《高级微观经济学》第四章 需求理论

第四章需求理论 第四章需求理论 本章研究消费者个人需求和市场总需求的变化规律。对于消费者个人需求,主要讨论价 格和收入的变化对需求的影响,尤其是要讨论收入效应和替代效应问题。对于市场总需求, 主要讨论三个方面的问题:总需求是否还是价格和收入的函数?总需求能否揭示一种消费者 偏好?总需求有什么社会福利意义?通过对这些问题的研究,总需求的性质和变化规律便可 可得到揭示。本章的讨论仍在商品空间R中进行,即假定市场上共有C种可供选择的商品 第一节集值映射 集值映射是研究需求的基本工具,是经济学研究中发展起来的一套经济分析方法。上 章中讨论的预算集合B(P,r)同价格p与收入r之间的对应关系,以及需求集合D(P,r)同价 格p与收入r之间的对应关系,都是集值映射的典型事例 所谓集值映射,是指集合与元素(点)之间的某种对应关系,或者说是一种取值为集合的 映射。具体来说,设E和F是两个集合,如果对于E种的任何一个元素x,都有F的一个子 集r(x)与之对应,则这种对应关系就称为从E到F的集值映射,并记作r:E→F。为了方 便起见,今后我们把集值映射也简称作集映。 对于这个概念,我们可作两个方面的理解。首先,通常所说的映射或函数都是单值映射 或单值函数,即对于自变量的每一种取值,与之对应的因变量的值是唯一的:集值映射则实 际上是多值映射,即对于自变量的每一种取值,与之对应的因变量的值是可能有多个。其次, 也可把集值映射这种多值映射看成是一种单值映射,即把I(x)看成是F的幂集2的元素 这样一来,I:E→F就变成了从E到2的单值映射。因此,集值映射:E→F也可记作 集值映射r:E→F还可看作是乘积集合ExF={x,y)(x∈E)A(y∈F)}的子集。具体 来讲,rE→F确定了ExF的一个子集Gp(D)={x,y)∈ExFy∈I(x)},这个子集称为 集值映射r:E→F的图像(如图4-1所示)。显然,不同集映的图像是不同的。集映确定以后, 其图像也就唯一确定下来。反过来,只要图像得以 确定,集映也就唯一确定了。因此,可把集映与其 I:E→F 图像等同看待。 对于集值映射I:E→F,如果对任何x∈E, 都有I(x)≠Φ,则称r:E→F为对应。所以,对 T(r) 应是取值为非空集合的集映,也是人们更为感兴趣 的集值映射 在集值映射rE→F下,E的子集M的像集 E 是指集合IM]: IM]={v∈F:(Bx∈MyeI(x)}=Ur(x) 图41集值映射的图像

第四章 需求理论 53 第四章 需求理论 本章研究消费者个人需求和市场总需求的变化规律。对于消费者个人需求，主要讨论价 格和收入的变化对需求的影响，尤其是要讨论收入效应和替代效应问题。对于市场总需求， 主要讨论三个方面的问题：总需求是否还是价格和收入的函数？总需求能否揭示一种消费者 偏好？总需求有什么社会福利意义？通过对这些问题的研究，总需求的性质和变化规律便可 可得到揭示。本章的讨论仍在商品空间  R 中进行，即假定市场上共有  种可供选择的商品。 第一节 集值映射 集值映射是研究需求的基本工具，是经济学研究中发展起来的一套经济分析方法。上一 章中讨论的预算集合 ( p,r) 同价格 p 与收入 r 之间的对应关系，以及需求集合 D( p,r) 同价 格 p 与收入 r 之间的对应关系，都是集值映射的典型事例。 所谓集值映射，是指集合与元素(点)之间的某种对应关系，或者说是一种取值为集合的 映射。具体来说，设 E 和 F 是两个集合，如果对于 E 种的任何一个元素 x ，都有 F 的一个子 集 (x) 与之对应，则这种对应关系就称为从 E 到 F 的集值映射，并记作 :E  F 。为了方 便起见，今后我们把集值映射也简称作集映。 对于这个概念，我们可作两个方面的理解。首先，通常所说的映射或函数都是单值映射 或单值函数，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是唯一的；集值映射则实 际上是多值映射，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是可能有多个。其次， 也可把集值映射这种多值映射看成是一种单值映射，即把 (x) 看成是 F 的幂集 F 2 的元素， 这样一来， :E  F 就变成了从 E 到 F 2 的单值映射。因此，集值映射 :E  F 也可记作 F :E → 2 。 集值映射 :E  F 还可看作是乘积集合 E  F = (x, y):(xE)  ( yF) 的子集。具体 来讲， :E  F 确定了 E  F 的一个子集 Grap() = (x, y)E  F : y(x) ，这个子集称为 集值映射 :E  F 的图像(如图 4-1 所示)。显然，不同集映的图像是不同的。集映确定以后， 其图像也就唯一确定下来。反过来，只要图像得以 确定，集映也就唯一确定了。因此，可把集映与其 图像等同看待。 对于集值映射 :E  F ，如果对任何 x E ， 都有 (x)   ，则称 :E  F 为对应。所以，对 应是取值为非空集合的集映，也是人们更为感兴趣 的集值映射。 在集值映射 :E  F 下， E 的子集 M 的像集 是指集合 [M]：    x M M y F x M y x x  [ ] =  :(  )( ( ) = ( ) F :E  F (x) E 图 4-1 集值映射的图像

第四章需求理论 定义.设E与F都是拓扑空间,集映I:E→F叫做 (1)闭(紧、凸)集值的集映,如果对任何x∈E,r(x)都是F的闭(紧、凸)子集 (2)在点x∈E处上半连续,如果对于F中任何包含r(x)的开集V,都存在x的邻域U使得 TUSE (3)上半连续的集映,如果对任何x∈E,T都在x处上半连续 (4)在点x∈E处下半连续,如果对F中任何与r(x)相交的开集V,都存在x的邻域U使得 (vz∈UXUr()≠④) (5)下半连续的集映,如果对任何x∈E,都在x处下半连续; (6)在点x∈E处连续,如果r在点x∈E处既上半连续,又下半连续 (7)连续的集映,如果对任何x∈E,I都在x处连续 (8)闭集映,如果r的图像Grap(D是积空间E×F的闭子集 (9)开集映,如果r的图像Gap(n是积空间E×F的开子集 集映的上半连续性和下半连续性都是函数连续性概念的推广,上半连续性说的是r(x)不 会突然彭胀,下半连续性说的是r(x)不会突然收缩。关于的集映连续性,下面三个定理是基 本的和重要的。 定理1.设E和F都是拓扑空间,且F为 Hausdorff空间。又设r:E→F是闭集值的 集映,且∏E包含在F的某紧子集当中。则I上半连续的充分必要条件是T为闭集映 定理2.设E是第一可数空间,F是 Hausdorff空间,r:E→F是集映,x∈E为某个 给定的点,在该点处的值r(x)是闭集,且存在x的邻域U使得I]包含在F的某紧子集 当中。则在x处上半连续的充分必要条件是:对任何y∈F及任何序列xn∈E(n=1,2,…)和 F ),当xn→x且 y 定理3.设E和F是第一可数空间,T:E→F是对应,x∈E为给定的点。则在x处 下半连续的充分必要条件是:对于任何y∈r(x)及E中任何收敛于x的序列xn(n=1,2,… 存在F中收敛于y的序列yn(n=12…)满足yn∈I(xn)(n=12…)。 推论.设E和F都是拓扑空间,且F为 Hausdorff空间,I:E→F为闭集值的闭集映 x∈E为某个给定的点如果存在x的邻域U使得IU包含在F的某紧子集当中则r在x处 这个推论直接从定理1得到,它比定理1可能更为有用。定理2和定理3分别是集值映 射的上、下半连续性的极限形式,因而也是很有用的,为研究集值映射提供了极大的便利

第四章 需求理论 54 定义．设 E 与 F 都是拓扑空间，集映 :E  F 叫做： (1) 闭(紧、凸)集值的集映，如果对任何 x E ,(x) 都是 F 的闭(紧、凸)子集； (2) 在点 x E 处上半连续，如果对于 F 中任何包含 (x) 的开集 V ，都存在 x 的邻域 U 使得 [U]V ； (3) 上半连续的集映，如果对任何 x E ,  都在 x 处上半连续； (4) 在点 x E 处下半连续，如果对 F 中任何与 (x) 相交的开集 V ，都存在 x 的邻域 U 使得 (z U )((z) V  ) ； (5) 下半连续的集映，如果对任何 x E ,  都在 x 处下半连续； (6) 在点 x E 处连续，如果  在点 x E 处既上半连续，又下半连续； (7) 连续的集映，如果对任何 x E ,  都在 x 处连续； (8) 闭集映，如果  的图像 Grap() 是积空间 E  F 的闭子集； (9) 开集映，如果  的图像 Grap() 是积空间 E  F 的开子集。 集映的上半连续性和下半连续性都是函数连续性概念的推广，上半连续性说的是 (x) 不 会突然彭胀，下半连续性说的是 (x) 不会突然收缩。关于的集映连续性，下面三个定理是基 本的和重要的。 定理 1. 设 E 和 F 都是拓扑空间，且 F 为 Hausdorff 空间。又设 :E  F 是闭集值的 集映，且 [E] 包含在 F 的某紧子集当中。则  上半连续的充分必要条件是  为闭集映。 定理 2. 设 E 是第一可数空间， F 是 Hausdorff 空间， :E  F 是集映， x E 为某个 给定的点，  在该点处的值 (x) 是闭集，且存在 x 的邻域 U 使得 [U] 包含在 F 的某紧子集 当中。则  在 x 处上半连续的充分必要条件是：对任何 y F 及任何序列 x E (n =1,2, ) n 和 y  F (n =1,2, ) n ，当 x x n → 且 y y n → 时， y(x) 。 定理 3. 设 E 和 F 是第一可数空间， :E  F 是对应， x E 为给定的点。则  在 x 处 下半连续的充分必要条件是：对于任何 y(x) 及 E 中任何收敛于 x 的序列 x (n =1,2, ) n ， 存在 F 中收敛于 y 的序列 y (n =1,2, ) n 满足 y (x )(n =1,2, ) n n 。 推论. 设 E 和 F 都是拓扑空间，且 F 为 Hausdorff 空间， :E  F 为闭集值的闭集映， x E 为某个给定的点。如果存在 x 的邻域 U 使得 [U] 包含在 F 的某紧子集当中，则  在 x 处 上半连续。 这个推论直接从定理 1 得到，它比定理 1 可能更为有用。定理 2 和定理 3 分别是集值映 射的上、下半连续性的极限形式，因而也是很有用的，为研究集值映射提供了极大的便利

第四章需求理论 第二节需求的连续性 根据消费最优化确定的需求,是由价格因素与收入因素共同决定的。当这两个因素发生 变化时,需求自然会发生变化。需求变动的第一个规律,就是当价格和收入变化不大时,需 求也不会发生很大的变化,即需求是随价格和收入连续变动的 预算的连续性 预算的连续性是需求连续性的基础。没有预算的连续性,就很难保证当价格和收入的变 化很小时,需求的变化也很小。因此,为了考察需求的变动规律,需要先来考察消费预算的 变化规律 命题1.设消费集合X是商品空间R的非空闭子集,则预算集映B:△→X是闭对应。 证明:预算集映β是对应,这是明显的事实。以下来证明β是闭集映,即证明β的图像 Grap(B)是△xX的闭子集。为此,设(pn,rn,xn)(n=1,2,…)为(rap(B)中的任一序列,且 (Pn,rn,xn)→>(P,r,x)∈△×X(mn→∞)。 为了证明rap(B)是闭集,只需证明(p,r,x)∈Grap(B)(即x∈β(p,r),也即px≤r)。事 实上,从(pn,rn,xn)∈(rap(B)立即可知pnxn≤rn(n=1,2,…)。在此式两边取极限即可得 到:px= lm p,x≤mn=r。故(p,r,x)∈(rap(B)。 命题2.设消费集合X是R的下有界非空闭子集,则预算集映β:Δ→X上半连续。 证明:注意,预算对应β:Δ→X是闭集值的闭集映。因此,可应用上一节中的推论来 证明本命题。为此,设(P00)∈△为任一给定的点。为了说明B在点(P0,)处的上半连续 性,只需要找出(Po,0)的一个邻域U,使得β门]包含在X的某个有界闭子集当中。 X的下有界性告诉我们,存在向量=(1,2,…H1)∈R满足≤0且x≥对一切 U=(Pr)∈△:(p<p<p)(-1<r<+ 则U是(p0,n0)的邻域。令K={x∈X:H≤x≤v,其中v=(v1,v2…,v1)定义如下: 2(+16)-3P0 易见,K是X的有界闭子集(从而是紧子集)。 我们指出:B[UK。事实上,对任何(p,r)∈U及x∈B(p,r),注意H≤0,我们有:

第四章 需求理论 55 第二节 需求的连续性 根据消费最优化确定的需求，是由价格因素与收入因素共同决定的。当这两个因素发生 变化时，需求自然会发生变化。需求变动的第一个规律，就是当价格和收入变化不大时，需 求也不会发生很大的变化，即需求是随价格和收入连续变动的。 一.预算的连续性 预算的连续性是需求连续性的基础。没有预算的连续性，就很难保证当价格和收入的变 化很小时，需求的变化也很小。因此，为了考察需求的变动规律，需要先来考察消费预算的 变化规律。 命题 1. 设消费集合 X 是商品空间  R 的非空闭子集，则预算集映  :  X 是闭对应。 证明：预算集映  是对应，这是明显的事实。以下来证明  是闭集映，即证明  的图像 Grap() 是  X 的闭子集。为此，设 ( p ,r , x ) (n =1,2, ) n n n 为 Grap() 中的任一序列，且 ( p ,r , x ) → ( p,r, x)  X (n → ) n n n 。 为了证明 Grap() 是闭集，只需证明 ( p,r, x)Grap() (即 x( p,r) ,也即 px r )。事 实上，从 ( , , )Grap() n n n p r x 立即可知 p x  r (n =1,2, ) n n n 。在此式两边取极限即可得 到： px p x r r n n n n n =  = → → lim lim 。故 ( p,r, x)Grap() 。 命题 2. 设消费集合 X 是  R 的下有界非空闭子集，则预算集映  :  X 上半连续。 证明：注意，预算对应  :  X 是闭集值的闭集映。因此，可应用上一节中的推论来 证明本命题。为此，设 ( p0 ,r0 ) 为任一给定的点。为了说明  在点 ( , ) 0 0 p r 处的上半连续 性，只需要找出 ( , ) 0 0 p r 的一个邻域 U ，使得  [U] 包含在 X 的某个有界闭子集当中。 X 的下有界性告诉我们，存在向量   = (1 , 2 ,  , )R 满足   0 且 x   对一切 x X 成立。令 ( , ) :( 0 ) ( 0 1 0 1) 2 3 2 0 1 U = p r  p  p  p  r −  r  r + 则 U 是 ( , ) 0 0 p r 的邻域。令 K = x X :   x  ，其中 ( , , , )  =  1  2    定义如下： ( 1,2, , ) 2(1 ) 3 0 0 0 =   + − = + h p r p h h h    易见， K 是 X 的有界闭子集(从而是紧子集)。 我们指出：  [U] K 。事实上，对任何 ( p,r)U 及 x( p,r) ，注意   0 ，我们有：

第四章需求理论 (x1-Hh)P0(x-) ≤p(x-p) (:(pN成立 于是,对任何自然数n,当n≤N时,任意取定一点xn∈B(Pn,rn);当n>N时,令xn=x0 显然,xn∈B(Pn,rn)(n=12,…且xn→x0(n→∞)。 情形2:p0xo=10 此时,从r>(P0)知,存在〓∈X满足p020 lim(nn-Pn)=ro- po=>0 因此,存在自然数N使得pnx0>P和rn>Pn对一切n>N成立。 现在,对任何的自然数n,当n≤N时,任意取定一点x∈B(Pn);当n>N时,令 xn=x0+1n(z-x0),其中n=max90,(pnx0-rn)(pnx0-Pn=2}。容易看出 (1)0≤nN成立 (2)tn→0(m→∞) (3)当Ln=0时,xn=x0且pnxn=Pnx0≤rn 4)当tn>0时,pnxn=r 可见,xn∈B(Pn,)(n=12,)且xn→x0(n→∞) 总之,不论是情形1还是情形2,我们都在x中找到了某个收敛于x0的序列{xn}使得 xn∈B(pn,r)(n=1,2,…)。于是,β在(P0,)处的下半连续性得证。既然(P0,)∈△是任 意给定的,因此B是上半连续的集映。 命题2和命题3告诉我们 预算集映的连续性,在假设C下,预算集映β:Δ→X是连续对应。 这就是说,消费集合的非空下有界闭凸性既保证了消费预算不会随价格与收入变化而突 然彭胀,又保证了消费预算不会随价格与收入的变化而突然收缩

第四章 需求理论 56 ( ) ( ) ( ) ( 1,2, , ) 2 2(1 ) 3 (1 ) ( 1 ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 0 0 2 0 3 2 0 0 3 0 2 0 1 0 0      = + − =  + −  +    −   −    −  − h r p r p r r p p r p x p r p x p p x p x p x h h h         由此可知 h h h p r p x 0 0 3 0 2(1 )   + − −  ，即 ( 1,2, , ) 2(1 ) 3 0 0 0 = =   + −  + h p r p x h h h h    ， 从而 x K 。这就证明了 ( p,r)  K 。既然 ( p,r)U 任意给出，因此  [U] K 。 的上半 连续性得证。 命题 3. 设消费集合 X 是  R 的凸子集，则预算集映  :  X 下半连续。 证明：任意给定 ( p0 ,r0 ) ，我们来证明  在 ( , ) 0 0 p r 处下半连续。注意，  和 X 都是 第一可数空间，且  :  X 是对应，因此可应用定理 3 来证明  在 ( , ) 0 0 p r 处的下半连续性。 为此，设 ( , ) 0 0 0 x   p r 且 ( pn ,rn ) 是  中任一收敛于 ( , ) 0 0 p r 的序列。根据定理 3，我 们只需找到 X 中收敛于 0 x 的序列 xn  使得 x  ( p ,r ) (n =1,2, ) n  n n 。显然， 0 0 0 p x  r 。我 们按照 0 0 0 p x  r 和 0 0 0 p x = r 两种情形，分别来找这个序列 xn 。 情形 1: 0 0 0 p x  r 此时，从 0 0 0 p x p x n → 及 0 r r n → 可知，存在自然数 N 使得 n n p x  r 0 对一切 n  N 成立。 于是，对任何自然数 n , 当 n  N 时，任意取定一点 ( , ) n n n x  p r ；当 n  N 时，令 0 x x n = 。 显然， x  ( p ,r ) (n =1,2, ) n  n n 且 ( ) xn → x0 n →  。 情形 2： 0 0 0 p x = r 此时，从 ( ) 0 p0 r  I 知，存在 z X 满足 0 0 0 0 p z  r = p x 。注意， ( ) 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 lim lim − = −  − = −  → → r p z r p z p x p z p x p z n n n n n n 因此，存在自然数 N 使得 p x p z n 0  n 和 r p z n  n 对一切 n  N 成立。 现在，对任何的自然数 n , 当 n  N 时，任意取定一点 ( , ) n n n x  p r ；当 n  N 时，令 ( ) 0 0 x x t z x n = + n − ，其中 t n = max0,(pn x0 − rn ) (pn x0 − pn z) 。容易看出： (1) 0  t n 1 对一切 n  N 成立； (2) t → 0 (n → ) n ； (3) 当 t n = 0 时， 0 x x n = 且 n n n n p x = p x  r 0 ； (4) 当 t n  0 时， n n n p x = r 。 可见， x  ( p ,r ) (n =1,2, ) n  n n 且 ( ) xn → x0 n →  。 总之，不论是情形 1 还是情形 2，我们都在 X 中找到了某个收敛于 0 x 的序列 xn  使得 x  ( p ,r ) (n =1,2, ) n  n n 。于是，  在 ( , ) 0 0 p r 处的下半连续性得证。既然 ( p0 ,r0 ) 是任 意给定的，因此  是上半连续的集映。 命题 2 和命题 3 告诉我们： 预算集映的连续性. 在假设 HC 下，预算集映  :  X 是连续对应。 这就是说，消费集合的非空下有界闭凸性既保证了消费预算不会随价格与收入变化而突 然彭胀，又保证了消费预算不会随价格与收入的变化而突然收缩

第四章需求理论 二.需求的连续性 现在,我们考察需求的连续性问题。根据第三章第四节关于马歇尔需求的讨论可知,在 连续的偏好下,需求集映D:Δ→X是对应。实际上,需求集映还是闭集映,即下面命题所 命题4.设消费集合X是商品空间R的下有界非空闭凸子集,偏好关系-是连续的。则 需求对应D:A→X是闭集值的闭集映 证明:对于任何(P,r)∈Δ,D(P,r)是闭集这一事实是比较容易说明的,其依据是X的 闭性和D(p,r)中任何两个方案之间的误差异性。下面来证明D是闭集映,即证明(rap(D) 是△xX的闭子集。为此,设(Pn,rn,x)(n=12,…)是Grap(D)中的任一序列,并且收敛于 某点(P0,,x0)∈△xX。我们来证明(P,0,x0)∈Gap(D),即欲证明x∈D(po,r),也 即要证明xo∈B(P0,0)且y≤x0对一切y∈B(p0,r)成立 安注意,xB(m)=12…),(pn)→),x→x,并且预算对应B上半 续(命题2)。因此,x∈B(po,0)。 再注意,预算对应β还是下半连续的(命题3)。因此,对于任何的y∈B(po,r),都存 在X中的序列yn(n=1,2,…)满足yn∈B(pn,r)且yn→y(n→∞)。既然xn∈D(Pn,r), 因此υn≤xn(=12…)。偏好≤的连续性保证了可在此式两边取极限,于是y≤x。这就 说明x∈D(p0,),即 )∈Grap(D)。可见,drap(D)是△×X的闭子集 命题5(需求集映的连续性).设消费集合X是商品空间R的下有界非空闭凸子集,偏好 关系是连续的。则需求对应D:Δ→X上半连续 证明:由于命题4,我们可应用第一节中的推论来证明本命题。设(P0,)∈△任意给定。 我们在证明命题2的时候,曾经找到了(P0,)的一个邻域U使得βU]包含在X的某个有界 闭子集K当中。由于D(p,r)∈β(p,r),因此这个邻域U也必然使得D[U]包含在X的这个 有界闭子集K当中。既然D是闭集值的闭集映,根据第一节中的推论便知D在(P0,)处上 半连续。而(P0,)∈△是任意给定的,于是D是上半连续的集映。命题5得证。 从上一章的讨论可知,在连续的严格凸偏好假设下,理性消费者的需求映射ξ得到了良 好的定义( well defined),即对于任何(p,r)∈Δ,需求向量ξ(P,r)是唯一确定的。不仅如此, 从命题5可知需求映射(需求函数)还是连续的(即下面的命题6所述)。因此,只要价格与与 收入的变化很小,需求的变化也就很小。 命题6(需求映射的连续性).在假设邗和假设Ⅲ下,需求映射ξ:△→>X是连续映射 第三节需求的可微分性 本节研究需求函数的可微分变化规律,即需求的变化率问题。我们的讨论将在假设HC和 HP下进行,并且还要使用效用函数u:X→R。事实上,需求函数的可微分性同效用函数的 拟凹性关系密切,因此本节要进一步讨论效用函数的性质。这里,我们先假定效用函数u服 从假设Ⅲ并且严格拟凹。在这些假定下,消费者的需求向量由价格和收入唯一确定,这就唯 确定下来了消费者的需求映射5△→X 对于(pr)∈△,5(p,r)=(51(p,r),2(p,p)…,5(P,r)。其中的5(P,r)便是商品h的 需求函数(h=1,2,…C) 对于x∈mtX,效用函数u在x处的二阶偏导数矩阵l'(x)=((x)x=(m(x),称为

第四章 需求理论 57 二．需求的连续性 现在，我们考察需求的连续性问题。根据第三章第四节关于马歇尔需求的讨论可知，在 连续的偏好下，需求集映 D :   X 是对应。实际上，需求集映还是闭集映，即下面命题所 述。 命题 4. 设消费集合 X 是商品空间  R 的下有界非空闭凸子集，偏好关系 是连续的。则 需求对应 D :   X 是闭集值的闭集映。 证明：对于任何 ( p,r) ，D( p,r) 是闭集这一事实是比较容易说明的，其依据是 X 的 闭性和 D( p,r) 中任何两个方案之间的误差异性。下面来证明 D 是闭集映，即证明 Grap(D) 是  X 的闭子集。为此，设 ( p ,r , x ) (n =1,2, ) n n n 是 Grap(D) 中的任一序列，并且收敛于 某点 ( p0 ,r0 , x0 )  X 。我们来证明 ( , , ) Grap( ) p0 r0 x0  D ，即欲证明 ( , ) 0 0 0 x D p r ，也 即要证明 ( , ) 0 0 0 x   p r 且 y 0 x 对一切 ( , ) 0 0 y   p r 成立。 注意， x  ( p ,r ) (n =1,2, ) n  n n ，( , ) ( , ) 0 0 p r p r n n → ， 0 x x n → ，并且预算对应  上半 连续(命题 2)。因此， ( , ) 0 0 0 x   p r 。 再注意，预算对应  还是下半连续的(命题 3)。因此，对于任何的 ( , ) 0 0 y   p r ，都存 在 X 中的序列 y (n =1,2, ) n 满足 ( , ) n n n y   p r 且 y → y (n → ) n 。既然 ( , ) n n n x  D p r ， 因此 n y x (n =1,2, ) n 。偏好 的连续性保证了可在此式两边取极限，于是 y 0 x 。这就 说明 ( , ) 0 0 0 x D p r ，即 ( , , ) Grap( ) p0 r0 x0  D 。可见， Grap(D) 是  X 的闭子集。 命题 5(需求集映的连续性). 设消费集合 X 是商品空间  R 的下有界非空闭凸子集，偏好 关系 是连续的。则需求对应 D :   X 上半连续。 证明：由于命题 4，我们可应用第一节中的推论来证明本命题。设 ( p0 ,r0 ) 任意给定。 我们在证明命题 2 的时候，曾经找到了 ( , ) 0 0 p r 的一个邻域 U 使得  [U] 包含在 X 的某个有界 闭子集 K 当中。由于 D( p,r)  ( p,r) ，因此这个邻域 U 也必然使得 D[U] 包含在 X 的这个 有界闭子集 K 当中。既然 D 是闭集值的闭集映，根据第一节中的推论便知 D 在 ( , ) 0 0 p r 处上 半连续。而 ( p0 ,r0 ) 是任意给定的，于是 D 是上半连续的集映。命题 5 得证。 从上一章的讨论可知，在连续的严格凸偏好假设下，理性消费者的需求映射  得到了良 好的定义(well defined)，即对于任何 ( p,r) ，需求向量 ( p,r) 是唯一确定的。不仅如此， 从命题 5 可知需求映射(需求函数)还是连续的(即下面的命题 6 所述)。因此，只要价格与与 收入的变化很小，需求的变化也就很小。 命题 6(需求映射的连续性). 在假设 HC 和假设 HP 下，需求映射  : → X 是连续映射。 第三节 需求的可微分性 本节研究需求函数的可微分变化规律，即需求的变化率问题。我们的讨论将在假设 HC 和 HP 下进行，并且还要使用效用函数 u : X → R 。事实上，需求函数的可微分性同效用函数的 拟凹性关系密切，因此本节要进一步讨论效用函数的性质。这里，我们先假定效用函数 u 服 从假设 HU 并且严格拟凹。在这些假定下，消费者的需求向量由价格和收入唯一确定，这就唯 一确定下来了消费者的需求映射  :  → X 。 对于 ( p,r) ， ( , ) ( ( , ), ( , ), , ( , )) 1 2 p r p r p r p r  =      。其中的 ( p,r)  h 便是商品 h 的 需求函数 (h =1,2,  ,  ) 。 对于 xint X ，效用函数 u 在 x 处的二阶偏导数矩阵 u (x) (u (x)) (u (x)) hk hk  =  =   ，称为

第四章需求理论 u在x处的海森( Hessian)矩阵。在假设ⅢU之下,海森矩阵是对称矩阵。今后,为了方便起 见,把u在x处的梯度记为l(x)=Vn(x)=V(x)=(u(x),2(x),…,l(x)。 效用函数的强拟凹性 效用函数的拟凹性蕴含着海森矩阵具有某种良好性质,或者说,任何一点处的无差异曲 面必然在该点处的切平面的上方。因此,从切平面上看,切点是效用函数在切平面上的最大 值点,即切点是切平面上效用最大的点。这就是下面命题所述的事实。 命题1.设消费集合X是商品空间R的凸子集,x∈ntY,效用函数a是拟凹的,在x 处可微,且u'(x)≠0。对任何z∈X, (1)如果()≥l(x),那么u'(x)2≥(x)x;也即,如果n(x)zl(x),那么u'(x)>a(x)x;也即,如果a(x)z≤u(x)x,那么u()≤l(x); (3)进一步,当效用函数u严格拟凹并且z≠x时 如果(=)≥u(x),那么u'(x)>n'(x)x;也即,如果u(x)≤u(x)x,那么u(z)l(x)。既然x∈ntX,存在x的邻域U使得UcX,从而也存在t∈(O,1)使 得=t=+(1-t)x=x+1(-x)∈U。效用函数u的拟凹性保证了u()>l(x),而u的连续性 又保证了存在w的邻域V(即以w为中心的一个开球)使得VsU且对于任何y∈,都有 l(y)>u(x)。显然,我们可以在V中选取一个符合下列条件的点y=(y1,y2…yt):对每个 h(h=1,2,…,O),当h(x)≥0时,ybh。对于这样选定的点y, 从u(x)≠0可知(x)y(x),从(1)的结论可知u(x)y≥(x)x,从而 (x)w>l(x)x。注意u(x)w=(x)x+1(x)(-x),因此tu'(x)(z-x)>0。而t>0,于是 r(x)>u'(x)x。(2)得证 (3)设u严格拟凹,x≠x且()≥l(x)。令y=(2)(x+)。效用函数u的严格拟凹性 保证了(y)>l(=),于是从(2)的结论可知u(x)y>u(x)x。将y=(1/2)(x+2)代入此式即可 得到u(x)>u(x)x,(3)得证 命题2.设消费集合X是R的凸子集,效用函数u:X→R拟凹,在点x∈mtx处二阶 可微,并且1(x)≠0。则对于任何z∈⊥(x),都有z'(x)x≤0。这里,“”表示矩阵的转 置运算,集合⊥(x)={y∈R:u(x)y=0}是无差异曲面在点x处的切平面。 证明:设x∈ntX是命题中给定的点,这意味着存在正实数E满足B(x,E)sX,其中 B(x)={y∈R(:y-<e是以x为中心、E为半径的开球。 现在,设∈⊥(x)是切平面上的任一点。如果z=0,那么z(x)z=0是明显的。以下 设二≠0。于是,必然存在一个正实数λ,使得x+A∈B(x,E)sX且x-Ax∈B(x,E)gX 记w=x+Az,并对每个实数t,令y(1)=x+1(w-x)。显然,对于任何t∈[-,],都有 ()=x+12=成立,从而有u(x)y(t)=l'(x)x+tn'(x)2=l(x)x成立(因为a(x)=0) 这说明,命题1(2)的条件得到满足,因此u(y(t)≤l(x)=l(y(0)对一切t∈[-1成立 定义函数∫:[-1,1→R如下:f(1)=l((t)(t∈[-1,1)。则从上面的讨论知,f(O)=l(x) 是f(1)在[-1,1上的最大值点,而且f(1)在(-1,1)上二阶可微。根据函数最大值二阶必要条

第四章 需求理论 58 u 在 x 处的海森(Hessian)矩阵。在假设 HU 之下，海森矩阵是对称矩阵。今后，为了方便起 见， 把 u 在 x 处的梯度记为 ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( ), , ( )) 1 2 u x x x u x u x u x u    =  =  =    。 一．效用函数的强拟凹性 效用函数的拟凹性蕴含着海森矩阵具有某种良好性质，或者说，任何一点处的无差异曲 面必然在该点处的切平面的上方。因此，从切平面上看，切点是效用函数在切平面上的最大 值点，即切点是切平面上效用最大的点。这就是下面命题所述的事实。 命题 1. 设消费集合 X 是商品空间  R 的凸子集， x  int X ，效用函数 u 是拟凹的，在 x 处可微，且 u (x)  0 。对于任何 z X ， (1) 如果 u(z)  u(x) ，那么 u (x)z  u (x)x ；也即，如果 u (x)z  u (x)x ，那么 u(z)  u(x) ； (2) 如果 u(z)  u(x), 那么 u (x)z  u (x)x ；也即，如果 u (x)z  u (x)x ，那么 u(z)  u(x) ； (3) 进一步，当效用函数 u 严格拟凹并且 z  x 时， 如果 u(z)  u(x) ，那么 u (x)z  u (x)x ；也即，如果 u (x)z  u (x)x ，那么 u(z)  u(x) 。 证明：任意给定 z X 。 (1) 设 u(z)  u(x)。u 的拟凹性保证了 u(tz + (1− t)x)  u(x) 对一切 t (0,1) 成立，从而 ( )( ) ( )( ) ( ( )) ( ) 0 lim 1 0 u x z x u x z x t u x t z x u x h h h h t =  − =  − + − −   → = +  即 u (x)z  u (x)x ，这就证明了(1)。 (2) 设 u(z)  u(x) 。既然 xint X ，存在 x 的邻域 U 使得 U  X , 从而也存在 t (0,1) 使 得 w = tz + (1− t)x = x + t(z − x)U 。效用函数 u 的拟凹性保证了 u(w)  u(x) ，而 u 的连续性 又保证了存在 w 的邻域 V （即以 w 为中心的一个开球）使得 V U 且对于任何 yV ，都有 u(y)  u(x) 。显然，我们可以在 V 中选取一个符合下列条件的点 ( , , , ) 1 2   y = y y y ：对每个 h (h =1,2,  , ) ，当 uh  (x)  0 时， h wh y  ；当 uh  (x)  0 时， h wh y  。对于这样选定的点 y ， 从 u (x)  0 可知 u (x) y  u (x)w 。既然 u(y)  u(x) ，从(1)的结论可知 u (x) y  u (x)x ，从而 u (x)w  u (x)x 。注意 u (x)w = u (x)x + tu (x)(z − x) ，因此 tu (x)(z − x)  0 。而 t  0 ，于是 u (x)z  u (x)x 。(2)得证。 (3) 设 u 严格拟凹， z  x 且 u(z)  u(x) 。令 y = (1 2)(x + z) 。效用函数 u 的严格拟凹性 保证了 u(y)  u(z) ，于是从(2)的结论可知 u (x) y  u (x)x 。将 y = (1 2)(x + z) 代入此式即可 得到 u (x)z  u (x)x ，(3)得证。 命题 2. 设消费集合 X 是  R 的凸子集，效用函数 u : X → R 拟凹，在点 xint X 处二阶 可微，并且 u (x)  0。则对于任何 z⊥(x) ，都有 ( )  0 T z u x z 。这里，“ T ”表示矩阵的转 置运算，集合 ⊥(x) ={yR : u (x)y = 0}  是无差异曲面在点 x 处的切平面。 证明：设 xint X 是命题中给定的点，这意味着存在正实数  满足 B(x,)  X ，其中 B(x, ) ={y R : y − x  }  是以 x 为中心、  为半径的开球。 现在，设 z⊥(x) 是切平面上的任一点。如果 z = 0 ，那么 ( ) = 0 T z u x z 是明显的。以下 设 z  0 。于是，必然存在一个正实数  ，使得 x + zB(x,)  X 且 x − zB(x,)  X 。 记 w = x + z ，并对每个实数 t ，令 y(t) = x + t(w − x) 。显然，对于任何 t [−1,1] ，都有 y(t) = x + t z 成立，从而有 u (x) y(t) = u (x)x + t u (x)z = u (x) x 成立（因为 u (x)z = 0 ）。 这说明，命题 1(2)的条件得到满足，因此 u(y(t))  u(x) = u(y(0)) 对一切 t [−1,1] 成立。 定义函数 f :[−1,1]→ R 如下： f (t) = u(y(t)) (t [−1,1]) 。则从上面的讨论知， f (0) = u(x) 是 f (t) 在 [−1,1] 上的最大值点，而且 f (t) 在 (−1,1) 上二阶可微。根据函数最大值二阶必要条

第四章需求理论 件可知,∫"(O)≤0(这是因为,假如f"(O)>0,那么f(0)便为f的极小值,出现矛盾)。计 算∫"(0)可知 f0)=∑o(x-xmnk-x)=2∑0(x)-=2n(x)≤0 结果,zn(x)z7≤0。命题得证。 效用函数的拟凹性或严格拟凹性,都不足以保证需求函数的可微性。为了用微分法分析 消费者需求的变动情况,需要把上述命题中得到的不等式换为严格不等式,即提出效用函数 的强拟凹性概念 定义.设效用函数u:X→R严格拟凹,在X内部二阶可微。u叫做在点x∈itX处强拟 凹,是指(x)≠0且对任何∈⊥(x),x≠0,都有z(x)z70且对于任何z∈⊥(x),zy(x)z=g{u(x)zn'(x)z7。这说明,u强 拟凹当且仅当v强拟凹。即强拟凹性与效用函数的具体选择无关,属于偏好关系本身的性质。 命题3.设消费集合XcR是凸集,效用函数u:X→R严格拟凹且在X内部二阶可微, x∈ntX。则a在x处强拟凹的充分必要条件是:u在x处的加边海森矩阵H(x)非奇异。这 里,所谓效用函数u的加边海森矩阵H(x),是指: u1(x)…utc(x)a1(x) H(x)=H2(x) ((x) (x)0 aa(x)…ul(x)a2(x) l1(x) l2(x)0 证明:线性代数理论告诉我们,一个n阶方阵A非奇异的充要条件是:对任何非零的n维 列向量z,都有Ax≠0。下面的证明将应用这一事实。设x∈intY为命题中给定的点。 必要性.我们只需证明:对于任何C+1维向量(x,r)∈RxR,如果H(x)(z,r)=0, 么(x,r)=0。为此,设(,r)∈RxR满足H(x)(,r)2=0的任意一个(+1维向量。注意 "(x)+r(n(x) 因此,u(x)z7+r((x)y=0,(x)z7=0,从而z∈⊥(x) 进一步,0=z(x)z+r=((x)y=z(x)z。既然u强拟凹且z∈⊥(x),可见只有 z=0。将这一结果代入n'(x)z+r(n(x)=0,可得r((x)=0。由于(x)≠0,因此 r=0。这就证明了(=,r)=0。H(x)的非奇异性得证 充分性.H(x)的非奇异性说明,对于任何C+1维向量(x,r)∈RxR,如果(z,r)≠0

第四章 需求理论 59 件可知， f (0)  0 (这是因为，假如 f (0)  0 ，那么 f (0) 便为 f 的极小值，出现矛盾)。计 算 f (0) 可知， (0) ( )( )( ) ( ) ( ) 0 2 , 1 2 , 1  =   − − =   =   = = T h k hk h k h k hk h h k k f u x w x w x  u x z z  z u x z   结果， ( )  0 T z u x z 。命题得证。 效用函数的拟凹性或严格拟凹性，都不足以保证需求函数的可微性。为了用微分法分析 消费者需求的变动情况，需要把上述命题中得到的不等式换为严格不等式，即提出效用函数 的强拟凹性概念。 定义. 设效用函数 u : X → R 严格拟凹，在 X 内部二阶可微。u 叫做在点 xint X 处强拟 凹，是指 u (x)  0 且对任何 z⊥(x) ,z  0 ，都有 ( )  0 T z u x z 。如果 u 在 X 内部的每个点处 都是强拟凹的，则称 u 是强拟凹的效用函数。 效用函数的强拟凹性实际上只与消费者的偏好有关，而与二阶可微效用函数的具体选择 无关。事实上，对于等价的效用函数 u 与 v 来说，从第三章第 3 节的讨论可知，存在严格递 增可微函数  :u[X]→v[X] 满足： (1) 对任何 x X , v (x) =(u(x)) ； (2) 对任何 xint X , v (x) =(u(x))u (x) 。由此可知， (3) 对任何 xint X , v (x) (u(x))(u (x)) u (x) (u(x)) u (x) T  =   +  。 注意， (u(x))  0 且对于任何 z⊥(x) ， ( ) T T z v (x)z = u(x) z u (x)z 。这说明， u 强 拟凹当且仅当 v 强拟凹。即强拟凹性与效用函数的具体选择无关，属于偏好关系本身的性质。 命题 3. 设消费集合  X  R 是凸集，效用函数 u : X → R 严格拟凹且在 X 内部二阶可微， xint X 。则 u 在 x 处强拟凹的充分必要条件是： u 在 x 处的加边海森矩阵 H(x) 非奇异。这 里，所谓效用函数 u 的加边海森矩阵 H(x) ，是指： ( )                       =            = = ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x H x H x T u             证明：线性代数理论告诉我们，一个 n 阶方阵 A 非奇异的充要条件是：对任何非零的 n 维 列向量 z ，都有 Az  0 。下面的证明将应用这一事实。设 x  int X 为命题中给定的点。 必要性．我们只需证明：对于任何  +1 维向量 z r R  R  ( , ) ，如果 ( )( , ) = 0 T H x z r ，那 么 (z,r) = 0 。为此，设 z r R  R  ( , ) 满足 ( )( , ) = 0 T H x z r 的任意一个  +1 维向量。注意， ( )           +  = T T T T u x z u x z r u x H x z r ( ) ( ) ( ) ( )( , ) 因此， ( ) + ( ( )) = 0 T T u x z r u x ， ( ) = 0 T u x z ，从而 z⊥(x) 。 进一步， ( ) T T T 0 = z u (x)z + r z u (x) = z u (x)z 。既然 u 强拟凹且 z⊥(x) ，可见只有 z = 0 。将这一结果代入 ( ) + ( ( )) = 0 T T u x z r u x ，可得 ( ( )) = 0 T r u x 。由于 u (x)  0 ，因此 r = 0 。这就证明了 (z,r) = 0。 H(x) 的非奇异性得证。 充分性． H(x) 的非奇异性说明，对于任何  +1 维向量 z r R  R  ( , ) ，如果 (z,r)  0

第四章需求理论 那么H(x)(z,r)≠0。对(z,r)=(0,…0,)应用这一结论,便可知(x)≠0 对于每个t∈R,令A()="(x)+t((x)yu(x)。则对于任何的∈⊥(x),都有 zA()z=zl(x)z+t(ul(x)u(x)z=z(x)z7 l的拟凹性保证了对于任何的z∈⊥(x),都有A(1)=1=u'(x)z7≤0。 令b0=mm(yn(x)y(v∈R)(x)y=1),并取定一个<。我们断定:A(是 非奇异的、半负定的,从而是负定的。 A()的非奇异性的证明:设y∈R任意给出且y≠0。如果(x)y2=0,则从H(x)的非 奇异性可知H(x)(,0)≠0,即u(x)y2≠0,从而A()y≠0。以下设(x)y2≠0,并令 =((x)y)y,则(x)7=1 假若A)=7=0,则0=A(1)==z(x)z+1((x)u(x)z7=z(x)z7+t,从而 t=-7(x)z210,这与t<10发生矛盾。可见,A(1)z=0不成立。这样,Al)y≠0。 之,对任何y∈R,y≠0,都成立A(1)y2≠0。这说明A()是非奇异的。 A(的半负定性的证明:设任意给定y∈R。如果(x)y=0,则根据u的拟凹性和命 题2可知,yA)y=y(x)y≤0。以下设(x)y2≠0。 令二=(/2(x)y)y,则1(x)x7=1.注意:4()=7-n(x)=7=1<0≤-(x)2,因 此A40)=7<0,即的 ) (u(x)y)yA()y<0,从而yA()y<0。 之,对任何的y∈R,都有yA(t)y≤0。这说明A)是半负定的 由于非奇异的半负定矩阵必是负定的,因此A()是负定矩阵,即对于任何y∈R,只要 y≠0,就有yA()y2<0。可见对于任何二∈⊥(x),z≠0,都有z(x)z=A()z7<0。 这说明u是强拟凹的。充分性得证 需求函数的可微分性 现在考察需求函数的可微分变化规律。设消费集合X满足假设HC:效用函数u强拟凹、 在X内部二阶可微,并且无最大值;均衡在消费集合内部实现,即D(p,r)ntX对一切 (P,r)∈△成立。在这些假设之下,对于任何(Pp,r)∈△°,边际方程 lh(x)=APb(h=12,…,0 Pkx 确定了消费者的唯一需求向量x=(x1,x1…,x)=5(P,r)=(51(p,r)22(Pp,r)2…,5(p,r)∈X 及拉格朗日乘数λ=A(p,r)。x=5(p,r)确定了消费者对商品h的需求函数(h=1,2,…,O)。 将这些需求函数代入边际方程,则边际方程就变成为恒等式,称为边际等式。 现在假定价格和收入都发生了微小变化,从而引起了需求发生变化。设商品h的价格变 化为,消费者收入的变化为d,消费者对商品h的需求的变化为dn(h=1,2,…,O)。这 些变化之间的关系,可通过在边际等式两边求微分加以确定 ∑(x)k=4h+pd(h=12…,0 ∑(px+x中)=d

第四章 需求理论 60 那么 H(x)(z,r)  0 。对 (z,r) = (0,  ,0,1) 应用这一结论，便可知 u (x)  0 。 对于每个 t  R ，令 A(t) u (x) t(u (x)) u (x) T =  +   。则对于任何的 z⊥(x) ，都有 ( ) T T T T T z A(t)z = z u (x)z + t z u (x) u (x)z = z u (x)z u 的拟凹性保证了对于任何的 z⊥(x) ，都有 ( ) = ( )  0 T T z A t z z u x z 。 令 0 = min− ( ) :(  ) ( ( ) =1) T T t y u x y y R u x y  ，并取定一个 0 t  t 。我们断定： A(t) 是 非奇异的、半负定的，从而是负定的。 A(t) 的非奇异性的证明：设  y R 任意给出且 y  0 。如果 ( ) = 0 T u x y ，则从 H(x) 的非 奇异性可知 ( )( ,0)  0 T H x z ，即 ( )  0 T u x y ，从而 ( )  0 T A t y 。以下设 ( )  0 T u x y ，并令 z ( u x y ) y T = 1 ( ) ，则 ( ) =1 T u x z 。 假若 ( ) = 0 T A t z ，则 z A t z z u x z t z(u x ) u x z z u x z t T T T T T 0 = ( ) = ( ) + ( ) ( ) = ( ) + ，从而 0 t z u (x)z t T = −   ，这与 0 t  t 发生矛盾。可见， ( ) = 0 T A t z 不成立。这样， ( )  0 T A t y 。 总之，对任何  y R ， y  0 ，都成立 ( )  0 T A t y 。这说明 A(t) 是非奇异的。 A(t) 的半负定性的证明：设任意给定  y R 。如果 ( ) = 0 T u x y ，则根据 u 的拟凹性和命 题 2 可知， ( ) = ( )  0 T T y A t y y u x y 。以下设 ( )  0 T u x y 。 令 z ( u x y ) y T = 1 ( ) ，则 ( ) =1 T u x z 。注意 T T T z A(t)z z u (x)z t t z u (x)z 0 −  =   −  ,因 此 ( )  0 T z A t z ，即 (1 ( ( ) )) ( ) 0 2   T T u x y y A t y ，从而 ( )  0 T y A t y 。 总之，对任何的  y R ，都有 ( )  0 T y A t y 。这说明 A(t) 是半负定的。 由于非奇异的半负定矩阵必是负定的，因此 A(t) 是负定矩阵，即对于任何  y R ，只要 y  0 ，就有 ( )  0 T y A t y 。可见对于任何 z⊥(x) , z  0 ，都有 ( ) = ( )  0 T T z u x z z A t z 。 这说明 u 是强拟凹的。充分性得证。 二．需求函数的可微分性 现在考察需求函数的可微分变化规律。设消费集合 X 满足假设 HC；效用函数 u 强拟凹、 在 X 内部二阶可微，并且无最大值；均衡在消费集合内部实现，即 D( p,r)  int X 对一切  ( p,r) 成立。在这些假设之下，对于任何  ( p,r) ，边际方程      =  = = =    1 ( ) ( 1,2, , ) k k k h h p x r u x  p h 确定了消费者的唯一需求向量 x = (x1 , x1 ,  , x ) = ( p,r) = ( 1 ( p,r), 2 ( p,r), ,  ( p,r)) X 及拉格朗日乘数  = ( p,r) 。 x ( p,r) h = h 确定了消费者对商品 h 的需求函数 (h =1,2,  , ) 。 将这些需求函数代入边际方程，则边际方程就变成为恒等式，称为边际等式。 现在假定价格和收入都发生了微小变化，从而引起了需求发生变化。设商品 h 的价格变 化为 dph ，消费者收入的变化为 dr ，消费者对商品 h 的需求的变化为 dx (h =1,2,  , ) h 。这 些变化之间的关系，可通过在边际等式两边求微分加以确定： ( )        + =  = + =   = = p dx x d p d r u x dx d p p d h k k k k k h h k hk k     1 1 ( )   ( 1,2, , )

第四章需求理论 d 中p 记=2 d-,.p=21,则上式可改写为{(一P=中.用E表示 dx= dr-xdp dx C阶单位方阵,则此式又可改写成: (x) dx ae odp 此式称为消费者需求的基本矩阵方程或者称为基本矩阵等式。 命题4.设消费集合X满足假设HC,效用函数强拟凹、在κ内部二阶可微、且无最 大值,()∈△,x=)∈mx则矩库("3))非奇异并且需求函数在点() 附近连续可微。 证明:我们先来证明矩ku(x)的非奇异性,即证明对于任意的(ab)∈RxR 只要(ab)≠0,就有/(x)pYa7 ≠0。为此,设(a,b)∈RxR任意给出,且(a,b)≠0 计算一下这里的矩阵乘积,我们得到 根据pa7是否为零,我们分两种情况进行讨论 情形1.pa7=0,即ap=0 由于(x)=Ap,因此u(x)a=0,即a∈⊥(x)。如果a≠0,则根据u的强拟凹性可 知an(x)<0。注意,d(n1(x)2+bp)=am(xa7<0。这说明《x)x+bp≠0,从而 u"(x)pa ≠0。如果a=0,则b≠0,从而/4(x)p ≠0。总之,不论 0人b 0人b 0 是否为零向量,我们总有“(x)P丫a 情形2.pa≠0 此时,显然有/“(x)Pa l'(x)a+bP≠0。 0人b

第四章 需求理论 61 记               =   dx dx dx dx 2 1 ，               =   dp dp dp dp 2 1 ，               =   p p p p 2 1 ，则上式可改写为    = −  − = p dx dr xdp u x dx p d dp T ( )   。用 E 表示  阶单位方阵，则此式又可改写成：                 − =        −          d r d p x E d dx p u x p T 1 0 0 ( )   此式称为消费者需求的基本矩阵方程或者称为基本矩阵等式。 命题 4. 设消费集合 X 满足假设 HC，效用函数 u 强拟凹、在 X 内部二阶可微、且无最 大值，  ( p,r) ，x =( p,r)int X 。则矩阵          0 ( ) T p u x p 非奇异，并且需求函数  h 在点 ( p,r) 附近连续可微。 证明： 我们先来证明矩阵          0 ( ) T p u x p 的非奇异性，即证明对于任意的 a b R  R  ( , ) ， 只要 (a,b)  0 ，就有 0 0 ( )                   b a p u x p T T 。为此，设 a b R  R  ( , ) 任意给出，且 (a,b)  0 。 计算一下这里的矩阵乘积，我们得到：          + =                  T T T T T p a u x a b p b a p u x p ( ) 0 ( ) 根据 T T p a 是否为零，我们分两种情况进行讨论。 情形 1. = 0 T T p a ，即 a p = 0。 由于 T u (x) =  p ，因此 ( ) = 0 T u x a ，即 a⊥(x) 。如果 a  0 ，则根据 u 的强拟凹性可 知 ( )  0 T au x a 。注意， ( ( ) + )= ( )  0 T T a u x a b p au x a 。这说明 u (x)a + b p  0 T ，从而 0 0 ( )                   b a p u x p T T 。如果 a = 0 ，则 b  0 ，从而 0 0 0 ( )         =                  b p b a p u x p T T 。总之，不论 a 是否为零向量，我们总有 0 0 ( )                   b a p u x p T T 。 情形 2.  0 T T p a 。 此时，显然有 0 ( ) 0 ( )           + =                  T T T T T p a u x a b p b a p u x p

第四章需求理论 总而言之,不论pa是否为零,都有(“() 6/≠0。可见矩阵/“(x)p 必然 是非奇异的。 我们再来说明各个需求函数5的可微性。首先,需求函数5由边际等式确定这一事实以 及隐函数存在定理告诉我们,只要边际方程的雅可比( Jaccobi)矩阵J(p,r)非奇异,边际方 程就确定了在(p,r)附近连续可微的需求函数。计算关于(p,r)的雅可比矩阵J(P,r),不难 发 J(pr-u(x)p 于是,根据上面的分析论证,雅可比矩阵是非奇异的。这就证明了各个需求函数5在点 (p,r)附近的连续可微性。命题4得证。 命题4表明,当价格与收入的变化都很微小时,需求的变化也很微小,并且基本上与价 格和收入的微小变化呈线性关系,这种线性关系可通过需求的基本矩阵方程来求解: u"(x)prdx2E 0-a元 (x) ae oDp 0)(-x1人d 第四节替代效应与收入效应 本节从需求的基本矩阵方程出发,分析价格与收入的变化所引起的需求的变动。现实经 济生活中,我们常常会看到这样的情况,某种商品的价格并未发生变化,消费者的收入也没 有变化,然而消费者对该种商品的需求量却发生了变化。这是为什么呢?实际上,这种需求 变动来自于其他商品价格的变化而引起的商品之间的替代。本节要研究这种替代效应,即要 分析一种商品的价格变化对另一种商品的需求量的影响。另一方面,当商品自身的价格发生 变化时,该商品的需求量会发生变化,这就是所谓的自身效应,本节也要加以研究,即要分 析商品价格的变化对商品自身需求量的影响。当消费者收入发生变化时,商品的需求量明显 地要受到影响,这则是收入效应。因此,本节还要分析收入的变化对需求的影响。 我们将用总效应一词来表达价格与收入的变化所引起的需求的变动。对于总效应的研究 其依据是上一节最后对命题4作说明时,所改写的需求基本矩阵方程: dx(u(x)plae 0YdE d2)(p70 这个矩阵等式准确地表达了价格和收入的变化对需求的影响。但是,我们希望知道一些更加 具体、更加明确的需求变动规律,因而需要对如上方程进行深入分析。为了方便起见,令

第四章 需求理论 62 总而言之，不论 T T p a 是否为零，都有 0 0 ( )                   b a p u x p T T 。可见矩阵          0 ( ) T p u x p 必然 是非奇异的。 我们再来说明各个需求函数  h 的可微性。首先，需求函数  h 由边际等式确定这一事实以 及隐函数存在定理告诉我们，只要边际方程的雅可比(Jaccobi)矩阵 J ( p,r) 非奇异，边际方 程就确定了在 ( p,r) 附近连续可微的需求函数。计算关于 ( p,r) 的雅可比矩阵 J ( p,r) ，不难 发现：          = 0 ( ) ( , ) T p u x p J p r 于是，根据上面的分析论证，雅可比矩阵是非奇异的。这就证明了各个需求函数  h 在点 ( p,r) 附近的连续可微性。命题 4 得证。 命题 4 表明，当价格与收入的变化都很微小时，需求的变化也很微小，并且基本上与价 格和收入的微小变化呈线性关系，这种线性关系可通过需求的基本矩阵方程来求解：                 − =        −          d r d p x E d dx p u x p T 1 0 0 ( )                   −          =        − − dr dp x E p u x p d dx T 1 0 0 ( ) 1   第四节 替代效应与收入效应 本节从需求的基本矩阵方程出发，分析价格与收入的变化所引起的需求的变动。现实经 济生活中，我们常常会看到这样的情况，某种商品的价格并未发生变化，消费者的收入也没 有变化，然而消费者对该种商品的需求量却发生了变化。这是为什么呢？实际上，这种需求 变动来自于其他商品价格的变化而引起的商品之间的替代。本节要研究这种替代效应，即要 分析一种商品的价格变化对另一种商品的需求量的影响。另一方面，当商品自身的价格发生 变化时，该商品的需求量会发生变化，这就是所谓的自身效应，本节也要加以研究，即要分 析商品价格的变化对商品自身需求量的影响。当消费者收入发生变化时，商品的需求量明显 地要受到影响，这则是收入效应。因此，本节还要分析收入的变化对需求的影响。 我们将用总效应一词来表达价格与收入的变化所引起的需求的变动。对于总效应的研究， 其依据是上一节最后对命题 4 作说明时，所改写的需求基本矩阵方程：                 −          =        − − dr dp x E p u x p d dx T 1 0 0 ( ) 1   这个矩阵等式准确地表达了价格和收入的变化对需求的影响。但是，我们希望知道一些更加 具体、更加明确的需求变动规律，因而需要对如上方程进行深入分析。为了方便起见，令