ux,y)=∫”Pk+Q=Px,d+∫广x,y 或者 xy=∫广Qy冰+∫广Px 其中(，%)为G内任一定点. 方法2设dM=Px,y冰+Qx,y,则 .)u) x y 在”-列两边积分得 ux,y）=P(x.y)d+y), 而由，》=Qx,列可得 =》k+p0, dy 由此式解出')，积分得0).从而求出函数(x,y), 同理，也可以先由M》=Qx列求得 y x,y)=∫x,yd+() 再由x2=Px,)和上式得 PW-=∫”+o: 解出D(x),积分求得(x),从而可求出函数(x,y). 方法3把P(x,y)+Qx,y冲=0左边凑微分凑成Px,y)本+Qx,y)d=d,则 x,)=C即为所求的通解 (4)当方程P(x,yd+Qx,y=0不是全微分方程，这时如果存在一个适当的函数 4=(x)(4x,)≠0)使4(x,)P(x,)+x,yOx,y)d=0是全微分方程，则称函数 (x,)为该方程的积分因子.求积分因子一般此较困难，积分因子如果存在则不唯一，因 而通解可能具有不同的形式. 常见的一些凑微分公式 xdy+ydx=d(xy), xdx+ydy=d(x+y), -达=白0 0 0 0 ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y x y x y u x y Pdx Qdy P x y dx Q x y dy = + = +    或者 u x y ( , ) 0 0 0 ( , ) ( , ) y x y x = + Q x y dy P x y dy   ， 其中 0 0 ( , ) x y 为 G 内任一定点． 方法 2 设 du P x y dx Q x y dy = + ( , ) ( , ) ，则 ( , ) ( , ) u x y P x y x  =  ， ( , ) ( , ) u x y Q x y y  =  ， 在 ( , ) ( , ) u x y P x y x  =  两边积分，得 u x y P x y dx y ( , ) ( , ) ( ) = +  ， 而由 ( , ) ( , ) u x y Q x y y  =  可得 ( , ) ( , ) [ ( , ) ( )] u x y Q x y P x y dx y y y    = = +    ( , ) ( ) P x y dx y y   = +    ， 由此式解出 ( ) y ，积分得 ( ) y ．从而求出函数 u x y ( , ) ． 同理，也可以先由 ( , ) ( , ) u x y Q x y y  =  求得 u x y Q x y dy x ( , ) ( , ) ( ) = +   ， 再由 ( , ) ( , ) u x y P x y x  =  和上式得 ( , ) ( , ) ( ) Q x y P x y dy x x  = +    ， 解出 ( ) x ，积分求得 ( ) x ，从而可求出函数 u x y ( , ) ． 方法 3 把 P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) 0 + = 左边凑微分凑成 P x y dx Q x y dy du ( , ) ( , ) + = ，则 u x y C ( , ) = 即为所求的通解． （4）当方程 P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) 0 + = 不是全微分方程，这时如果存在一个适当的函数    =  ( , ) ( ( , ) 0) x y x y 使   ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 x y P x y dx x y Q x y dy + = 是全微分方程，则称函数 ( , ) x y 为该方程的积分因子．求积分因子一般比较困难，积分因子如果存在则不唯一， 因 而通解可能具有不同的形式． 常见的一些凑微分公式 xdy ydx d xy + = ( )， 1 2 2 ( ) 2 xdx ydy d x y + = + ， 2 2 2 2 1 ln( ) 2 xdx ydy d x y x y + = +     + ， 2 ( ) xdy ydx y d x x − =