第四章需求理论 d 中p 记=2 d-,.p=21,则上式可改写为{(一P=中.用E表示 dx= dr-xdp dx C阶单位方阵,则此式又可改写成: (x) dx ae odp 此式称为消费者需求的基本矩阵方程或者称为基本矩阵等式。 命题4.设消费集合X满足假设HC,效用函数强拟凹、在κ内部二阶可微、且无最 大值,()∈△,x=)∈mx则矩库("3))非奇异并且需求函数在点() 附近连续可微。 证明:我们先来证明矩ku(x)的非奇异性,即证明对于任意的(ab)∈RxR 只要(ab)≠0,就有/(x)pYa7 ≠0。为此,设(a,b)∈RxR任意给出,且(a,b)≠0 计算一下这里的矩阵乘积,我们得到 根据pa7是否为零,我们分两种情况进行讨论 情形1.pa7=0,即ap=0 由于(x)=Ap,因此u(x)a=0,即a∈⊥(x)。如果a≠0,则根据u的强拟凹性可 知an(x)<0。注意,d(n1(x)2+bp)=am(xa7<0。这说明《x)x+bp≠0,从而 u"(x)pa ≠0。如果a=0,则b≠0,从而/4(x)p ≠0。总之,不论 0人b 0人b 0 是否为零向量,我们总有“(x)P丫a 情形2.pa≠0 此时,显然有/“(x)Pa l'(x)a+bP≠0。 0人b第四章 需求理论 61 记               =   dx dx dx dx 2 1 ，               =   dp dp dp dp 2 1 ，               =   p p p p 2 1 ，则上式可改写为    = −  − = p dx dr xdp u x dx p d dp T ( )   。用 E 表示  阶单位方阵，则此式又可改写成：                 − =        −          d r d p x E d dx p u x p T 1 0 0 ( )   此式称为消费者需求的基本矩阵方程或者称为基本矩阵等式。 命题 4. 设消费集合 X 满足假设 HC，效用函数 u 强拟凹、在 X 内部二阶可微、且无最 大值，  ( p,r) ，x =( p,r)int X 。则矩阵          0 ( ) T p u x p 非奇异，并且需求函数  h 在点 ( p,r) 附近连续可微。 证明： 我们先来证明矩阵          0 ( ) T p u x p 的非奇异性，即证明对于任意的 a b R  R  ( , ) ， 只要 (a,b)  0 ，就有 0 0 ( )                   b a p u x p T T 。为此，设 a b R  R  ( , ) 任意给出，且 (a,b)  0 。 计算一下这里的矩阵乘积，我们得到：          + =                  T T T T T p a u x a b p b a p u x p ( ) 0 ( ) 根据 T T p a 是否为零，我们分两种情况进行讨论。 情形 1. = 0 T T p a ，即 a p = 0。 由于 T u (x) =  p ，因此 ( ) = 0 T u x a ，即 a⊥(x) 。如果 a  0 ，则根据 u 的强拟凹性可 知 ( )  0 T au x a 。注意， ( ( ) + )= ( )  0 T T a u x a b p au x a 。这说明 u (x)a + b p  0 T ，从而 0 0 ( )                   b a p u x p T T 。如果 a = 0 ，则 b  0 ，从而 0 0 0 ( )         =                  b p b a p u x p T T 。总之，不论 a 是否为零向量，我们总有 0 0 ( )                   b a p u x p T T 。 情形 2.  0 T T p a 。 此时，显然有 0 ( ) 0 ( )           + =                  T T T T T p a u x a b p b a p u x p