《高级微观经济学》第六章理性生产者.doc_大学文库

第六章理性生产者第六章理性生产者前面三章研究了消费者行为理论,从本章开始我们研究生产者行为,讨论生产最优化问题。理性生产者是利润最大化的追求者,这是研究生产者行为的基本前提。为了揭示生产活动的规律,我们将从收益与成本两方面进行分析。同消费者行为理论一样,我们要分析生产者是如何依据价格进行决策的。本章的讨论将按照单一产品的生产和多种产品的生产两种情形分别井第一节生产函数生产者也叫做厂商、企业、或公司,生产者从事的经济活动称为生产活动。任何生产活动都表现为投入一定数量的若干种商品,生产出一定数量的产品,并把产品提供给市场进行销售,以产品的全部售出为终结。这种以投入为开端,以售完产品为终结的整个过程,称为生产过程。企业的生产技术水平、人员素质、组织水平及企业家才能等,都在生产过程中得到完全反映。为了揭示生产活动的规律,我们首先研究单一产品生产的情形生产要素产品不会无中生有。企业要组织生产,就必须投入一定的人力、物力和财力。我们把组织生产所必需的一切人力、物力和财力,称为生产要素。人力方面的生产要素表现为投入的各种劳动与智慧,包括体力劳动和脑力劳动、熟练劳动和非熟练劳动、简单劳动和复杂劳动等。物力方面表现为投入的各种自然资源与资本品,自然资源包括原材料、土地、矿藏、海藏等, 资本品包括生产者拥有的厂房、设备、知识、才能等。财力方面表现为生产者拥有的货币资本、资金来源及筹集资金手段(如贷款与发行证券)的有效程度等。所有这些生产要素可概括为四类:资源、资本、劳动、企业家才能。资源是生产所必需的一切可以开发利用的自然资源,包括土地、海域、空间、矿藏、海藏、宇宙资源(如太阳能)等。资源具有原始性与初等性,是商品转化的起点资本是生产者具备生产经营条件与能力的凭证,包括一切物质资本、货币资本和技术资本。物质资本也叫做资本品,货币资本也叫做资金,资本品与资金之间可以互相转换。技术资本也简称为技术,指生产所需的一切科学技术劳动是生产所需的一切体力与智力的消耗,包括体力、脑力、技术、非技术、熟练、非熟练、简单、复杂劳动等等。任何生产都离不开劳动,而且劳动的质量对生产起着关键性的作用。决定劳动质量好坏的内在因素是劳动者的素质,因此,提高企业内部的劳动者的科学文化水平,让劳动者掌握先进的科学技术知识,对于企业来讲是十分重要的。企业家才能是指企业家经营企业的组织能力、管理能力及创造能力,是企业的智慧资本。智慧资本不同于物质资本、货币资本和技术资本,它是无价之宝,具有特殊重要性

第六章理性生产者 126 第六章理性生产者前面三章研究了消费者行为理论，从本章开始我们研究生产者行为，讨论生产最优化问题。理性生产者是利润最大化的追求者，这是研究生产者行为的基本前提。为了揭示生产活动的规律，我们将从收益与成本两方面进行分析。同消费者行为理论一样，我们要分析生产者是如何依据价格进行决策的。本章的讨论将按照单一产品的生产和多种产品的生产两种情形分别进行。第一节生产函数生产者也叫做厂商、企业、或公司，生产者从事的经济活动称为生产活动。任何生产活动都表现为投入一定数量的若干种商品，生产出一定数量的产品，并把产品提供给市场进行销售，以产品的全部售出为终结。这种以投入为开端，以售完产品为终结的整个过程，称为生产过程。企业的生产技术水平、人员素质、组织水平及企业家才能等，都在生产过程中得到完全反映。为了揭示生产活动的规律，我们首先研究单一产品生产的情形。一、生产要素产品不会无中生有。企业要组织生产，就必须投入一定的人力、物力和财力。我们把组织生产所必需的一切人力、物力和财力，称为生产要素。人力方面的生产要素表现为投入的各种劳动与智慧，包括体力劳动和脑力劳动、熟练劳动和非熟练劳动、简单劳动和复杂劳动等。物力方面表现为投入的各种自然资源与资本品，自然资源包括原材料、土地、矿藏、海藏等，资本品包括生产者拥有的厂房、设备、知识、才能等。财力方面表现为生产者拥有的货币资本、资金来源及筹集资金手段(如贷款与发行证券)的有效程度等。所有这些生产要素可概括为四类：资源、资本、劳动、企业家才能。资源是生产所必需的一切可以开发利用的自然资源，包括土地、海域、空间、矿藏、海藏、宇宙资源(如太阳能)等。资源具有原始性与初等性，是商品转化的起点。资本是生产者具备生产经营条件与能力的凭证，包括一切物质资本、货币资本和技术资本。物质资本也叫做资本品，货币资本也叫做资金，资本品与资金之间可以互相转换。技术资本也简称为技术，指生产所需的一切科学技术。劳动是生产所需的一切体力与智力的消耗，包括体力、脑力、技术、非技术、熟练、非熟练、简单、复杂劳动等等。任何生产都离不开劳动，而且劳动的质量对生产起着关键性的作用。决定劳动质量好坏的内在因素是劳动者的素质，因此，提高企业内部的劳动者的科学文化水平，让劳动者掌握先进的科学技术知识，对于企业来讲是十分重要的。企业家才能是指企业家经营企业的组织能力、管理能力及创造能力，是企业的智慧资本。智慧资本不同于物质资本、货币资本和技术资本，它是无价之宝，具有特殊重要性

第六章理性生产者 127 企业在组织生产的过程中,有些生产要素的投入量是可变的,这部分生产要素称为可变要素。而另一部分要素的投入量不可变,称为固定要素或不可变要素。例如,短期内投入的土地面、厂房、大型机器设备都无法改变,而投入的原材料、电力、劳动等消耗品的数量都是可改变的。一般清况下,不变要素在生产过程结束时仍然存在,只不过会有磨损。而可变要素在生产结束后不再存在,已转化成了产品不变要素可以作为企业生产技术与生产条件来看待,算作企业生产技术的一部分,这样一来,投入的生产要素中就只剩下可变要素部分了。如果作长期考虑,一切生产要素都是可变的。企业要扩大生产规模,就必须扩大土地使用面积,扩建厂房,更新设备等,于是固定资产也成为可变资产,一切生产要素都可变,甚至技术水平也要变化生产函数在企业的生产技术水平已定的情况下,企业投入一定数量的若干生产要素,产出一定数量的产品。这样,在产品产量与各种生产要素数量组合之间就产生了一种对应关系,称之为(简单)生产函数,它由企业的生产技术水平所确定,是企业技术的反映 (一)生产函数的性质经济学关心的是可变生产要素对产品产量的影响,而不可变的生产要素作为企业生产技术条件的一部分来对待,企业家才能及生产技术水平与条件都视为固定的。这样一来,所考虑的投入要素都是可变的,从而可把长期与短期综合在一起统一研究。企业投入一定数量的各种生产要素,可得到一定数量的产品。设可变生产要素总共有C种,于是,生产要素空间为R。各种生产要素数量组合变化范围是要素空间的正象限部分R={x∈R(:x≥0}称为要素空间或投入集合。投入集合中的商品向量称为投入向量或投入方案。用f(x)表示投入向量为 x=(x1,x2…,x)时能够生产的最大产量。这种最大产量与投入方案之间的对应关系∫就是企业的生产函数,它由企业的生产技术水平所确定,随生产技术的改变而改变生产函数一般具有单调性,即投入较多时,产量也较多,至少不会减少。用严格的语言表达,即对于任何两种投入方案x和y,只要x≤y,就有f(x)≤f(y)。但有时这种单调性也可能不会出现,比如当化肥的使用量过大时,粮食产量不会增加,反倒减少。其实从理论上讲, 当投入要素的数量过大时,没有理由不允许生产者让一部分要素闲置,不投入实际生产中。这样,生产函数就又具有了单调性:虽然要素数量过大,但因实际上投入使用的数量没有过量因而产量没有减少在生产者已投入了向量x的情况下,如再增加要素h的一单位投入量,所引起的产量增加量称为x处要素h的边际产出或边际产量。显然,在投入x处,要素h的边际产出就是生产函数∫的关于自变量xb的偏导数∫(x)。由于今后将要常常使用生产函数的偏导数,在此我们提出生产函数的可微性假设假设PF(关于生产函数的假设).生产函数∫满足下面四个条件 (1)真实性:f(0)=0,即不能无中生有,没有投入就没有产出 (2)非负性:对任何投入向量x,都有f(x)≥0; (3)连续性:f在投入集合R={x∈R2x≥0中连续 (4)光滑性:∫在投入集合内部R={x∈R:x>0}连续可微,且在各点处的各个一阶偏导数不会同时都为零 (二)生产要素的贡献利用生产函数f,可以衡量投入方案x=(x1,x2…,x)∈R处各种生产要素h对生产的贡

第六章理性生产者 127 企业在组织生产的过程中，有些生产要素的投入量是可变的，这部分生产要素称为可变要素。而另一部分要素的投入量不可变，称为固定要素或不可变要素。例如，短期内投入的土地面、厂房、大型机器设备都无法改变，而投入的原材料、电力、劳动等消耗品的数量都是可改变的。一般清况下，不变要素在生产过程结束时仍然存在，只不过会有磨损。而可变要素在生产结束后不再存在，已转化成了产品。不变要素可以作为企业生产技术与生产条件来看待，算作企业生产技术的一部分，这样一来，投入的生产要素中就只剩下可变要素部分了。如果作长期考虑，一切生产要素都是可变的。企业要扩大生产规模，就必须扩大土地使用面积，扩建厂房，更新设备等，于是固定资产也成为可变资产，一切生产要素都可变，甚至技术水平也要变化。二、生产函数在企业的生产技术水平已定的情况下，企业投入一定数量的若干生产要素，产出一定数量的产品。这样，在产品产量与各种生产要素数量组合之间就产生了一种对应关系，称之为(简单)生产函数，它由企业的生产技术水平所确定，是企业技术的反映。 (一) 生产函数的性质经济学关心的是可变生产要素对产品产量的影响，而不可变的生产要素作为企业生产技术条件的一部分来对待，企业家才能及生产技术水平与条件都视为固定的。这样一来，所考虑的投入要素都是可变的，从而可把长期与短期综合在一起统一研究。企业投入一定数量的各种生产要素，可得到一定数量的产品。设可变生产要素总共有  种，于是，生产要素空间为  R 。各种生产要素数量组合变化范围是要素空间的正象限部分 ={  :  0} + R x R x   称为要素空间或投入集合。投入集合中的商品向量称为投入向量或投入方案。用 f (x) 表示投入向量为 ( , , , ) 1 2   x = x x x 时能够生产的最大产量。这种最大产量与投入方案之间的对应关系 f 就是企业的生产函数，它由企业的生产技术水平所确定，随生产技术的改变而改变。生产函数一般具有单调性，即投入较多时，产量也较多，至少不会减少。用严格的语言表达，即对于任何两种投入方案 x 和 y ，只要 x  y ，就有 f (x)  f (y) 。但有时这种单调性也可能不会出现，比如当化肥的使用量过大时，粮食产量不会增加，反倒减少。其实从理论上讲，当投入要素的数量过大时，没有理由不允许生产者让一部分要素闲置，不投入实际生产中。这样，生产函数就又具有了单调性：虽然要素数量过大，但因实际上投入使用的数量没有过量，因而产量没有减少。在生产者已投入了向量 x 的情况下，如再增加要素 h 的一单位投入量，所引起的产量增加量称为 x 处要素 h 的边际产出或边际产量。显然，在投入 x 处，要素 h 的边际产出就是生产函数 f 的关于自变量 h x 的偏导数 f (x) h  。由于今后将要常常使用生产函数的偏导数，在此我们提出生产函数的可微性假设。假设 PF(关于生产函数的假设). 生产函数 f 满足下面四个条件: (1) 真实性： f (0) = 0 ，即不能无中生有，没有投入就没有产出； (2) 非负性：对任何投入向量 x ，都有 f (x)  0 ； (3) 连续性： f 在投入集合 ={  :  0} + R x R x   中连续； (4) 光滑性： f 在投入集合内部 ={  :  0} ++ R x R x   连续可微，且在各点处的各个一阶偏导数不会同时都为零。 (二) 生产要素的贡献利用生产函数 f ，可以衡量投入方案  =   R+ x (x , x , , x ) 1 2 处各种生产要素 h 对生产的贡

第六章理性生产者献大小。注意,要素h的边际产出为f(x)。要素h对生产的贡献可用下式来表达 an()bf(x)h=12,…,O 这个式子有以下两方面的意义。其一是说,按照当前的边际产出计算,投入x,个单位的要素h所产出的产品数量为 xnf(x),这个产量在总产量f(x)中所占的比例为a1(x),而总产量f(x)是全部要素的产出。所以,要素h对生产的贡献就是要素h的产出占全部要素的产出的比例。其二是说,a(x)是投入方案x处产量的变化幅度与要素h的投入使用量的变化幅度之比,因而是产量对要素h的投入量的弹性。a(x)越大,说明要素h对产出的影响越大。尤其是当a(x)>1时,要素h的投入量的较小幅度增加就会引起产量的大幅度增加:而当αh(x)1时,把各种要素的投入量增加一倍便可使产量增加多于一倍,因而生产还大有潜力可挖,值得再增加各种要素的投入量以增加产量;当总贡献α(x)<1时,如果把各种要素的投入量增加一倍,增加的产量不如原来的产量大,说明生产的潜力已到尽头,不值得再增加投入;当α(x)=1时,各种要素的投入量增加一倍时产量也将增加一倍,因而产量与生产规模同比例扩大读者需要注意的是,这里所谈的生产要素贡献,是指当前的贡献,不涉及生产要素原来的贡献,因而是一种边际贡献。我们把要素h的贡献an(x)与要素k的贡献∝k(x)之间的比值,称为投入方案x处要素h 对要素k的贡献系数,记作Rk(x),即 Rh(x) (h,k=1,2,…,C ak(x) 它表示为了获得产量f(x),要素k贡献一份力量时要求要素h的贡献量,即要素h的贡献是要素k的贡献的R4(x)倍。只有要素h按照这个倍数与要素k同时发挥作用,产量f(x)才能生产出来。所以,贡献系数表示了生产中要素h对要素k的配合性。事实上,如果生产一种产品需要多种生产要素的话,那么缺少其中任何一种要素是不成的。贡献系数正反映了这一事实 (三)有效投入同一产量可以在生产要素的不同组合下得到,也就是说,同一产量可以按照两种不同的投入方案组织生产。这就需要对投入进行有效性分析。投入方案的有效性,就是指在保持产量不减少的情况下所投入使用的各种生产要素数量达到最小。对此,我们可以给出严格的定义: 投入方案x∈R称为是有效的,是指没有投入方案y∈R能够满足y<x且f(y)≥f(x)。有效投入方案也可简称为有效投入。用E表示有效投入的全体,称为生产者的有效投入区。有效投入区的边界称为脊线或脊面在前面关于生产函数的假设中,没有假定生产函数的单调性,尽管我们已经指出生产函数在一般情况下具有单调性。为什么不直接假定生产函数的单调性呢?其原因主要是因为我们

第六章理性生产者 128 献大小。注意，要素 h 的边际产出为 f (x) h  。要素 h 对生产的贡献可用下式来表达: ( 1,2, , ) ( ) ( ) ( ) =    = h f x x f x x h h  h 这个式子有以下两方面的意义。其一是说，按照当前的边际产出计算，投入 h x 个单位的要素 h 所产出的产品数量为 x f (x) h h  ，这个产量在总产量 f (x) 中所占的比例为 (x)  h ，而总产量 f (x) 是全部要素的产出。所以，要素 h 对生产的贡献就是要素 h 的产出占全部要素的产出的比例。其二是说， (x)  h 是投入方案 x 处产量的变化幅度与要素 h 的投入使用量的变化幅度之比，因而是产量对要素 h 的投入量的弹性。 (x)  h 越大，说明要素 h 对产出的影响越大。尤其是当  h (x) 1 时，要素 h 的投入量的较小幅度增加就会引起产量的大幅度增加；而当  h (x) 1 时，要素 h 的投入量的较大幅度增加不会引起产量的大幅度增加；当  h (x) =1 时，产量与要素 h 的投入量以同样的幅度增加或减少。 (x)  h 的这两个方面的意义，足以说明 (x)  h 衡量着生产要素 h 对生产的贡献大小。把各个生产要素的贡献加总起来，便得到全部生产要素的总贡献 (x) ：   = =  = =   1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) h h h h h f x x f x  x  x 当总贡献 (x) 1 时，把各种要素的投入量增加一倍便可使产量增加多于一倍，因而生产还大有潜力可挖，值得再增加各种要素的投入量以增加产量；当总贡献 (x) 1 时，如果把各种要素的投入量增加一倍，增加的产量不如原来的产量大，说明生产的潜力已到尽头，不值得再增加投入；当 (x) =1 时，各种要素的投入量增加一倍时产量也将增加一倍，因而产量与生产规模同比例扩大。读者需要注意的是，这里所谈的生产要素贡献，是指当前的贡献，不涉及生产要素原来的贡献，因而是一种边际贡献。我们把要素 h 的贡献 (x)  h 与要素 k 的贡献 (x)  k 之间的比值，称为投入方案 x 处要素 h 对要素 k 的贡献系数，记作 R (x) hk ，即 ( , 1,2, , ) ( ) ( ) ( ) = h k =   x x R x k h hk   它表示为了获得产量 f (x) ，要素 k 贡献一份力量时要求要素 h 的贡献量，即要素 h 的贡献是要素 k 的贡献的 R (x) hk 倍。只有要素 h 按照这个倍数与要素 k 同时发挥作用，产量 f (x) 才能生产出来。所以，贡献系数表示了生产中要素 h 对要素 k 的配合性。事实上，如果生产一种产品需要多种生产要素的话，那么缺少其中任何一种要素是不成的。贡献系数正反映了这一事实。 (三) 有效投入同一产量可以在生产要素的不同组合下得到，也就是说，同一产量可以按照两种不同的投入方案组织生产。这就需要对投入进行有效性分析。投入方案的有效性，就是指在保持产量不减少的情况下所投入使用的各种生产要素数量达到最小。对此，我们可以给出严格的定义：投入方案  R+ x 称为是有效的，是指没有投入方案   R+ y 能够满足 y  x 且 f (y)  f (x) 。有效投入方案也可简称为有效投入。用 EI 表示有效投入的全体，称为生产者的有效投入区。有效投入区的边界称为脊线或脊面。在前面关于生产函数的假设中，没有假定生产函数的单调性，尽管我们已经指出生产函数在一般情况下具有单调性。为什么不直接假定生产函数的单调性呢？其原因主要是因为我们

第六章理性生产者 129 可以证明：命题 1. 生产函数 f 在有效投入区 EI 中是单调增加的, 即对任何 x, yEI ，只要 x  y ，就有 f (x)  f (y)。事实上，当 x, yEI 且 x  y 时，由于 y 是有效投入方案， f (x)  f (y) 就不可能成立，可见只有 f (x)  f (y)。有了命题 1 所述的关于生产函数单调性的事实，我们立即可知：命题 2. 在假设 PF 下，生产函数 f 在有效投入区内各点处的各个一阶偏导数均非负。事实上，对于任何 x EI , x  0 , xh  0 , (0,  ,0, ,0,  ,0) h x = x , x + x  0 ，我们有 x + x  x ,从而 f (x + x)  f (x) (因为 x 是有效投入)。这就告诉我们下面的不等式成立： 0 ( 1,2, , ) ( ) ( ) ( ) lim 0  =    +  −  = → −  h x f x x f x f x x h h h 于是，命题 2 得到证明。命题 2 说明，在投入为有效的情况下产量呈现出(随要素投入量的增加而)递增至少不下降的变化趋势。有效投入也可用等产量曲线来刻画(如图 6-1 所示)。所谓等产量曲线(面)，是指要素空间  R+ 中产出相同的各种不同投入向量所组成的集合。产量为 Q 的等产量曲线(面)，用 L(Q) 表示，是集合 L(Q) ={xR : f (x) = Q} +  。与 x 等产量的等产量曲线是集合 L( f (x)) ，也称为通过投入点 x 的等产量曲线，简记为 Lf (x) 。我们有如下的结论：命题 3. 设企业的生产函数 f 非负、连续，且 f (0) = 0 。  R+ x ，即 x 为任一投入向量。则 x 是有效投入当且仅当没有 yLf (x) 能够满足 y  x。实际上，若 x 是有效投入，则显然没有 yLf (x) 满足 y  x 。反之，设 Lf (x) 中没有一种方案 y 能够满足 y  x 。假如 x 不是有效投入方案，那么就存在着  R+ z 满足 z  x 且 f (z)  f (x) 。由于 Lf (x) 中没有一种方案 y 能够满足 y  x ，因此这个方案 z 不在 Lf (x) 中，故 f (z)  f (x) 。既然 f (x)  0 = f (0) ，所以 f (z)  f (x)  f (0) 。现在，从 f 的连续性可知，存在实数 t [0,1) 使得 f (tz) = f (x) 。显然， tz  x 且 tz Lf (x) 。这与前提条件“ Lf (x) 中没有一种方案 y 能够满足 y  x ”相矛盾。可见， x 必然是有效投入方案。命题 3 得证。脊线(面)与等产量曲线(面) L(Q) 的交点称为脊点。显然，脊线是脊点随产量变化而移动所形成的曲线（曲面）。如图 6-1 所示，两条脊线分别是由脊点 A 和 B 随产量移动形成的轨迹，有效投入区就是两条脊线所夹的范围

第六章理性生产者脊线脊线有效投入区 L(O) 6-1等产量曲线,脊线,有效投入区第二节等产量曲线分析要素空间R实质上是一张等产量曲线图,每种投入方案都在一条(张)等产量曲线(面)上, 不同的等产量曲线互不相交。这样,我们可用等产量曲线生产要素的投入使用情况进行分析设企业的生产函数为f,同上一节一样,L(Q表示产量为Q的等产量曲线(面)。替代与互补 (一)要素之间的替代性与互补性不同投入组合之所以能在同一等产量曲线上,是因为投入要素之间具有一定的替代性与互补性。替代性使得一种投入要素可用另一种投入要素来代替,互补性则要求要素之间必须按照一定的比例配合投入使用,因而要素之间具有比例特点有些要素之间既具有一定程度的互相替代性,又具有一定范围的投入比例要求。利用等产量曲线我们可看出,两种要素之间的替代范围与比例要求范围由这两种要素的等产量曲线上的两个脊点所划定。脊点所夹的范围是可替代的范围,超出该范围就不能再有替代,这同时也说出了两种要素之间的配合比例变化范围对于两种投入要素而言,当两条脊线分别与两条坐标轴重合时,这两种要素就是可完全相互替代的,因而也就无特殊的投入比例要求。当两条脊线重合时,要素之间完全无可替代性, 而是必须要按固定不变的比例来组织投入使用。当两条脊线既不重合,又不分别都与坐标轴重合时,这两种要素之间就不但具有一定程度的替代性,也具有一定范围的比例变化要求。由此可见,脊线所夹的范围,即生产要素的有效投入区,刻画了要素之间的替代性与比例性 (二)边际替代率当两种投入要素可以相互替代时,我们把一种要素的投入量减少(增加)一单位,为了保持产量不变,所需增加(减少)的另一种要素的投入量,称为这两种要素之间的边际替代率。准确地说,在投入方案x=(x,x,x)∈R处,要素h对要素k的边际替代率,用Mk(x)表示,定义为:在除了要素h和k以外的其他要素投入都不变的情况下,要素h的投入量减少(增加) 单位时,为了保持产量水平不变,所需增加(减少)的要素k的投入量。为了准确计算边际替代率Mn(x),设要素h的投入量的微小减少量为dkb,要素k的投入量的微小增加量为axk,其

第六章理性生产者 130 第二节等产量曲线分析要素空间  R+ 实质上是一张等产量曲线图，每种投入方案都在一条(张)等产量曲线(面)上，不同的等产量曲线互不相交。这样，我们可用等产量曲线生产要素的投入使用情况进行分析。设企业的生产函数为 f ，同上一节一样， L(Q) 表示产量为 Q 的等产量曲线(面)。一、替代与互补 (一) 要素之间的替代性与互补性不同投入组合之所以能在同一等产量曲线上，是因为投入要素之间具有一定的替代性与互补性。替代性使得一种投入要素可用另一种投入要素来代替，互补性则要求要素之间必须按照一定的比例配合投入使用，因而要素之间具有比例特点。有些要素之间既具有一定程度的互相替代性，又具有一定范围的投入比例要求。利用等产量曲线我们可看出，两种要素之间的替代范围与比例要求范围由这两种要素的等产量曲线上的两个脊点所划定。脊点所夹的范围是可替代的范围，超出该范围就不能再有替代，这同时也说出了两种要素之间的配合比例变化范围。对于两种投入要素而言，当两条脊线分别与两条坐标轴重合时，这两种要素就是可完全相互替代的，因而也就无特殊的投入比例要求。当两条脊线重合时，要素之间完全无可替代性，而是必须要按固定不变的比例来组织投入使用。当两条脊线既不重合，又不分别都与坐标轴重合时，这两种要素之间就不但具有一定程度的替代性，也具有一定范围的比例变化要求。由此可见，脊线所夹的范围，即生产要素的有效投入区，刻画了要素之间的替代性与比例性。 (二) 边际替代率当两种投入要素可以相互替代时，我们把一种要素的投入量减少(增加)一单位，为了保持产量不变，所需增加(减少)的另一种要素的投入量，称为这两种要素之间的边际替代率。准确地说，在投入方案  = R+ x (x, x,, x) 处，要素 h 对要素 k 的边际替代率，用 M (x) hk 表示，定义为：在除了要素 h 和 k 以外的其他要素投入都不变的情况下，要素 h 的投入量减少(增加)一单位时，为了保持产量水平不变，所需增加(减少)的要素 k 的投入量。为了准确计算边际替代率 M (x) hk ，设要素 h 的投入量的微小减少量为 dxh ，要素 k 的投入量的微小增加量为 dxk ，其 2 x 脊线脊线有效投入区 A B L(Q) 1 x 图 6-1 等产量曲线，脊线，有效投入区

第六章理性生产者他要素投入量未变,产量也没有变化。于是,下面的全微分等式成立: d@=df(x)=frarh-frark f(x) 注意,《x就是要素h的投入减少一单位时要素k的投入的增加量,即 f(x) 是在x处的要素h对要素k的边际替代率M(x)。于是,我们得到 fro fro 根据上一节中的命题2,在投入有效区内的各点处任何两种要素之间的边际替代率都是非负的。另外, Mn(x) f(x) xk xhr(x) fr(x)x, xkr(x) /2 xk an(x) xk riko xh ak(x)xh 上式中,x/x表示要素h投入一单位时,要素k的相应投入量。R4(x)表示为了配合投入的一单位要素k,需要要素h作出的贡献。这样,乘积(xk/x)Rk(即边际替代率)表达了一单位要素h所等同的要素k的贡献,即从贡献上讲,一单位要素h所等同的要素k的数量 (三)技术系数技术系数是指企业生产一单位商品所需投入的各种生产要素的配合比例。当生产要素可以相互替代时,技术系数就是可变的。当生产要素不能相互替代时,技术系数就不可变。因此, 技术系数可以是固定的、部分可变的、或者完全可变的。固定技术系数是指技术系数根本不能变动。此时,生产要素之间完全不能相互替代,等产量曲线图中脊线重合,并且一般情况下重合为直线,因而有效投入区就是该直线所表示的集合(如图6-2(a所示) 完全可变技术系数是指技术系数可以任意变动。此时,等产量曲线图中脊线分别与坐标轴重合,要素之间可以完全相互替代(如图6-2(b)所示)。部分可变技术系数是指技术系数既不是完全可变,又不是固定不变,而是可以在一定范围内变化。此时,等产量曲线图中脊线既不重合,也不分别与坐标轴重合,在脊线所夹的范围内要素之间可以相互替代(如图6-2(c)所示) x 脊线脊线脊线投入区有效投入区有效投入区 L(Q) 脊线 (a)固定技术系数 (b)完全可变技术系数 (c)部分可变技术系数图6-2技术系数与等产量曲线丛数值上讲,投入方案x处要素h对要素k的技术系数,用T4(x)表示,可以规定为在其

第六章理性生产者 131 他要素投入量未变，产量也没有变化。于是，下面的全微分等式成立： dQ = df (x) = f h dxh − f k dxk = 0 即 ( ) ( ) f x f x dx dx k h h k   = 。注意， h k dx dx 就是要素 h 的投入减少一单位时要素 k 的投入的增加量，即是在 x 处的要素 h 对要素 k 的边际替代率 M (x) hk 。于是，我们得到： ( ) ( ) ( ) f x f x dx dx M x k h h k hk   = = 根据上一节中的命题 2，在投入有效区内的各点处任何两种要素之间的边际替代率都是非负的。另外， ( ) ( ) ( ) ( )/ ( ) ( )/ ( ) ( ) ( ) ( ) R x x x x x x x x f x f x x f x f x x x f x f x M x hk h k k h h k k k h h h k k h hk = =   =   =   上式中， k h x / x 表示要素 h 投入一单位时，要素 k 的相应投入量。 R (x) hk 表示为了配合投入的一单位要素 k ，需要要素 h 作出的贡献。这样，乘积 k h Rhk (x / x ) (即边际替代率)表达了一单位要素 h 所等同的要素 k 的贡献，即从贡献上讲，一单位要素 h 所等同的要素 k 的数量。 (三)技术系数技术系数是指企业生产一单位商品所需投入的各种生产要素的配合比例。当生产要素可以相互替代时，技术系数就是可变的。当生产要素不能相互替代时，技术系数就不可变。因此，技术系数可以是固定的、部分可变的、或者完全可变的。固定技术系数是指技术系数根本不能变动。此时，生产要素之间完全不能相互替代，等产量曲线图中脊线重合，并且一般情况下重合为直线，因而有效投入区就是该直线所表示的集合(如图 6-2(a)所示)。完全可变技术系数是指技术系数可以任意变动。此时，等产量曲线图中脊线分别与坐标轴重合，要素之间可以完全相互替代(如图 6-2(b)所示)。部分可变技术系数是指技术系数既不是完全可变，又不是固定不变，而是可以在一定范围内变化。此时，等产量曲线图中脊线既不重合，也不分别与坐标轴重合，在脊线所夹的范围内要素之间可以相互替代(如图 6-2(c)所示)。丛数值上讲，投入方案 x 处要素 h 对要素 k 的技术系数，用 T (x) hk 表示，可以规定为在其 2 x 2 x 2 x 脊线脊线有效脊线脊线投入区有效投入区有效投入区 L(Q) L(Q) L(Q) 脊线 1 x 1 x 1 x (a) 固定技术系数 (b) 完全可变技术系数 (c) 部分可变技术系数图 6-2 技术系数与等产量曲线

第六章理性生产者他条件不变的情况下要素h投入一个单位时所要求的要素k的投入量,即 Thk(x) 可以看出,边际替代率Mn(x)、技术系数Th(x)与贡献系数Rbk(x)三者之间的关系如下 Mh(x)=Th(x)rh(x) 、替代弹性及其对偶为了进一步分析技术系数的变化情况,我们再引入替代弹性与贡献弹性的概念。这两种弹性之间具有一定的对偶性,即可以相互确定。 (一)替代弹性替代弹性是指技术系数的变化幅度与边际替代率的变化幅度之比,反映技术系数对边际替代率变化的敏感程度。替代弹性可用公式严格表示如下。在投入方案x处,要素h对要素k 的替代弹性等于比值EShk(x) EShk(x) dTh(x)/Thk(x) dIn Th(x) dMhk(x)/Mnk(x)d In Mnk(x) 我们来看一下替代弹性的大小情况。正常情况下,要素之间的边际替代率是递减的,即等产量曲线凸向元点,因而替代弹性非负(即技术系数与边际替代率同向变动) 1.无替代弹性:ES(x)=0 此时,不论要素h对要素k的边际替代率如何变化,技术系数总是不变的,因此这两种要素不能相互替代,必须按照固定的比例投入使用,等产量曲线由两条具有共同起点的分别平行于坐标轴的射线所构成。即等产量曲线强性弯曲,折成90℃夹角(如图6-3(a)所示)。 2.弱替代弹性:0<ESA(x)<1 此时,技术系数的变化幅度不如边际替代率的变化幅度大,因而技术系数对边际替代率变化的反应不很敏感,等产量曲线的弯曲程度较大(如图6-3(b)L1所示)。 3.强替代弹性:1<ESh(x)<∞ 此时,技术系数的变化幅度比边际替代率的变化幅度大,因而技术系数对边际替代率变化的反应很敏感,等产量曲线的弯曲程度较小(如图6-3(b)L2所示)。 4.单一替代弹性:ESA(x) 此时,技术系数与边际替代率以同样的幅度变化,技术系数对边际替代率变化的反应敏感程度居中,等产量曲线的弯曲程度居中(如图6-3(b)L3所示)。 5.完全替代弹性:ESA(x)=∞ 替代弹性为无限时,边际替代率就不能有任何变动,因为边际替代率的变动将引起技术系数的无限变动。因此,边际替代率为常数,等产量曲线为直线(如图6-3(c)所示)

第六章理性生产者 132 他条件不变的情况下要素 h 投入一个单位时所要求的要素 k 的投入量，即 h k hk x x T (x) = 可以看出，边际替代率 M (x) hk 、技术系数 T (x) hk 与贡献系数 R (x) hk 三者之间的关系如下: M (x) T (x)R (x) hk = hk hk 二、替代弹性及其对偶为了进一步分析技术系数的变化情况，我们再引入替代弹性与贡献弹性的概念。这两种弹性之间具有一定的对偶性，即可以相互确定。 (一) 替代弹性替代弹性是指技术系数的变化幅度与边际替代率的变化幅度之比，反映技术系数对边际替代率变化的敏感程度。替代弹性可用公式严格表示如下。在投入方案 x 处，要素 h 对要素 k 的替代弹性等于比值 ES (x) hk ： ln ( ) ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d M x d T x dM x M x dT x T x ES x hk hk hk hk hk hk hk = = 我们来看一下替代弹性的大小情况。正常情况下，要素之间的边际替代率是递减的，即等产量曲线凸向元点，因而替代弹性非负(即技术系数与边际替代率同向变动)。 1. 无替代弹性： EShk (x) = 0 此时，不论要素 h 对要素 k 的边际替代率如何变化，技术系数总是不变的，因此这两种要素不能相互替代，必须按照固定的比例投入使用，等产量曲线由两条具有共同起点的分别平行于坐标轴的射线所构成。即等产量曲线强性弯曲，折成 90℃夹角(如图 6-3(a)所示)。 2. 弱替代弹性： 0  EShk (x) 1 此时，技术系数的变化幅度不如边际替代率的变化幅度大，因而技术系数对边际替代率变化的反应不很敏感，等产量曲线的弯曲程度较大(如图 6-3(b) L1 所示)。 3. 强替代弹性：1 EShk (x)   此时，技术系数的变化幅度比边际替代率的变化幅度大，因而技术系数对边际替代率变化的反应很敏感，等产量曲线的弯曲程度较小(如图 6-3(b) L2 所示)。 4. 单一替代弹性： EShk (x) =1 此时，技术系数与边际替代率以同样的幅度变化，技术系数对边际替代率变化的反应敏感程度居中，等产量曲线的弯曲程度居中(如图 6-3(b) L3 所示)。 5. 完全替代弹性： EShk (x) =  替代弹性为无限时，边际替代率就不能有任何变动，因为边际替代率的变动将引起技术系数的无限变动。因此，边际替代率为常数，等产量曲线为直线(如图 6-3(c)所示)

第六章理性生产者 134 ( ) ( ( )) ( ) 1 t f x t f x dt d f t x dt d − = =    注意，  = =   1 ( ) ( ) h h h f t x f t x x dt d 。于是，  = − =   1 1 ( ) ( ) h h h t f x f t x x   对一切 t  0 成立，当然对 t =1 也就成立。令 t =1 ，即可得到  = =   1 ( ) ( ) h h h  f x x f x 。欧拉定理得证。欧拉定理说明，对于  阶齐次生产函数来说，  就是任何投入方案下全部生产要素的总贡献，即全部要素的总贡献 (x) 恒为常数  。例 1. Lèontief 生产函数 Lèontief 生产函数是一种固定技术系数生产函数。设所有生产要素都必须按照固定的比例投入使用，这个固定比例为 a a  a : : : 1 2 。于是，生产一单位产品所必需的投入向量是 a = (a1 , a2 ,  , a )  0 。生产函数 f R+ → R  : 便可写成：       = =      a x a x a x f (x) f (x , x , , x ) min , , , 2 2 1 1 1 2 这就是 Lèontief 生产函数的形式，显然这种形式的生产函数具有下面一些性质： (1) f 是严格单调的，即对一切  R+ x, y ，若 x  y ，则 f (x)  f (y) ； (2) f 是一阶齐次函数，即对任何  R+ x 及任何实数 t  0 ，都有 f (t x) = t f (x) ； (3) 生产要素之间不能相互替代； (4) 等产量曲线是如图 6-2(a)所示的夹角为  90 的折线(两种要素情形)。例 2. Cobb—Douglas 生产函数 Cobb—Douglas 生产函数的形式是：           f x f x x x A x Ax x x h h h 1 2 1 2 1 1 2 ( ) = ( , , , ) =  = = ( )  R+ x 其中      , , , , A 1 2 都是正的常数， A 称为技术进步系数。记  =1 + 2 ++  。可以看出： (1) f 是  阶齐次函数； (2)  h 是要素 h 的贡献，即 (x) x f (x) f (x) h h h h  = =  ， 是全部要素的总贡献； (3) f 是单调的，即对一切  R+ x, y ，若 x  y ，则 f (x)  f (y) ； (4) f 是内部强单调的，即对一切  R++ x, y ，若 x  y ，则 f (x)  f (y) ； (5) 投入要素之间可以完全相互替代，因而技术系数完全可变； (6) 边际替代率 ( )( ) hk h k k h k h h k M (x) = ( x ) ( x ) = x x   ，贡献系数 hk h k R (x) =  为常数，技术系数 hk k h T (x) = x x ； (7) 贡献弹性为无穷大，替代弹性单一。这是因为贡献系数为常数，从而贡献弹性为无穷大。再根据替代弹性与贡献弹性之间的对偶关系可知，替代弹性单一。例 3. CES 生产函数 CES(Constant Elasticity of Substitution)生产函数(即不变替代弹性生产函数)的定义为：      − = −       = =     1 1 2 ( ) ( , , , ) h h h f x f x x x x ( )  R+ x 其中  , 1 , 2 ,  ,  , , 都为正的常数。 (1) f 是  阶齐次函数

《高级微观经济学》第六章 理性生产者

《高级微观经济学》第六章理性生产者