二地=， :*-m3 - r-V -达=dn宁， 2-广达= r 29-边=a月 y (三)可降阶的高阶微分方程 下面介绍三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法. 1.=fx)型的微分方程 对此方程两边连续积分”次，每积分一次增加一个任意常数，便得此方程的含有n个任 意常数的通解. 2.y=fx,y型的微分方程 此方程的特点是方程中不显含，设y=P:则有)广=安=p,那么原方程转化为一 阶方程p=fx,P),这是关于x、p的一阶微分方程，求出其通解p=(x,C),即得到另 一个一阶方程y=(x,C),两边积分即可得到原方程的通解为y=∫(x,C+C,其中C, C,是任意常数. 3.y=fy,y型的微分方程 此方程的特点是方程中不显含自变量x,令y=P,则有 密等盘喘 原方程转化为P尖=心P小，这是关于变量)小、P的一阶微分方程，设求出的通解为 y=P=y,C),此方程为变量可分离的方程，分离变量然后积分即可得到原方程的通解为 高。+G,共中G、G是任意落数 (四)高阶线性微分方程 1.线性微分方程的解的结构 (1)对于二阶齐次线性微分方程y+P(x)y+Q(x)y=0有如下结论： 定理1如果y(x)与y,(x)是该齐次线性方程的两个解，那么y=Cy,(x)+Cy,(x)也是 该齐次线性方程的解，其中C、C是任意常数 齐次线性方程的这个性质称为解的叠加原理 2 ( ) xdy ydx x d y y − = − ， 2 2 (arctan ) xdy ydx y d x y x − = + ， 2 2 1 ( ln ) 2 xdy ydx x y d x y x y − + = − − ， (ln ) xdy ydx y d xy x − = ， 2 2 2 2 ( ) xydy y dx y d x x − = ， 2 2 2 2 ( ) xydx x dy x d y y − = ． （三）可降阶的高阶微分方程 下面介绍三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法． 1． ( ) ( ) n y f x = 型的微分方程 对此方程两边连续积分 n 次，每积分一次增加一个任意常数，便得此方程的含有 n 个任 意常数的通解． 2． y f x y   = ( , ) 型的微分方程 此方程的特点是方程中不显含 y ，设 y p  = ，则有 dp y p dx   = = ，那么原方程转化为一 阶方程 p f x p  = ( , ) ，这是关于 x 、 p 的一阶微分方程，求出其通解 1 p x C = ( , ) ，即得到另 一个一阶方程 1 y x C  = ( , ) ，两边积分即可得到原方程的通解为 1 2 y x C dx C = + ( , )  ，其中 C1 、 C2 是任意常数． 3． y f y y   = ( , ) 型的微分方程 此方程的特点是方程中不显含自变量 x ，令 y p  = ，则有 dp dp dy dp y p dx dy dx dy  = = = ， 原方程转化为 ( , ) dp p f y p dy = ，这是关于变量 y 、 p 的一阶微分方程，设求出的通解为 1 y p y C  = = ( , ) ，此方程为变量可分离的方程，分离变量然后积分即可得到原方程的通解为 2 1 ( , ) dy x C  y C = +  ，其中 C1 、C2 是任意常数． （四）高阶线性微分方程 1．线性微分方程的解的结构 （1）对于二阶齐次线性微分方程 y P x y Q x y   + + = ( ) ( ) 0 有如下结论： 定理 1 如果 1 y x( ) 与 2 y x( ) 是该齐次线性方程的两个解，那么 1 1 2 2 y C y x C y x = + ( ) ( ) 也是 该齐次线性方程的解，其中 C1 、C2 是任意常数． 齐次线性方程的这个性质称为解的叠加原理．