得y=Ce咖（此处用Pr太表示Px)的某个确定的原函数）： b.如果(x)不恒等于零，则该方程称为非齐次的，利用常数变易法可求该非齐次线性 方程的通解。用常数变易法求女+P(沙=Q)通解的一般步骤如下： 第一步，求出会+Pey=0的通解y=C, 第二步：变易常数，即令y=Cxea是虫+Py=C)的解 第三步：将y=Ceh代入办+P=Q,求出 Co)=foure+c: 第四步：将C)=「Q(xe本+C代入y=C(xePa恤中即可得到一阶线性非齐次方 程密+P代wy=Q)的通解为 y=era恤((xex+C. 约定本章中出现的C,如果未加说明均指任意常数. (2)形如央+P=Qxy(a≠0)的方程称为伯努利((Bernou1li)方程，当n=0 或1时，方程是线性微分方程. 伯努利方程的求解：令：=)一得安=1-小少一会，原方程即可化为一阶线性方程 表+0-nr=-nQ 求出该方程的通解，再将：=y代入即得到该伯努利方程的通解。 4.全微分方程 (1)若一阶微分方程P(x,)达+(x,y)=0的左端恰好是某一个函数u=4(x,)的全 微分，即dx,y)=Px,y体+Q(x,y,则该方程叫做全微分方程.因此，x)=C是全 微分方程的隐式通解。 (2)当P(x,y),Qx,y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数时，则方程 P(x.y)dx+(x.y)dy=0 为全微分方程的无要条件是器一器在区线G内恒成立 (3)求全微分方程的通解有如下三种常用方法， 方法1利用方程P(x,y)d+Q(x,y)d=0在单连通域G内是全微分方程的充要条件是 架-器。即自线积分达+冰在率连道城G内与积分路径无关，得 得 P x dx ( ) y Ce−  = （此处用 P x dx ( )  表示 P x( ) 的某个确定的原函数）； b．如果 Q x( ) 不恒等于零，则该方程称为非齐次的，利用常数变易法可求该非齐次线性 方程的通解．用常数变易法求 ( ) ( ) dy P x y Q x dx + = 通解的一般步骤如下： 第一步：求出 ( ) 0 dy P x y dx + = 的通解 P x dx ( ) y Ce−  = ； 第二步：变易常数，即令 ( ) ( ) P x dx y C x e−  = 是 ( ) ( ) dy P x y Q x dx + = 的解； 第三步：将 ( ) ( ) P x dx y C x e−  = 代入 ( ) ( ) dy P x y Q x dx + = ，求出 ( ) ( ) ( ) P x dx C x Q x e dx C  = +  ； 第四步：将 ( ) ( ) ( ) P x dx C x Q x e dx C  = +  代入 ( ) ( ) P x dx y C x e−  = 中即可得到一阶线性非齐次方 程 ( ) ( ) dy P x y Q x dx + = 的通解为 ( ) ( ) ( ( ) ) P x dx P x dx y e Q x e dx C −   = +  ． 约定 本章中出现的 C ，如果未加说明均指任意常数． （2）形如 ( ) ( ) ( 0,1) dy n P x y Q x y n dx + =  的方程称为伯努利（Bernoulli）方程，当 n = 0 或 1 时，方程是线性微分方程． 伯努利方程的求解：令 1 n z y − = 得 (1 ) dz dy n n y dx dx − = − ，原方程即可化为一阶线性方程 (1 ) ( ) (1 ) ( ) dz n P x z n Q x dx + − = − ， 求出该方程的通解，再将 1 n z y − = 代入即得到该伯努利方程的通解． 4．全微分方程 （1）若一阶微分方程 P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) 0 + = 的左端恰好是某一个函数 u u x y = ( , ) 的全 微分，即 du x y P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) ( , ) = + ，则该方程叫做全微分方程．因此， u x y C ( , ) = 是全 微分方程的隐式通解． （2）当 P x y ( , )，Q x y ( , ) 在单连通域 G 内具有一阶连续偏导数时，则方程 P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) 0 + = 为全微分方程的充要条件是 P Q y x   =   在区域 G 内恒成立． （3）求全微分方程的通解有如下三种常用方法． 方法 1 利用方程 P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) 0 + = 在单连通域 G 内是全微分方程的充要条件是 P Q y x   =   ，即曲线积分 ( , ) ( , ) L P x y dx Q x y dy +  在单连通域 G 内与积分路径无关，得