉAAï˛(λ1 6= λ2 û,Å–u\§¶X1, X2 ¥ƒ); 1n⁄,eAäk­ä,Kȭ䧶Aï˛á5ø,eÿ,KISchmidt z; 1o⁄,rAï˛¸†zèγ1, γ2, · · · , γn; 1 ⁄,E› C = (γ1, γ2, · · · , γn) ; 18⁄,-x = Cy, x T Ax = λ1y 2 1 + λ2y 2 2 + · · · + λny 2 n . ^ê{zg.èIO/)K⁄½èµ (1) Xg.•ñkòá²êë,ÿîa11 6= 0, Kȧk¹x1 ëê(²ê￾§{àë•ÿ2 ¹x1).XdUYê,Üñzòë—¹3à²êë•,⁄\#C˛y1, y2, · · · , yn.dy = C −1x,x T Ax = d1y 2 1 + d2y 2 2 + · · · + dny 2 n . (2) Xg.•ÿ¹²êë,êk·‹ë,ÿîa12 6= 0,Kå-x1 = y1 + y2, x2 = y1 − y2, x3 = y3, · · · , xn = yn.²dãICÜ,g.•—ya12y 2 1 − a12y 2 2￾,2U(1)¢1ê{. ~5.18 ¶CÜzg.2x 2 3 − 2x1x2 + 2x1x3 − 2x2x3èIO/,ø—§^CÜ. 10