《高级微观经济学》第三章 理性消费者

三章理性消费者 第三章理性消费者 本章以单个消费者为着眼点,研究理性消费者的行为特点与活动规律。我们的基本假设 是:消费者以追求效用最大化为目的,是市场价格的接受者,完全依据价格行事。本章及后 面几章都假定市场上总共有C种可供选择的商品 第一节可行的消费 消费活动表现为消费者选择若干数量的一系列商品进行消费,或者说选择完整的消费计 划。假定市场上总共有种可供选择的商品,于是一个完整的消费计划(或者消费方案)就表 现为一个C维向量。这样,消费活动就表现为消费者选择商品空间R中的向量。 习惯上,人们总是用正消费来表示消费者对一种商品的真正消费,用负消费来表示消费 者向市场提供商品(比如提供劳动)。按照这个解释,消费计划(x,x2,…,x)的意义就明显了。 x>0表明消费者计划真正消费x个单位的商品h:x<0表示消费者向市场提供-x个单位 的商品h;x=0则说明他既不消费也不向市场提供第h种商品。 消费集合 一般来说,并非商品空间中的任何商品向量都允许作为消费者的消费计划。消费活动必 然受到消费者所生存的社会环境和自然环境的影响,受到法律、制度、政策、物质财富、生 理状态等条件的制约。例如,毒品虽然是商品,但法律规定不允许买卖和消费。又如,人总 是要吃饭的,人对食物的消费应当是正消费。这样或那样的限制,导致商品空间中的一部分 向量所代表的消费计划,成为不允许或不可能选择的消费计划,应当把它们加以排除,剩下 来的那些允许作为消费计划的向量构成了商品空间的一个子集合,我们把这个集合叫做消费 者的消费集合,并用X表示之。消费集合中的向量称为可行消费向量或可行消费计划。 应当注意,消费集合同具体的消费者有关,不同消费者的消费集合可能会不同。我们现 在考虑的是一个任意指定的消费者,消费集合X便是固定的。 关于消费集合的假定 消费集合描述了消费者选择活动的允许范围,即他的自由选择范围。上面对这个范围的 描述显然是很一般的,没有说出它应具有什么样的结构特点。从理论上讲,没有特点的描述 或表示,对于理论的建立和发展就不会有很大的作用。因此,在提出消费集合的概念之后 首要的任务是去寻找消费集合的一般特征。经济学中,寻找消费集合的特征,表现为对消费 集合提出一些合理的前提假设,即对消费选择进行一些可行性分析

第三章 理性消费者 28 第三章 理性消费者 本章以单个消费者为着眼点，研究理性消费者的行为特点与活动规律。我们的基本假设 是：消费者以追求效用最大化为目的，是市场价格的接受者，完全依据价格行事。本章及后 面几章都假定市场上总共有  种可供选择的商品。 第一节 可行的消费 消费活动表现为消费者选择若干数量的一系列商品进行消费，或者说选择完整的消费计 划。假定市场上总共有  种可供选择的商品，于是一个完整的消费计划(或者消费方案)就表 现为一个  维向量。这样，消费活动就表现为消费者选择商品空间  R 中的向量。 习惯上，人们总是用正消费来表示消费者对一种商品的真正消费，用负消费来表示消费 者向市场提供商品(比如提供劳动)。按照这个解释，消费计划 ( , , , ) 1 2   x x x 的意义就明显了。 xk  0 表明消费者计划真正消费 h x 个单位的商品 h ； xh  0 表示消费者向市场提供 h −x 个单位 的商品 h ； xh = 0 则说明他既不消费也不向市场提供第 h 种商品。 一、消费集合 一般来说，并非商品空间中的任何商品向量都允许作为消费者的消费计划。消费活动必 然受到消费者所生存的社会环境和自然环境的影响，受到法律、制度、政策、物质财富、生 理状态等条件的制约。例如，毒品虽然是商品，但法律规定不允许买卖和消费。又如，人总 是要吃饭的，人对食物的消费应当是正消费。这样或那样的限制，导致商品空间中的一部分 向量所代表的消费计划，成为不允许或不可能选择的消费计划，应当把它们加以排除，剩下 来的那些允许作为消费计划的向量构成了商品空间的一个子集合，我们把这个集合叫做消费 者的消费集合，并用 X 表示之。消费集合中的向量称为可行消费向量或可行消费计划。 应当注意，消费集合同具体的消费者有关，不同消费者的消费集合可能会不同。我们现 在考虑的是一个任意指定的消费者，消费集合 X 便是固定的。 二、关于消费集合的假定 消费集合描述了消费者选择活动的允许范围，即他的自由选择范围。上面对这个范围的 描述显然是很一般的，没有说出它应具有什么样的结构特点。从理论上讲，没有特点的描述 或表示，对于理论的建立和发展就不会有很大的作用。因此，在提出消费集合的概念之后， 首要的任务是去寻找消费集合的一般特征。经济学中，寻找消费集合的特征，表现为对消费 集合提出一些合理的前提假设，即对消费选择进行一些可行性分析

三章理性消费者 一)闭性假设 假设H1(闭性).消费集合X是商品空间R的非空闭子集。 这是一个为人们普遍接受和承认的假设,即认为可行消费具有连续性,其经济含义是, 凡是能由一系列可行消费计划来接近的消费计划,仍然是可行的消费计划。用简明的数学语 言来说,如果一个商品向量是消费集合中的一列向量的极限,那么这个商品向量就属于消费 集合,即它代表着可行消费计划。我们把这条假设称为闭性假设,它等价于说,消费集合边 界上的消费计划都是可行的,即消费集合包含着它的边界 二)下有界性假设 假设HC2(下有界性).存在向量w∈R使得对一切x∈X,都成立x≥w 从消费者本身考察可发现,用于真正消费的商品,其消费量不会无限制地缩小下去。例 如食品是消费者生存之必需品,对它的消费量有一个最小需要量的限制。另一方面,由消费 者提供的商品,其供给量不可能无限制地增大。比方说由消费者提供的劳动,由于消费者生 理上的限制,他对劳动的供给量必有一个最大限度。这样一来,正消费商品的消费量有一个 下限,负消费商品的消费量的绝对值有一个上限,因而负消费量也有一个下限。结果消费集 合是下有界的。这就是下有界性假设的意义,它是一条基本需要假设 (三)连通性假设 假设HC3(连通性).消费集合X是商品空间R(的连通子集。 市场的完全性假定了消费者掌握的信息是完全的,他可以根据市场行情不断地改变自己 的行动计划,在允许的范围内不断调整消费方案,从一种方案过度到另一方案。这便要求消 费集合具有完整性,不能是拼凑起来的相互隔离的块,即消费集合X不应能被分离成这样的 两个范围A与B 1)A与B非空且不相交,A与B的并集是X 2)消费者不论从A中哪一种消费计划出发,也不论在A中采取哪种方式去不断改变消 费计划,都无法接近B中的任何一种计划 3)同样也不论从B中哪一种计划出发,不论在B中采取什么样的方式来不断改变消费 计划,都无法接近A中的任何一种计划。 消费集合的这种性质,称为消费集合的连通性。用数学的语言讲,连通性表明X不能表 示成为两个相隔离的非空子集之并。所谓X的子集A与B相隔离,是指A连同自己的边界不 与B相交,同时B连同自己的边界不与A相交;等价地说,A中任何序列的极限都不在B中 且B中任何序列的极限也都不在A中。X连通的等价条件是,X不能表示成为两个不相交 的非空(相对)闭(开)子集之并 (四)凸性假设 假设HC4(凸性).消费集合X是商品空间R的凸子集。 实际消费活动中,当消费者面临两种选择时往往进行综合,使其二者兼顾。例如,消费 者面临着选择四两米饭或者选择四两馒头时,常常会作出这样的综合处理:同时选择二两米 饭和二两馒头来消费,即消费多样化。通常,消费多样化的处理方法是对两种消费计划进行

第三章 理性消费者 29 (一)闭性假设 假设 HC1(闭性). 消费集合 X 是商品空间  R 的非空闭子集。 这是一个为人们普遍接受和承认的假设，即认为可行消费具有连续性，其经济含义是， 凡是能由一系列可行消费计划来接近的消费计划，仍然是可行的消费计划。用简明的数学语 言来说，如果一个商品向量是消费集合中的一列向量的极限，那么这个商品向量就属于消费 集合，即它代表着可行消费计划。我们把这条假设称为闭性假设，它等价于说, 消费集合边 界上的消费计划都是可行的，即消费集合包含着它的边界。 (二)下有界性假设 假设 HC2(下有界性)．存在向量  w R 使得对一切 x  X , 都成立 x  w 。 从消费者本身考察可发现，用于真正消费的商品，其消费量不会无限制地缩小下去。例 如食品是消费者生存之必需品，对它的消费量有一个最小需要量的限制。另一方面，由消费 者提供的商品，其供给量不可能无限制地增大。比方说由消费者提供的劳动，由于消费者生 理上的限制，他对劳动的供给量必有一个最大限度。这样一来，正消费商品的消费量有一个 下限，负消费商品的消费量的绝对值有一个上限，因而负消费量也有一个下限。结果消费集 合是下有界的。这就是下有界性假设的意义, 它是一条基本需要假设。 (三)连通性假设 假设 HC3(连通性). 消费集合 X 是商品空间  R 的连通子集。 市场的完全性假定了消费者掌握的信息是完全的，他可以根据市场行情不断地改变自己 的行动计划，在允许的范围内不断调整消费方案，从一种方案过度到另一方案。这便要求消 费集合具有完整性，不能是拼凑起来的相互隔离的块，即消费集合 X 不应能被分离成这样的 两个范围 A 与 B ： 1) A 与 B 非空且不相交， A 与 B 的并集是 X ； 2) 消费者不论从 A 中哪一种消费计划出发，也不论在 A 中采取哪种方式去不断改变消 费计划，都无法接近 B 中的任何一种计划； 3) 同样也不论从 B 中哪一种计划出发，不论在 B 中采取什么样的方式来不断改变消费 计划，都无法接近 A 中的任何一种计划。 消费集合的这种性质，称为消费集合的连通性。用数学的语言讲，连通性表明 X 不能表 示成为两个相隔离的非空子集之并。所谓 X 的子集 A 与 B 相隔离，是指 A 连同自己的边界不 与 B 相交，同时 B 连同自己的边界不与 A 相交；等价地说， A 中任何序列的极限都不在 B 中， 且 B 中任何序列的极限也都不在 A 中。 X 连通的等价条件是， X 不能表示成为两个不相交 的非空(相对)闭(开)子集之并。 (四)凸性假设 假设 HC4(凸性). 消费集合 X 是商品空间  R 的凸子集。 实际消费活动中，当消费者面临两种选择时往往进行综合，使其二者兼顾。例如，消费 者面临着选择四两米饭或者选择四两馒头时，常常会作出这样的综合处理：同时选择二两米 饭和二两馒头来消费，即消费多样化。通常，消费多样化的处理方法是对两种消费计划进行

三章理性消费者 加权平均。于是,消费集合表现出凸性。 所谓X的凸性,是指对X中任何两个向量x和y以及任何的实数a:0<a<1,皆成立 ax+(1-a)y∈X.这正说明任何两种可行消费的加权平均消费方案仍然是可行的。 消费集合的凸性是比连通性更好的性质,凸性直接明确地指出了从一种可行消费方案过 渡到另一种可行消费方案的最短连续途径,凸性蕴含着连通性。 有时消费集合不具有凸性,甚至连连通性都不具备。一种情形是考虑位于不同地区的商 品,此时消费集合不具有凸性。例如,考虑位于北京和深圳两地的商品,消费者不可能同时 既位于北京,又位于深圳。当他位于北京时,只面临着北京市面上的商品;位于深圳时,只 面临着深圳市面上的商品。想在同一时刻既购买位于北京的商品,又购买位于上海的商品, 则是不可能做到的。因此,他的消费集合不是凸集。图3-1描绘了这种消费集合的形状:它 是由两条座标轴的正半部分构成的。在完全的市场中,任何两种商品之间都可以进行直接交 换,结果这种不同地区的考虑被排除外。 另一种情况是商品用整数来计量,此时消费集合也是非凸的(见图3-2)。但从理论上讲, 对非凸集合进行凸化处理,即用它的凸包(即包含它的最小凸集)来代替它,这是可行的。尤 其是当对商品的消费量较大时,至于用整数还是用一般实数来计量多少,便无关紧要。凸化 处理后得到的结论,同未进行凸化处理情况下的结论的偏差并不很大,而且凸化处理给建立 理论带来了很大的方便。鉴于这个原因,可以直接假定消费集合是凸集 面粉 消费集合X 电视机 图3-1位于不同地区的商品 图3-2用整数计量的商品 通常认为,闭性、下有界性和连通性是消费集合特有的性质,尤其是连通性表明,任何 两种可行消费方案方案之间都有连续的过渡渠道。实际消费活动中,消费集合还往往表现出 比连通性更好的性质一一凸性。凸性替代了连通性,并与闭性和下有界性一道共同构成如下 假设,被常常采用之 假设HC.消费集合X是商品空间R的非空下有界闭凸子集 第二节消费者偏好 消费集合划定了消费者的允许选择范围,在这个范围内消费者选择自己满意的消费方案。 消费者对这种方案满意,而对那种方案不满意,意味着消费能够对各种可行消费方案的好坏 作出比较和评价,这种评价反映了消费者的偏好(即嗜好或爱好)。本节硏究这种偏好。 效用与偏好

第三章 理性消费者 30 加权平均。于是，消费集合表现出凸性。 所谓 X 的凸性，是指对 X 中任何两个向量 x 和 y 以及任何的实数  ：0  1 ，皆成立 x + (1−)y X . 这正说明任何两种可行消费的加权平均消费方案仍然是可行的。 消费集合的凸性是比连通性更好的性质，凸性直接明确地指出了从一种可行消费方案过 渡到另一种可行消费方案的最短连续途径，凸性蕴含着连通性。 有时消费集合不具有凸性，甚至连连通性都不具备。一种情形是考虑位于不同地区的商 品，此时消费集合不具有凸性。例如，考虑位于北京和深圳两地的商品，消费者不可能同时 既位于北京，又位于深圳。当他位于北京时，只面临着北京市面上的商品；位于深圳时，只 面临着深圳市面上的商品。想在同一时刻既购买位于北京的商品，又购买位于上海的商品， 则是不可能做到的。因此，他的消费集合不是凸集。图 3-1 描绘了这种消费集合的形状：它 是由两条座标轴的正半部分构成的。在完全的市场中，任何两种商品之间都可以进行直接交 换，结果这种不同地区的考虑被排除外。 另一种情况是商品用整数来计量，此时消费集合也是非凸的(见图 3-2)。但从理论上讲， 对非凸集合进行凸化处理，即用它的凸包(即包含它的最小凸集)来代替它，这是可行的。尤 其是当对商品的消费量较大时，至于用整数还是用一般实数来计量多少，便无关紧要。凸化 处理后得到的结论，同未进行凸化处理情况下的结论的偏差并不很大，而且凸化处理给建立 理论带来了很大的方便。鉴于这个原因，可以直接假定消费集合是凸集。 通常认为，闭性、下有界性和连通性是消费集合特有的性质，尤其是连通性表明，任何 两种可行消费方案方案之间都有连续的过渡渠道。实际消费活动中，消费集合还往往表现出 比连通性更好的性质——凸性。凸性替代了连通性，并与闭性和下有界性一道共同构成如下 假设，被常常采用之。 假设 HC. 消费集合 X 是商品空间  R 的非空下有界闭凸子集。 第二节 消费者偏好 消费集合划定了消费者的允许选择范围，在这个范围内消费者选择自己满意的消费方案。 消费者对这种方案满意，而对那种方案不满意，意味着消费能够对各种可行消费方案的好坏 作出比较和评价，这种评价反映了消费者的偏好(即嗜好或爱好)。本节研究这种偏好。 一．效用与偏好 上海 面粉 消费集合 X 消费集合 X 北京 电视机 图 3-1 位于不同地区的商品 图 3-2 用整数计量的商品

三章理性消费者 偏好与效用是联系在一起的。如果一种商品对于消费者没有效用,消费者就不会产生对 这种商品的偏好。所谓效用,是指消费者消费一定数量的若干种商品后所感受到的满足程度。 商品之所以能让消费者感到一定程度的满足,是因为商品具有一定的满足人们需要的能力 商品的效用,实际上就是消费者主观感受到的商品的使用价值,因人而异。不同消费者在消 费了同等数量的同一商品后,所取得的效用是不同的,各个有各人的感受。例如,对于喜欢 吃米饭的人来说,吃完四两米饭后会感到很满足,而对于不喜欢吃米饭的人来说,吃完后会 感到不满足。效用还因时因地而定,不同时刻不同环境下同一消费者消费同等数量的同一商 品,其所感受到的满足程度也是不一样的。例如,“酒逢知己千杯少”就是说在愉快的环境中 借酒可助兴和使人感到满足:反之则不然。又如,“雪中送碳”说的也是同样的道理 效用作为自我感受,可以进行自我比较,即同一人对自己消费不同(数量或种类的)商品 后所感到的满足程度可以进行比较,对自己在不同时刻或环境下消费商品后所取得的效用 以进行比较。但是,不同消费者消费商品后所取得的效用不能进行比较。各个人的喜好及对 满足程度的主观评价原则都会不同,因此效用不能在消费者之间进行比较,即不能进行相互 比较 效用可自我比较,意味着消费者对各种可行消费方案总可以排出个好坏次序,即不论他 能否说出满足程度到底有多少,但总可以说岀“这种消费比那种消费更好一些或较差一些或 没有什么差异”,这便是序数效用论的观点。。消费者对消费方案作出的这种评价和比较,就 是消费者的偏好。当然,这种评价不具有基数效用那样的绝对意义 偏好关系 为了描述消费者的偏好,设消费集合为X,并设x和y是X种的任意两种消费方案。如 果消费者认为x比y好,就记为x>y,称作“x优于y”;如果他认为x比y差,就记为xy与yy、xy,要么xy或x八y,称作“x不次于y”。遵照数学表 示上的习惯,当x~y不成立时,就用xmy表示之。可以看出: (x~y)→(x=y)∧(x≥y) (xy)分((x≥y)A(xy) 由此引出的消费集合X上的二元关系≤(或≥),称为消费者的偏好关系。它服从下面 三条公理:

第三章 理性消费者 31 偏好与效用是联系在一起的。如果一种商品对于消费者没有效用，消费者就不会产生对 这种商品的偏好。所谓效用，是指消费者消费一定数量的若干种商品后所感受到的满足程度。 商品之所以能让消费者感到一定程度的满足，是因为商品具有一定的满足人们需要的能力。 商品的效用，实际上就是消费者主观感受到的商品的使用价值，因人而异。 不同消费者在消 费了同等数量的同一商品后，所取得的效用是不同的，各个有各人的感受。例如，对于喜欢 吃米饭的人来说，吃完四两米饭后会感到很满足，而对于不喜欢吃米饭的人来说，吃完后会 感到不满足。效用还因时因地而定，不同时刻不同环境下同一消费者消费同等数量的同一商 品，其所感受到的满足程度也是不一样的。例如，“酒逢知己千杯少”就是说在愉快的环境中 借酒可助兴和使人感到满足；反之则不然。又如，“雪中送碳”说的也是同样的道理。 效用作为自我感受，可以进行自我比较，即同一人对自己消费不同(数量或种类的)商品 后所感到的满足程度可以进行比较，对自己在不同时刻或环境下消费商品后所取得的效用可 以进行比较。但是，不同消费者消费商品后所取得的效用不能进行比较。各个人的喜好及对 满足程度的主观评价原则都会不同，因此效用不能在消费者之间进行比较，即不能进行相互 比较。 效用可自我比较，意味着消费者对各种可行消费方案总可以排出个好坏次序，即不论他 能否说出满足程度到底有多少，但总可以说出“这种消费比那种消费更好一些或较差一些或 没有什么差异”，这便是序数效用论的观点。。消费者对消费方案作出的这种评价和比较，就 是消费者的偏好。当然，这种评价不具有基数效用那样的绝对意义。 二．偏好关系 为了描述消费者的偏好，设消费集合为 X ，并设 x 和 y 是 X 种的任意两种消费方案。如 果消费者认为 x 比 y 好，就记为 x  y , 称作“ x 优于 y ”；如果他认为 x 比 y 差，就记为 x  y ， 称作“ x 次于 y ”；如果他认为 x 与 y 一样好，就记为 x ~ y ，称作“ x 与 y 无差异”。当然， 当 x 优于 y 时， y 次于 x 。因此， x  y 与 y  x 具有同样的意义。 注意，理性消费者不能够对方案 x 和 y 同时作出这三种评价的两种或两种以上，也就是 说，关系 x  y、x  y 和 x ~ y 不能同时有两个或两个以上成立。如果某人认为 x 优于 y 的 同时，又认为 x 次于 y ，那么他就是一个失去理性的人。 当然，有些时候人们有可能对某两种方案的“谁好谁坏”无法作出判断。但作为一个理 性人，应该不会发生这种情况。另一方面，为了讨论上的方便，我们也要假定经济人能够对 任何两种方案作出“谁好谁坏”的评价。这样，理性消费者必然能够作出而且最多只能作出 三种评价之一：要么 x  y ，要么 x  y ，要么 x y 。 消费方案之间的比较“  ”，好象实数之间的大小比较“<”一样，确定了消费集合 X 上 的一种“序”关系。我们知道，在比较实数大小时可以使用不严格的序关系  (或  )。同样， 在消费方案的比较中也可使用不严格的“序”关系 (或 ), 定义如下：( x y )是指 x  y 或 x y ，称作“ x 不优于 y ”； x y 是指 x  y 或 x y ，称作“ x 不次于 y ”。遵照数学表 示上的习惯，当 x y 不成立时，就用 x y 表示之。可以看出： (x y)  ((x y)  (x y)) (x  y)  ((x y)  (x y)) (x  y)  ((x y)  (x y)) 由此引出的消费集合 X 上的二元关系 (或 )，称为消费者的偏好关系。它服从下面 三条公理：

三章理性消费者 自反性( ref flexivity):(x∈X)(x=x) 完全性 completeness):(vx,y∈X)(x≤y)v(y=x) 传递性( transitivity):(x,y,z∈X)(x=y)A(y=2)→(x≤z) 或者说,偏好关系≤(或≥)是消费集合X上的自反、传递、完全的二元关系。关系≤(或 一)反映的是消费者偏好,关系)反映了消费者的严格偏好,关系~反映了消费者的无差 异偏好。可以证明,无差异偏好“~”是X上的等价关系。集合[x]={y∈X:y~x称作x的 等价类或者无差异类或者无差异曲线,它由两两无差异的消费方案构成。不同的无差异类互 不相交。 我们对上述三个公理作一点解释。偏好关系服从自反性公理,这是因为任何消费方案都 同自身是无差异的。如果某个消费者认为一种消费方案x同它自己比较时都存在有差异,那 么很难认为该消费者具有理性。至于完全性公理,它是说消费者在任何两种可行消费方案之 间都可作出“谁好谁坏”的评价,这一点在前面已经讲过了 最后来看传递性公理。传递性意味着对于任何x,y,z∈X:若xy中有两个同时成立,这是不可能的。可见,x八不能成立,故只有x<z 同理可证,当x≤y且y<z时,x< 如果说消费者偏好不服从传递性公理,会出现什么情况?举例来说,比方张三认为苹果 比梨好,梨比桃好,而桃又比苹果好。张三手中拿有一个苹果,李四手中拿有一个梨和一个 桃。那么此时李四提出用桃换张三的苹果,并要求张三找给李四微不足道的一分钱,李四就 不会不答应。交换完毕后,李四又提出用梨换张三手中的桃,并要求张三找李四一分钱,张 又会答应下来。交换完后,李四再次提出用苹果换张三的梨,同样要求张三找李四一分钱, 张三还是会同意的。这样的交换一直可无限进行下去,而且每次交换后张三都会感到更满足 由此可想而知,即使张三是个百万富翁,在这种无限的交换过程中,尽管每次交换都让张三 很感满意,最后张三必然要成为穷光蛋,而李四仅用一个梨和一个桃就变成了百万富翁。显 然这样的事情不可能发生在理性消费者身上,即理性消费者的偏好一定会服从传递性公理。 三.关于偏好的假设 理性消费者对于商品消费的偏好还具有一些特点,偏好关系具有一些一般性质。这些一 般性质通常以下面的假设形式提出: 假设HP.消费者的偏好关系是无满足的、连续的、严格凸的。 这个假设实际上由三个分假设构成:无满足性假设、连续性假设、凸性假设。有时候, 还会对偏好提出单调性假设。下面,我们分别介绍和讨论这四种假设 (一)偏好的无满足性 人们常说,欲望是无止境的,一个欲望满足了,接着就有另一个更大的欲望出现,没有 理由去限制更大欲望的不断产生。对于消费者而言,他的欲望是通过他的偏好≤来反映的。欲 望的无止境就表现为,当他每选择到一种消费方案之时,总发现还有比这种方案更好的可行 消费方案。消费者选择过程中所表现出的这种现象,叫做偏好的无满足性,这里以“假设 的形式提出这条性质 假设HP1(偏好的无满足性).对于消费集合X中的任一方案x,总存在X中的另一方案

第三章 理性消费者 32 自反性(reflexivity)： (x X)(x x) 完全性(completeness)： (x, y X)((x y)  ( y x)) 传递性(transitivity)： (x, y,z  X)(((x y)  ( y z))  (x z)) 或者说，偏好关系 (或 )是消费集合 X 上的自反、传递、完全的二元关系。关系 (或 )反映的是消费者偏好，关系  (或  )反映了消费者的严格偏好，关系 反映了消费者的无差 异偏好。可以证明，无差异偏好“ ”是 X 上的等价关系。集合 [x] ={y X : y x} 称作 x 的 等价类或者无差异类或者无差异曲线，它由两两无差异的消费方案构成。不同的无差异类互 不相交。 我们对上述三个公理作一点解释。偏好关系服从自反性公理，这是因为任何消费方案都 同自身是无差异的。如果某个消费者认为一种消费方案 x 同它自己比较时都存在有差异，那 么很难认为该消费者具有理性。至于完全性公理，它是说消费者在任何两种可行消费方案之 间都可作出“谁好谁坏”的评价，这一点在前面已经讲过了。 最后来看传递性公理。传递性意味着对于任何 x, y,z X ：若 x  y 且 y z ，则 x  z ； 若 x y 且 y  z ，则 x  z 。事实上，当 x  y 且 y z 时，传递性已告诉我们， x z 。假如 说 x z 成立，那么就有 y z x ，从而 y x ，即或者 y  x ，或者 y x 。结合 x  y 可知， x  y 、x y 、x  y 中有两个同时成立，这是不可能的。可见， x z 不能成立，故只有 x  z 。 同理可证，当 x y 且 y  z 时， x  z 。 如果说消费者偏好不服从传递性公理，会出现什么情况？举例来说，比方张三认为苹果 比梨好，梨比桃好，而桃又比苹果好。张三手中拿有一个苹果，李四手中拿有一个梨和一个 桃。那么此时李四提出用桃换张三的苹果，并要求张三找给李四微不足道的一分钱，李四就 不会不答应。交换完毕后，李四又提出用梨换张三手中的桃，并要求张三找李四一分钱，张 三又会答应下来。交换完后，李四再次提出用苹果换张三的梨，同样要求张三找李四一分钱， 张三还是会同意的。这样的交换一直可无限进行下去，而且每次交换后张三都会感到更满足。 由此可想而知，即使张三是个百万富翁，在这种无限的交换过程中，尽管每次交换都让张三 很感满意，最后张三必然要成为穷光蛋，而李四仅用一个梨和一个桃就变成了百万富翁。显 然这样的事情不可能发生在理性消费者身上，即理性消费者的偏好一定会服从传递性公理。 三．关于偏好的假设 理性消费者对于商品消费的偏好还具有一些特点，偏好关系具有一些一般性质。这些一 般性质通常以下面的假设形式提出： 假设 HP. 消费者的偏好关系是无满足的、连续的、严格凸的。 这个假设实际上由三个分假设构成：无满足性假设、连续性假设、凸性假设。有时候， 还会对偏好提出单调性假设。下面，我们分别介绍和讨论这四种假设。 (一)偏好的无满足性 人们常说，欲望是无止境的，一个欲望满足了，接着就有另一个更大的欲望出现，没有 理由去限制更大欲望的不断产生。对于消费者而言，他的欲望是通过他的偏好 来反映的。欲 望的无止境就表现为，当他每选择到一种消费方案之时，总发现还有比这种方案更好的可行 消费方案。消费者选择过程中所表现出的这种现象，叫做偏好的无满足性，这里以“假设” 的形式提出这条性质。 假设 HP1(偏好的无满足性). 对于消费集合 X 中的任一方案 x , 总存在 X 中的另一方案

三章理性消费者 y,使得xx都是X的相对开子集(这里,X的 相对开子集是指R的开子集同X的交集)。 在生活水平低下,温饱问题都没有得到基本解决的情况下,消费者的偏好不具有连续性 他首先要设法解决吃饭问题,其次才去考虑穿着问题。吃穿问题都得到妥善解决之后,才再 来考虑改善住宅条件的问题。因此,在对食物、衣服和住宅三种商品的消费方面,他的偏好 可用字典序来表示。可以证明,这种偏好是不连续的(具体证明留作读者练习)。当生活水平 较高时,消费者不再需要去考虑必须首先解决哪一种商品的消费问题,而要考虑全面消费与 综合效用问题,能够对消费计划作出综合评价时,他的偏好就表现出连续性。因此,偏好的 连续性是消费者生活水平较高的体现 (三)偏好的凸性 消费集合的凸性,允许消费者采取加权平均法对任何两种可行消费计划进行综合。那么 综合消费的效果如何?一般来讲,综合消费方案会比原来较差的方案要好。举例来说,假如 某人认为消费2斤猪肉比消费2斤鸡蛋要好(或不差),那么同时消费1斤猪肉和1斤鸡蛋就 比只消费2斤鸡蛋要好。这种现象叫做偏好的凸性。具体来说,凸性有如下几种表达方式: 定义(偏好的凸性).设消费集合X是凸集。偏好关系≤称作是: (1)弱凸的,是指对任何x,y∈X及A∈(0,1),若x≥y,则Ax+(1-A)y≥y; (2)凸的,是指对任何xy∈X及A∈(0,1)若xy,则Ax+(1-4)y>y; (3)严格凸的,是指对任何x,y∈X及λ∈(0,1),若x≥y且x≠y,则Ax+(1-4)y>y

第三章 理性消费者 33 y , 使得 x  y , 即消费者认为 y 比 x 好。 针对无满足性，可以再提出两个概念。设 W 是消费集合 X 的子集。方案 x W 叫做是消 费者在 W 中的满足消费，是指对一切 yW 都有 y x 。如果 W 中没有满足消费方案，就称 消费者在 W 中无满足；否则，称消费者在 W 中有满足。显然，偏好的无满足性是说消费者在 X 中无满足。今后为了简单起见，我们把消费者在 X 中的满足消费称为消费者的满足消费。 消费者在方案 x X 处局部无满足，是指对 x 的任何邻域 U , 都存在 y U  X , 使得 x  y 。如果消费者在任何可行方案处都是局部无满足的，则称他(的偏好)是局部无满足的。 显然，局部无满足性隐含着无满足性，但反之不然。 (二)偏好的连续性 偏好的连续性，是指消费者在对消费方案进行评价时表现出的这样一种规律：选定一种 方案 x X 作为衡量其它方案优次的标准以后，任何一列不比 x 优的可行消费方案的极限依 然不比 x 优，任何一列不比 x 次的可行消费方案的极限依然不比 x 次。也就是说，消费者的 主观评价具有连续性。例如，如果一个人被人们认为表现好，那么在大家心目中他就总是表 现好，即使他做出了坏事；如果人们认为他表现差，那么他总会被戴上表现差的帽子，即使 他做了好事。用数学术语来表达，即 假设 HP2(偏好的连续性). 对任何 x X , 集合 {y X : y x} 与 {y X : y x} 都是 X 的 闭子集。等价地说，集合 {y  X : y  x} 与 {y  X : y  x} 都是 X 的相对开子集（这里， X 的 相对开子集是指  R 的开子集同 X 的交集）。 在生活水平低下，温饱问题都没有得到基本解决的情况下，消费者的偏好不具有连续性。 他首先要设法解决吃饭问题，其次才去考虑穿着问题。吃穿问题都得到妥善解决之后，才再 来考虑改善住宅条件的问题。因此，在对食物、衣服和住宅三种商品的消费方面，他的偏好 可用字典序来表示。可以证明，这种偏好是不连续的(具体证明留作读者练习)。当生活水平 较高时，消费者不再需要去考虑必须首先解决哪一种商品的消费问题，而要考虑全面消费与 综合效用问题，能够对消费计划作出综合评价时，他的偏好就表现出连续性。 因此，偏好的 连续性是消费者生活水平较高的体现。 (三)偏好的凸性 消费集合的凸性，允许消费者采取加权平均法对任何两种可行消费计划进行综合。那么 综合消费的效果如何? 一般来讲，综合消费方案会比原来较差的方案要好。举例来说，假如 某人认为消费 2 斤猪肉比消费 2 斤鸡蛋要好(或不差)，那么同时消费 1 斤猪肉和 1 斤鸡蛋就 比只消费 2 斤鸡蛋要好。这种现象叫做偏好的凸性。具体来说，凸性有如下几种表达方式： 定义(偏好的凸性). 设消费集合 X 是凸集。偏好关系 称作是： （1）弱凸的，是指对任何 x, y  X 及  (0,1) ,若 x y , 则 x + (1− )y y ； （2）凸的，是指对任何 x, y  X 及  (0,1) ,若 x  y , 则 x + (1− )y  y ； （3）严格凸的，是指对任何 x, y  X 及  (0,1) , 若 x y 且 x  y , 则 x + (1− )y  y ；

章理性消费者 (4)内部严格凸的,是指一是凸的,并且对任何x,y∈ int X及A∈(0,1),若x>y且x≠y, 则Ax+(1-A)y>y 下面对这几种凸性作一些分析 弱凸偏好的特征 设消费集合X是凸集,≤是X上的偏好关系。则 (1)≤是弱凸偏好当且仅当对任何z∈X,集合P()={x∈X:x≥z}是凸集 (2)≤是弱凸偏好当且仅当对任何二∈X,集合Q(二)={x∈X:x>功}是凸集。 我们来证明这两个事实 (1)的证明.设-是弱凸的,我们来证明:对任何z∈X,P(z)是凸集。为此,任意给定 P(z)和t∈(O,1),并记v(t)=tx 从=的完全性可知,总有x=y或x≥y成立 但不论哪一个成立,≤的弱凸性和传递性都保证了()>,即v(1)∈P(=),这就证明了P(=) 是凸集 反之,设对任何z∈X,P(=)都是凸集,我们来证明:≤是弱凸的。为此, x,y∈ x≥y,t∈(0,1),并记w(t)=tx+(1-1)y。注意,x,y∈P(y)且P(y)是凸集。于是,w(t)∈P(y), 即tx+(1-1)y≥y,这就证明了≤的弱凸性 (2)的证明.设≤是弱凸的,我们来证明:对任何z∈X,Q()是凸集。为此,任意给定 x,y∈Qx)和t∈(0,1),并记(1)=tx+(1-1)y。从=的完全性可知,总有x=y或x≥y成立。 于是,=的弱凸性保证了w(1)≥x>x或者()=y>z,从而v(1)>z,即n(1)∈Q(=),这就 证明了Q(-)是凸集 反之,设对任何z∈X,Q(=)都是凸集,我们来证明≤是弱凸的,即欲证明:对任何 x,y∈X,x≥y,t∈(0,1),记n()=1x+(1-1)y,都有v()≥y。用反证法来证明,假定 ()≥y不成立,即假定w()w(1),这说明x,y∈Q((1)。既然Q(wn(t) 是凸集,因此应该有v()=tx+(1-t)y∈Qv(),即v(t)>w(t),这是不可能发生的结果 可见,w(1)≥y不成立是不可能的,故只有v(t)y成立。这就证明了=的弱凸性 2.连续凸偏好的特点 凸偏好未必是弱凸的,弱凸偏好也未必是凸的。但是对于连续偏好来说,凸性蕴含着弱 凸性,即连续凸偏好必然是弱凸的,这正是“弱凸性”中“弱”字的意义所在。当消费者具 有连续、凸的偏好时,两种不同无差异消费方案的加权平均也具有特殊的效果:要么所有的 加权平均方案都与原来的方案无差异,要么所有的加权平均方案都比原来的方案更优。不会 出现“一些加权平均方案与原方案无差异,另一些加权平均方案则比原方案好”的情况。用 简明语言表达,即,对于任何x,y∈X,x≠y,x~y,要么(vt∈(O,D)tx+(1-)yy), 要么(vt∈(0,1)tx+(1-)y>y) 连续凸偏好为什么会具有如上所述的特点呢?我们作一点分析。 首先看连续凸偏好必然是弱凸的这一事实是否成立。任意给定x,y∈X t∈(0,1)。记n(t)=tx+(1-t)y,欲证w(t)>y。采用反证法,假定w()v(t) 记I(x,w(t)={ax+(1-a)n(O):a∈(0,1)},即I(x,v()是连接x和v(t)的开线段(不包含端 点)。=的凸性说明,x>v()对一切∈I(x,n(0)成立

第三章 理性消费者 34 （4）内部严格凸的，是指 是凸的，并且对任何 x, y int X 及  (0,1) , 若 x y 且 x  y , 则 x + (1− )y  y 。 下面对这几种凸性作一些分析。 1. 弱凸偏好的特征 设消费集合 X 是凸集， 是 X 上的偏好关系。则 (1) 是弱凸偏好当且仅当对任何 z  X ，集合 P(z) ={x X : x z} 是凸集； (2) 是弱凸偏好当且仅当对任何 z  X ，集合 Q(z) = {x  X : x  z} 是凸集。 我们来证明这两个事实。 (1)的证明. 设 是弱凸的，我们来证明：对任何 z  X , P(z) 是凸集。为此，任意给定 x, yP(z) 和 t (0,1) ，并记 w(t) = t x + (1− t)y 。从 的完全性可知，总有 x y 或 x y 成立， 但不论哪一个成立， 的弱凸性和传递性都保证了 w(t) z , 即 w(t)P(z) ，这就证明了 P(z) 是凸集。 反之，设对任何 z X ， P(z) 都是凸集，我们来证明： 是弱凸的。为此，设 x, y X ， x y ，t (0,1) ，并记 w(t) = t x + (1− t)y 。注意， x, yP(y) 且 P(y) 是凸集。于是， w(t)P(y) , 即 t x + (1− t)y y ，这就证明了 的弱凸性。 (2)的证明. 设 是弱凸的，我们来证明：对任何 z  X , Q(z) 是凸集。为此，任意给定 x, yQ(z) 和 t (0,1) ，并记 w(t) = t x + (1− t)y 。从 的完全性可知，总有 x y 或 x y 成立。 于是， 的弱凸性保证了 w(t) x  z 或者 w(t) y  z , 从而 w(t)  z ，即 w(t)Q(z) ，这就 证明了 Q(z) 是凸集。 反之，设对任何 z X ，Q(z) 都是凸集，我们来证明 是弱凸的，即欲证明：对任何 x, y X ， x y ，t (0,1) ，记 w(t) = t x + (1− t)y ，都有 w(t) y 。用反证法来证明，假定 w(t) y 不成立，即假定 w(t)  y 。于是， x y  w(t) ，这说明 x, yQ(w(t)) 。既然 Q(w(t)) 是凸集，因此应该有 w(t) = t x + (1− t)yQ(w(t)) ，即 w(t)  w(t) ，这是不可能发生的结果。 可见， w(t) y 不成立是不可能的，故只有 w(t) y 成立。这就证明了 的弱凸性。 2. 连续凸偏好的特点 凸偏好未必是弱凸的，弱凸偏好也未必是凸的。但是对于连续偏好来说，凸性蕴含着弱 凸性，即连续凸偏好必然是弱凸的，这正是“弱凸性”中 “弱”字的意义所在。当消费者具 有连续、凸的偏好时，两种不同无差异消费方案的加权平均也具有特殊的效果：要么所有的 加权平均方案都与原来的方案无差异，要么所有的加权平均方案都比原来的方案更优。不会 出现“一些加权平均方案与原方案无差异，另一些加权平均方案则比原方案好”的情况。用 简明语言表达，即，对于任何 x, y X ， x  y ， x y ，要么 (t (0,1))(t x + (1− t)y y) ， 要么 (t (0,1))(t x + (1− t)y  y)。 连续凸偏好为什么会具有如上所述的特点呢？我们作一点分析。 首先看连续凸偏好必然是弱凸的这一事实是否成立。任意给定 x, y X ， x y , t (0,1) 。记 w(t) = t x + (1− t)y ，欲证 w(t) y 。采用反证法，假定 w(t)  y 。则 x  w(t) 。 记 I(x,w(t)) ={ x + (1−)w(t):  (0,1)} ，即 I(x,w(t)) 是连接 x 和 w(t) 的开线段(不包含端 点)。 的凸性说明， z  w(t) 对一切 zI(x,w(t)) 成立

三章理性消费者 我们指出,z~y对一切z∈I(x,(t)成立。事实上,任 意给定z∈(x,(t),则z>w(t),且w(1)∈(y,z),即(t)位 于连接y和z的开线段(y,=)上(如图3-3所示)。如果说 zwy,即>y或y的情况下≤的凸性说明 ()>y,这与v(t)(t)相矛盾。可见,zy不能成立,图3-3连接两点的线段 故只有z~y,即z与y无差异。 既然I(x,v(1)中的所有方案都与y无差异,≤的连续性便蕴含着x和v(1)都与y无差 异,从而x~v(r),这与x>w(t)相矛盾。可见v()y~z~x,从而w>x;但注意,w∈[x],即w~x,这与w>x相矛盾。可见,[x中不 可能包含有非单点的非空凸子集。证明完毕 偏好的内部严格凸性介于凸性和严格凸性之间。需求函数的存在性离不开严格凸性或至 少离不开内部严格凸性。因此,我们把严格凸性作为对消费者的一种假设而接受下来。 假设HP3(凸性假设).消费者的偏好关系是严格凸的。 (四)偏好的单调性 欲望无止境也反映在商品的消费数量上,即消费者认为商品数量越多越好,这就是消费 者偏好的单调性。单调性也有多种表述方式,并且在理论研究中往往会为用到,但本书不把 它作为讨论的必要前提。 定义(偏好的单调性).消费集合X上的偏好关系≤叫做是: (1)弱单调的,是指对任何x,y∈X若x<y,则x=y; (2)单调的,是指对任何x,y∈X若x≤y,则x≤y; (3)严格单调的,是指对任何xy∈X若x<y,则x<y; (4)强单调的,是指对任何x,y∈X若x<y,则x<y

第三章 理性消费者 35 我们指出， z y 对一切 zI(x,w(t)) 成立。事实上，任 意给定 zI(x,w(t)) ，则 z  w(t) ，且 w(t)I(y,z) ，即 w(t) 位 于连接 y 和 z 的开线段 I(y,z) 上（如图 3-3 所示）。如果说 z y ，即 z  y 或 z  y ，那么在 z  y 的情况下 的凸性说明 w(t)  y ，这与 w(t)  y 相矛盾；在 z  y 的情况下 的凸性说 明 w(t)  z ，这又与 z  w(t) 相矛盾。可见， z y 不能成立， 故只有 z y ，即 z 与 y 无差异。 既然 I(x,w(t)) 中的所有方案都与 y 无差异， 的连续性便蕴含着 x 和 w(t) 都与 y 无差 异，从而 x w(t) ，这与 x  w(t) 相矛盾。可见 w(t)  y 不能成立，因而只有 w(t) y 。 的 弱凸性得到证明。 其次，再来看无差异方案加权平均的效果。设 x, y X ， x  y 且 x y 。仍用 I(x, y) 表 示连接 x 和 y 的开线段。既然连续凸偏好是弱凸的， I(x, y) 中的任何方案就都不比 x 和 y 差。 如果 I(x, y) 中确实有某个方案 z 优于 x ，那么 的凸性便保证了 I(x, y) 中的任何方案都要优于 x 和 y (因为 x 与 y 无差异)。这就说明，要么 I(x, y) 中的任何方案都与 y 无差异，要么 I(x, y) 中的任何方案都要比 y 好。 3. 严格凸偏好的特点 显然，严格凸偏好必是凸偏好，也必是弱凸偏好。一个更有意义的特点是，严格凸偏好 下的任何无差异类都不包含有非单点的非空凸子集，因而无差异类很薄，而且不会包含任何 直线段。下面，我们对这个特点作一论证。 用反证法。假如某个无差异类 [x] ={y X : y x} 包含有非单点的非空凸子集，那么在该 凸子集中就可取出两个不同的点 y 和 z ，并令 w = 0.5y + 0.5z 。从偏好的严格凸性可知， w  y z x ，从而 w x ；但注意， w[x] ，即 w x ，这与 w x 相矛盾。可见， [x] 中不 可能包含有非单点的非空凸子集。证明完毕。 偏好的内部严格凸性介于凸性和严格凸性之间。需求函数的存在性离不开严格凸性或至 少离不开内部严格凸性。因此，我们把严格凸性作为对消费者的一种假设而接受下来。 假设 HP3(凸性假设). 消费者的偏好关系是严格凸的。 (四)偏好的单调性 欲望无止境也反映在商品的消费数量上，即消费者认为商品数量越多越好，这就是消费 者偏好的单调性。单调性也有多种表述方式，并且在理论研究中往往会为用到，但本书不把 它作为讨论的必要前提。 定义(偏好的单调性). 消费集合 X 上的偏好关系 叫做是： (1) 弱单调的，是指对任何 x, y X ,若 x  y , 则 x y ； (2) 单调的，是指对任何 x, y X ,若 x  y , 则 x y ； (3) 严格单调的，是指对任何 x, y X ,若 x  y , 则 x  y ； (4) 强单调的，是指对任何 x, y X ,若 x  y , 则 x  y 。 y · w(t) · z x 图 3-3 连接两点的线段

三章理性消费者 四种单调性之间的关系如下:(1)强单调性最强,弱单调性最弱:(2)如果≤连续且X满 足条件(vx∈x)y∈R)(>x)→(y∈X),则严格单调性隐含着单调性;(3)如果=严格凸, 则单调性等价于强单调性,严格单调性等价于弱单调性;(4)如果≤连续、严格凸,且κ满足 条件(x∈)y∈R)(y>>x)→(y∈X),则这四种单调性相互等价。 四.理性消费者 一般认为,假设HC和假设HP所描述的特点,是理性消费者所具备的特点。因此,我们 对理性消费者作出这样的构画:理性消费者的消费集合X是商品空间R的非空下有界闭凸子 集,他的偏好≤是无满足的、连续的凸偏好。在这个构画下,我们进一步分析一下理性消费 者的特点 特点1.具有连续偏好的消费者在消费集合X的任何非空有界闭子集中都有满足,从而 理性消费者在他的消费集合的任何非空有界闭子集中都有满足。 本特点的直观含义如图3-4所示。设M是X的任意一个非空有界闭子集。对于x∈M 令U(x)={y∈M:y≥x},则{(x):x∈M}是M的具有有限交性质的闭子集族,从而具有非 空的交集(因为M是紧集)。从该交集中取出一点z,则z∈U(x)(即z≥x)对一切x∈M成 立,这说明〓消费者在M中最满足的消费方案。既然这种消费方案存在,因此消费者在M中 有满足 特点2.具有无满足的凸偏好的消费者必然局部无满足,从而理性消费者局部无满足。 为了证实这一特点,任意给定x∈X,并设U是x的任一邻域。偏好≤的无满足性保证 了X中有比x更好的消费方案y存在。对于这个y,连接x和y的开线段I(x,y)必然要与U相 交(如图3-5所示),取其交点之一,并用z表示之。注意,≤是凸偏好,y>x且z是x与y 的加权平均方案。因此,z>x。既然z是从U中取出来的点,临域U中存在着比x更好的消 费方案。这就说明≤是局部无满足的偏好。 图3-4有界闭集中有满足消费 图3-5局部无满足 第三节效用函数 效用理论是消费理论的基础,起源于基数效用学说,后来发展成为序数效用论。序数效 用论者认为,作为主观感受的效用是一个抽象概念,无法计量多少,只可进行比较并用序数

第三章 理性消费者 36 四种单调性之间的关系如下：(1)强单调性最强，弱单调性最弱；(2)如果 连续且 X 满 足条件 (x X)(yR )((y  x) (y X))  ，则严格单调性隐含着单调性；(3)如果 严格凸， 则单调性等价于强单调性，严格单调性等价于弱单调性；(4)如果 连续、严格凸，且 X 满足 条件 (x X)(yR )((y  x) (y X))  ，则这四种单调性相互等价。 四．理性消费者 一般认为，假设 HC 和假设 HP 所描述的特点，是理性消费者所具备的特点。因此，我们 对理性消费者作出这样的构画：理性消费者的消费集合 X 是商品空间  R 的非空下有界闭凸子 集，他的偏好 是无满足的、连续的凸偏好。在这个构画下，我们进一步分析一下理性消费 者的特点。 特点 1. 具有连续偏好的消费者在消费集合 X 的任何非空有界闭子集中都有满足，从而 理性消费者在他的消费集合的任何非空有界闭子集中都有满足。 本特点的直观含义如图 3-4 所示。设 M 是 X 的任意一个非空有界闭子集。对于 xM ， 令 U(x) ={yM : y x} ，则 {U(x): xM} 是 M 的具有有限交性质的闭子集族，从而具有非 空的交集（因为 M 是紧集）。从该交集中取出一点 z ，则 zU(x) （即 z x ）对一切 xM 成 立，这说明 z 消费者在 M 中最满足的消费方案。既然这种消费方案存在，因此消费者在 M 中 有满足。 特点 2. 具有无满足的凸偏好的消费者必然局部无满足，从而理性消费者局部无满足。 为了证实这一特点, 任意给定 x X , 并设 U 是 x 的任一邻域。偏好 的无满足性保证 了 X 中有比 x 更好的消费方案 y 存在。对于这个 y ，连接 x 和 y 的开线段 I(x, y) 必然要与 U 相 交(如图 3-5 所示)，取其交点之一，并用 z 表示之。注意， 是凸偏好， y  x 且 z 是 x 与 y 的加权平均方案。因此， z  x 。既然 z 是从 U 中取出来的点，临域 U 中存在着比 x 更好的消 费方案。这就说明 是局部无满足的偏好。 第三节 效用函数 效用理论是消费理论的基础，起源于基数效用学说，后来发展成为序数效用论。序数效 用论者认为，作为主观感受的效用是一个抽象概念，无法计量多少，只可进行比较并用序数 • y U x • • z • z x • 图 3-4 有界闭集中有满足消费 图 3-5 局部无满足

三章理性消费者 给出优次排序。本节从序数效用概念出发,对消费者在商品消费中获得的满足程度进行分析。 效用函数的概念 消费者对各种可行消费方案排出的优劣次序,很类似于实数之间的大小顺序。的确,序 数效用论者就是这么看待商品效用的。他们认为,按照实数之间的大小顺序可以标出各种消 费方案之间的优劣次序。但是,这种观点的正确性直到1954年才由德布罗给出了证明 效用函数就是序数效用论者所说的那种表示消费方案优次排序的函数。具体来讲,设 是消费集合X的偏好关系,一个定义在X上的实值函数t叫做是≤的效用函数,是指u满足 如下条件:(vx,y∈X(x=y)分(u(x)≤l(y))。当a是≤的效用函数时,也称u是≤的效用 表示,或称=是u诱导的偏好关系。 显然,效用函数的意义在于用实数顺序给出了各种消费方案的优次排序。可以看出,如 果u是偏好关系≤的效用函数,那么任何严格递增函数φ:R→R与u的复合ν(x)=((x)(对 于x∈X)也是=的效用函数。所以,只要=的效用函数存在,=的效用函数就有无限多个 我们把同一偏好关系的这无限多个效用函数同等看待,称它们是相互等价的效用函数。显然, 效用函数u与v等价的充分必要条件是:(vx,y∈X)u(x)≤l(y)分(v(x)≤v(y)。现在的问 题是,偏好关系的效用函数存在吗?对此,德布罗于1954年作出了回答 效用函数存在定理(G. Debreu.商品空间R的任何连通子集上的连续偏好关系都有连续 的效用函数。因此,理性消费者的偏好关系必然有连续的效用函数 此定理的证明比较复杂,德布罗1954年给出了证明,但后来发现证明中有不正确的地方, 于1964才给出了正确的证明。效用函数存在定理奠定了效用理论的基础,是经济学的基本定 理之一。由于这个定理,我们才可在偏好关系与效用函数之间随意地选择使用 、效用函数的性质 对应于消费者偏好的凸性和单调性,效用函数也具有相应的一系列性质。 定义.效用函数u叫做是: (1)弱拟凹的是指对任何x,y∈X及t∈(0,1),若(x)≥u(y),则(m+(1-1)y)≥l(y) (2)拟凹的,是指对任何x,y∈X及t∈(0,1)若(x)>l(y),则l(tx+(1-)y)>l(y); (3)严格拟凹的,是指对于x,y∈X,x≠y,及t∈(O,1) 若u(x)≥l(y),则u(x+(1-t)y)>u(y) (4)内部严格拟凹的,是指对于x,y∈tX,x≠y,及t∈(0,1), 若u(x)≥l(y),则u(x+(1-1)y)>u(y) (5)弱单调的,是指对任何x,y∈X,若x<<y,则(x)≤u(y);

第三章 理性消费者 37 给出优次排序。本节从序数效用概念出发，对消费者在商品消费中获得的满足程度进行分析。 一、效用函数的概念 消费者对各种可行消费方案排出的优劣次序，很类似于实数之间的大小顺序。的确，序 数效用论者就是这么看待商品效用的。他们认为，按照实数之间的大小顺序可以标出各种消 费方案之间的优劣次序。但是，这种观点的正确性直到 1954 年才由德布罗给出了证明。 效用函数就是序数效用论者所说的那种表示消费方案优次排序的函数。具体来讲，设 是消费集合 X 的偏好关系，一个定义在 X 上的实值函数 u 叫做是 的效用函数，是指 u 满足 如下条件： (x, y X)((x y)  (u(x)  u(y))) 。当 u 是 的效用函数时，也称 u 是 的效用 表示，或称 是 u 诱导的偏好关系。 显然，效用函数的意义在于用实数顺序给出了各种消费方案的优次排序。可以看出，如 果 u 是偏好关系 的效用函数，那么任何严格递增函数  :R → R 与 u 的复合 v(x) =(u(x)) （对 于 x X ）也是 的效用函数。所以，只要 的效用函数存在， 的效用函数就有无限多个。 我们把同一偏好关系的这无限多个效用函数同等看待，称它们是相互等价的效用函数。显然， 效用函数 u 与 v 等价的充分必要条件是： (x, y X)(u(x)  u(y)  (v(x)  v(y))) 。现在的问 题是，偏好关系的效用函数存在吗？对此，德布罗于 1954 年作出了回答。 效用函数存在定理(G. Debreu). 商品空间  R 的任何连通子集上的连续偏好关系都有连续 的效用函数。因此，理性消费者的偏好关系必然有连续的效用函数。 此定理的证明比较复杂，德布罗 1954 年给出了证明，但后来发现证明中有不正确的地方， 于 1964 才给出了正确的证明。效用函数存在定理奠定了效用理论的基础，是经济学的基本定 理之一。由于这个定理，我们才可在偏好关系与效用函数之间随意地选择使用。 二、效用函数的性质 对应于消费者偏好的凸性和单调性，效用函数也具有相应的一系列性质。 定义. 效用函数 u 叫做是： (1) 弱拟凹的是指对任何 x, y X 及 t (0,1),若 u(x)  u(y), 则 u(tx + (1− t)y)  u(y) ； (2) 拟凹的，是指对任何 x, y X 及 t (0,1),若 u(x)  u(y), 则 u(tx + (1− t)y)  u(y) ； (3) 严格拟凹的,是指对于 x, y X , x  y ，及 t (0,1), 若 u(x)  u(y), 则 u(tx + (1− t)y)  u(y) ； (4) 内部严格拟凹的，是指对于 x, yint X , x  y ，及 t (0,1), 若 u(x)  u(y), 则 u(tx + (1− t)y)  u(y) ； (5) 弱单调的，是指对任何 x, y X ，若 x  y , 则 u(x)  u(y) ；