第九章一般均衡及其福利 282 第九章一般均衡及其福利 前面关于消费者和生产者行为的讨论,把价格当作所考虑的经济体的外生变量,消费者 和生产者都是既定价格体系的接受者。那么,这个既定的价格体系又是如何决定的呢?本章来 研究这个问题,价格将被当作经济系统的内生变量看待,由经济系统本身所决定。消费者与生 产者、需求与供给的共同作用,既决定了市场价格体系,又决定了各种商品的交易量,而且实 现了资源的最优配置,使社会福利达到帕累托最优。这就是本章将要得出的主要结论。尽管在 第七章中曾研究局部均衡问题,但那只是关于个别市场的价格决定理论。本章研究的是所有市 场上的价格决定问题,即一般均衡问题。通过本章的讨论,我们将会看到市场机制在实现资源 最优配置方面起着决定性的作用。本章的重点是讨论阿罗-德布罗均衡模型,分析一般均衡价 格的决定机制。 第一节经济系统的一般均衡 任何经济社会,都是由许许多多的消费者与生产者所构成,他们通过市场参与经济活动。 前面两章,我们用微观分析的方法,对单个消费者和生产者的行为,进行了详细讨论,得出了 实现消费最优化与生产最优化的结论。但是,每个人的经济行为并非孤立地存在。生产的目的 是为了消费,消费是要通过一定的分配方式,或者进行商品的相互交换,把商品分配给消费者 来实现的。因此,人们的经济行为之间是相互联系,相互影响的。人与人之间的经济利益还往 往是相互冲突的,尤其是表现在供给与需求这一对矛盾之中。能否使人们之间的这种利益矛盾 处于平衡的状态,便是一般经济均衡理论所要研究的问题。 一般经济均衡思想的由来 瓦尔拉是一般经济均衡理论的首创者,他的研究对经济理论的发展具有重大影响,使得 人们把研究注意力,从单一商品的价格确定上,转移到整个市场价格体系的确定上去,分析市 场机制的作用,研究资源配置等问题。瓦尔拉设想,市场上每个人都服从市场价格体系从背后 的调节,根据价格体系作出自己的经济决策。结果,市场上每种商品的总需求与总供给,都只 是各种商品价格的函数。瓦尔拉又这样提出了问题:设在一个经济系统中有许许多多的生产者 和消费者,生产者追求的是他生产的利润最大,消费者追求消费的效用最大。生产者的利润与 消费者的支付能力,都与商品的市场价格体系有关。试问,是否存在一个合适的价格体系,即 所谓的均衡价格体系,使得在它之下,生产者与消费者取得全面的供需均衡(即全系统实现总 供给与总需求相等,并且每个经纪人都实现自己的利益最大化)?这就是一般经济均衡问题。 瓦尔拉的一般经济均衡思想,可以追溯到1776年亚当·斯密在他的名著《国富论》中写 下的名言: 每个人都在力图应用他的资本,来使其生产品得到最大的价值。一般来说,他并不企 图增进公共福利,也不知道所增进的福利为多少。他所追求的仅仅是他个人的安乐,仅仅是他 个人的利益。在这样做时,有一只看不见的手引导他去促进种目标,而这种目标决不是他所 追求的东西。由于追逐他自己的利益,他经常促进了社会利益,其效果要比他真正想促进社会
第九章 一般均衡及其福利 282 第九章 一般均衡及其福利 前面关于消费者和生产者行为的讨论，把价格当作所考虑的经济体的外生变量，消费者 和生产者都是既定价格体系的接受者。那么，这个既定的价格体系又是如何决定的呢？本章来 研究这个问题，价格将被当作经济系统的内生变量看待，由经济系统本身所决定。消费者与生 产者、需求与供给的共同作用，既决定了市场价格体系，又决定了各种商品的交易量，而且实 现了资源的最优配置，使社会福利达到帕累托最优。这就是本章将要得出的主要结论。尽管在 第七章中曾研究局部均衡问题，但那只是关于个别市场的价格决定理论。本章研究的是所有市 场上的价格决定问题，即一般均衡问题。通过本章的讨论，我们将会看到市场机制在实现资源 最优配置方面起着决定性的作用。本章的重点是讨论阿罗-德布罗均衡模型，分析一般均衡价 格的决定机制。 第一节 经济系统的一般均衡 任何经济社会，都是由许许多多的消费者与生产者所构成，他们通过市场参与经济活动。 前面两章，我们用微观分析的方法，对单个消费者和生产者的行为，进行了详细讨论，得出了 实现消费最优化与生产最优化的结论。但是，每个人的经济行为并非孤立地存在。生产的目的 是为了消费，消费是要通过一定的分配方式，或者进行商品的相互交换，把商品分配给消费者 来实现的。因此，人们的经济行为之间是相互联系，相互影响的。人与人之间的经济利益还往 往是相互冲突的，尤其是表现在供给与需求这一对矛盾之中。能否使人们之间的这种利益矛盾 处于平衡的状态，便是一般经济均衡理论所要研究的问题。 一、一般经济均衡思想的由来 瓦尔拉是一般经济均衡理论的首创者，他的研究对经济理论的发展具有重大影响，使得 人们把研究注意力，从单一商品的价格确定上，转移到整个市场价格体系的确定上去，分析市 场机制的作用，研究资源配置等问题。瓦尔拉设想，市场上每个人都服从市场价格体系从背后 的调节，根据价格体系作出自己的经济决策。结果，市场上每种商品的总需求与总供给，都只 是各种商品价格的函数。瓦尔拉又这样提出了问题：设在一个经济系统中有许许多多的生产者 和消费者，生产者追求的是他生产的利润最大，消费者追求消费的效用最大。生产者的利润与 消费者的支付能力，都与商品的市场价格体系有关。试问，是否存在一个合适的价格体系，即 所谓的均衡价格体系，使得在它之下，生产者与消费者取得全面的供需均衡 (即全系统实现总 供给与总需求相等，并且每个经纪人都实现自己的利益最大化)? 这就是一般经济均衡问题。 瓦尔拉的一般经济均衡思想，可以追溯到 1776 年亚当·斯密在他的名著《国富论》中写 下的名言： “每个人都在力图应用他的资本，来使其生产品得到最大的价值。一般来说，他并不企 图增进公共福利，也不知道所增进的福利为多少。他所追求的仅仅是他个人的安乐，仅仅是他 个人的利益。在这样做时，有一只看不见的手引导他去促进一种目标，而这种目标决不是他所 追求的东西。由于追逐他自己的利益，他经常促进了社会利益，其效果要比他真正想促进社会
第九章一般均衡及其福利 283 利益时所得到的效果为大。” 这段话明显地是为资产阶级自由放任主义唱赞歌,我们应当给予坚决有力的批判。但另 方面,如果抛开它的政治含义,我们就会发现,它提出了一个当时及以后一百多年间,人们 从未考虑过的深刻的科学问题。用今天系统论的语言来说,它就是这样的一个问题:有一个包 含许多小系统的大系统,每个小系统都各有自己的目标函数,大系统也有它的目标函数。诸小 系统的目标函数的最优,可能是相互牵制的。试问,能否有某种调节手段,使得只要各小系统 追求自己的目标最优,大系统的目标也就达到最优? 1874年,瓦尔拉把亚当·斯密所说的“社会利益”解释为“供需均衡”,把“看不见的手” 解释为“市场价格机制”,一般经济均衡理论从此就问世了。瓦尔拉还给出了均衡价格体系存 在性的数学论证。他写出了一个以需求,供给和价格为未知量的联立数学方程组,并声称由于 方程组中独立未知数的个数与独立方程的个数相等,因而方程组有解,一般经济均衡问题也就 有解。瓦尔拉同时也看到,如果没有一般经济均衡状态存在性的数学论证作为后盾,他的理论 就将是一片空洞。 后来人们发现,瓦尔拉给出的数学证明,存在着严重的缺陷。当代数学家无人不哓,独 立方程个数与独立未知数个数相等,不能保证方程组有解。我们不能责怪瓦尔拉的数学修养, 因为后来用于证明瓦尔拉一般经济均衡存在性,并发现与它等价的 Brouwer不动点定理,是于 1911年才问世的。我们倒是应当感谢瓦尔拉的数学修养,如果没有当时论证上的错误,那可 能就会因为一般经济均衡存在性得不到证明,而淹没一般经济均衡的光辉思想,从而也就不会 有后来直至今天那么多人去研究它了。 二、经济系统的描述 现在我们转到对经济系统的具体刻划上来。构成一个经济系统的要素有两类,一是经济 人,另一是经济资源。经济人分为消费者和生产者,消费者是通过他的消费集合与偏好关系来 刻划的,生产者是通过其生产集合来刻划的。经济资源是指经济人拥有的商品,包括土地、建 筑、矿藏、设备、库存等过去留给现在时刻的一切有用的物品。 用m表示经济系统中消费者的总个数,n表示生产者的总个数,C表示市场上商品的总 种类数,mn,都是自然数。对消费者,生产者及商品分别进行编号以后,便可称呼消费者 i、生产者j和商品h(i=12,…,m,j=12…,m,h=12…,C) 用X和=,分别表示消费者i的消费集合与偏好关系,Y和f分别表示生产者j的生产 集合和生产函数。经济的总资源可用R中的一个向量e来表示,它就是经济在初始时刻所拥 有商品总向量,是各个消费者拥有的商品向量之总和。鉴于此,资源向量e也称为经济的初 始财富向量或者初始拥有向量。注意,总资源ε中包含着劳动和服务这两类商品。经济系统 就是由这些消费者、生产者和经济资源e构成的系统,记作￡,并可表示成: E=(X1,=1,H,e)=(X1,=1,Yy,e)mn.0=(x1,=1,…,Xm,=m,H1,…,Hn,e) 如果经济资源e为社会所占有,而不为经济中的任何经济个体战友,那么这样的经济就是 公有制经济。在公有制经济中,个人收入不是由市场决定的,而取决于社会总收入的分配方式, 比如按需分配或按劳分配或平均分配等。公有制经济可简单地表示成为: E=( i,rj,e)(m, m, 0) 如果总资源e为经济的各个行为主体所分别占有,则这种经济就是私有制经济。用e,表示 私有制经济中消费者i所拥有的资源向量,则经济的总资源向量e是各个消费者拥有的资源向 量之总和:e=e1+e2+…+em。于是,私有制经济E可表示成为
第九章 一般均衡及其福利 283 利益时所得到的效果为大。” 这段话明显地是为资产阶级自由放任主义唱赞歌，我们应当给予坚决有力的批判。但另 一方面，如果抛开它的政治含义，我们就会发现，它提出了一个当时及以后一百多年间，人们 从未考虑过的深刻的科学问题。用今天系统论的语言来说，它就是这样的一个问题：有一个包 含许多小系统的大系统，每个小系统都各有自己的目标函数，大系统也有它的目标函数。诸小 系统的目标函数的最优，可能是相互牵制的。试问，能否有某种调节手段，使得只要各小系统 追求自己的目标最优，大系统的目标也就达到最优？ 1874 年，瓦尔拉把亚当·斯密所说的“社会利益”解释为“供需均衡”，把“看不见的手” 解释为“市场价格机制”，一般经济均衡理论从此就问世了。瓦尔拉还给出了均衡价格体系存 在性的数学论证。他写出了一个以需求，供给和价格为未知量的联立数学方程组，并声称由于 方程组中独立未知数的个数与独立方程的个数相等，因而方程组有解，一般经济均衡问题也就 有解。瓦尔拉同时也看到，如果没有一般经济均衡状态存在性的数学论证作为后盾，他的理论 就将是一片空洞。 后来人们发现，瓦尔拉给出的数学证明，存在着严重的缺陷。当代数学家无人不哓，独 立方程个数与独立未知数个数相等，不能保证方程组有解。我们不能责怪瓦尔拉的数学修养， 因为后来用于证明瓦尔拉一般经济均衡存在性，并发现与它等价的 Brouwer 不动点定理，是于 1911 年才问世的。我们倒是应当感谢瓦尔拉的数学修养，如果没有当时论证上的错误，那可 能就会因为一般经济均衡存在性得不到证明，而淹没一般经济均衡的光辉思想，从而也就不会 有后来直至今天那么多人去研究它了。 二、经济系统的描述 现在我们转到对经济系统的具体刻划上来。构成一个经济系统的要素有两类，一是经济 人，另一是经济资源。经济人分为消费者和生产者，消费者是通过他的消费集合与偏好关系来 刻划的，生产者是通过其生产集合来刻划的。经济资源是指经济人拥有的商品，包括土地、建 筑、矿藏、设备、库存等过去留给现在时刻的一切有用的物品。 用 m 表示经济系统中消费者的总个数， n 表示生产者的总个数， 表示市场上商品的总 种类数， m,n, 都是自然数。对消费者，生产者及商品分别进行编号以后，便可称呼消费者 i 、生产者 j 和商品 h (i =1,2, ,m; j =1,2, , n; h =1,2, , ) 。 用 X i 和 i 分别表示消费者 i 的消费集合与偏好关系， Yj 和 j f 分别表示生产者 j 的生产 集合和生产函数。经济的总资源可用 R 中的一个向量 e 来表示，它就是经济在初始时刻所拥 有商品总向量，是各个消费者拥有的商品向量之总和。鉴于此，资源向量 e 也称为经济的初 始财富向量或者初始拥有向量。注意，总资源 e 中包含着劳动和服务这两类商品。经济系统 就是由这些消费者、生产者和经济资源 e 构成的系统，记作 ，并可表示成： ( , = X i i ,Yj ,e) ( , = X i i ,Yj ,e)(m,n,) = ( , X1 , 1 , , X m , m , , , ) 1 Y Y e n 如果经济资源 e 为社会所占有，而不为经济中的任何经济个体战友，那么这样的经济就是 公有制经济。在公有制经济中，个人收入不是由市场决定的，而取决于社会总收入的分配方式， 比如按需分配或按劳分配或平均分配等。公有制经济可简单地表示成为： ( , = X i )( , , ) , , i Yj e m n 如果总资源 e 为经济的各个行为主体所分别占有，则这种经济就是私有制经济。用 i e 表示 私有制经济中消费者 i 所拥有的资源向量，则经济的总资源向量 e 是各个消费者拥有的资源向 量之总和： m e = e + e ++ e 1 2 。于是，私有制经济 可表示成为：
第九章一般均衡及其福利 E=(x1,=n,e,Y) 在私有制经济中,消费者i的收入r由两部分构成:一部分是e,的价值给他创造的收入,另 部分是他从生产者那里得到的分红。用v表示消费者i拥有的资源e1给消费者i带来的收入, 丌,表示生产者j的利润,9,表示消费者i从生产者j那里享受到的利润分成比例,则消费者 i的收入n可表示成为:n=V+∑m139,z;。由于生产者也要消费商品,即生产者也是消费 者,因而利润分成比例9,必然满足如下两个条件 (s1)⑨9,≥0(=12,…,m,j=12,…,m) 这样,私有制经济E可更加明确地表示成为: E=(x1,=1,e1,91,Y)mn0 今后为了更方便起见,就把“经济系统”简称为“经济”。在不区分公有制经济与私有制 经济的情况下,经济的表示形式上也可采用简单方式 E=(X1,=1,H)om0 经济系统E中,所有消费者的消费之总和构成了经济的总消费 aggregate consumption),所有 生产者的产品之总和构成了该经济的总产出( aggregate products)。如下定义的商品空间R的子 集合X和Y,分别称为经济E的总消费集合和总生产集合 X=X x;:(x1∈H1)∧(x2∈X2)A…∧(xm∈X y:(y1∈1)A(y2∈Y2) (yn∈Yn) 经济系统中全部经济人的行动可用“经济状态”一词来表述。当消费者i选择消费向量x 生产者j选择生产向量y时,经济E的状态就是向量组(x1,…,xm,y1…,yn)。可见,一种经 济状态就是商品空间R中的一组向量。今后,我们把经济状态(x1…,xm,y1…,yn)简记为 (x,y)。明显地,经济状态表示了经济的一种商品分配方式或资源配置方式。 消费集合与生产集合给经济人的行动带来了限制,使得一些经济状态为不可能达到。那 些不可能达到的经济状态,必须排除在考虑之外,剩下来的就只有可达状态了。可达状态的特 征有两个:一个特征是这个状态下的诸消费者和生产者的消费与生产都可行,另一个特征是总 消费费不超过总供给。即,一个经济状态(x,y)是可达的( ( attainable),是指它满足以下两 个条件 (A1)x∈X,y∈Y(=1,2,…,m,j=1,2,…,m) (A2)∑x≤e+∑y 由一切可达状态所构成的集合,称为可达状态集合,记作A(E)。 凡是能在可达状态中出现的消费者i的消费向量,都称为消费者i的可达消费,其全体记 为X,并称为消费者i的可达消费集:凡是能在可达状态中出现的生产者j的生产向量,都称 为生产者j的可达生产,其全体记为,并称为生产者j的可达生产集。显然,X与分别 是X与Y的子集 人们更关心可达状态中那些可行的状态,即那些使条件(A2)中的不等式成为等式的可达 状态。换言之,经济状态(x,y)称为是可行的 feasible),是指(x,y)满足如下两个条件
第九章 一般均衡及其福利 284 ( , = X i )( , , ) , , i ei Yj m n 在私有制经济中，消费者 i 的收入 i r 由两部分构成：一部分是 i e 的价值给他创造的收入，另一 部分是他从生产者那里得到的分红。用 vi 表示消费者 i 拥有的资源 ei 给消费者 i 带来的收入， j 表示生产者 j 的利润， i j 表示消费者 i 从生产者 j 那里享受到的利润分成比例，则消费者 i 的收入 i r 可表示成为： = + = n j ri vi 1i j j 。由于生产者也要消费商品，即生产者也是消费 者，因而利润分成比例 i j 必然满足如下两个条件： (s1) i j 0 (i =1,2, ,m; j =1,2, , n) ； (s2) 1 =1 = m i i j ( j =1,2, ,n) 。 这样，私有制经济 可更加明确地表示成为： ( , = X i )( , , ) , , , i ei i j Yj m n 今后为了更方便起见，就把“经济系统”简称为“经济”。在不区分公有制经济与私有制 经济的情况下，经济的表示形式上也可采用简单方式： ( , = X i )( , , ) ,i Yj m m 经济系统 中，所有消费者的消费之总和构成了经济的总消费(aggregate consumption)，所有 生产者的产品之总和构成了该经济的总产出(aggregate products)。如下定义的商品空间 R 的子 集合 X 和 Y ，分别称为经济 的总消费集合和总生产集合。 = = = = = = = = : ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 n n n j j n j j m m m i i m i i Y Y y y Y y Y y Y X X x x X x X x X 经济系统中全部经济人的行动可用“经济状态”一词来表述。当消费者 i 选择消费向量 i x ， 生产者 j 选择生产向量 y j 时，经济 的状态就是向量组 ( , , , , , ) 1 m 1 n x x y y 。可见，一种经 济状态就是商品空间 R 中的一组向量。今后，我们把经济状态 ( , , , , , ) 1 m 1 n x x y y 简记为 (xi , y j) 。明显地，经济状态表示了经济的一种商品分配方式或资源配置方式。 消费集合与生产集合给经济人的行动带来了限制，使得一些经济状态为不可能达到。那 些不可能达到的经济状态，必须排除在考虑之外，剩下来的就只有可达状态了。可达状态的特 征有两个：一个特征是这个状态下的诸消费者和生产者的消费与生产都可行，另一个特征是总 消费费不超过总供给。即，一个经济状态 (xi , y j) 是可达的(attainable)，是指它满足以下两 个条件： (A1) x X , y Y (i 1,2, ,m; j 1,2, , n) i i j j = = (A2) + = = n j j m i xi e y 1 1 由一切可达状态所构成的集合，称为可达状态集合，记作 A ( )。 凡是能在可达状态中出现的消费者 i 的消费向量，都称为消费者 i 的可达消费，其全体记 为 Xi ˆ ，并称为消费者 i 的可达消费集；凡是能在可达状态中出现的生产者 j 的生产向量，都称 为生产者 j 的可达生产，其全体记为 Yj ˆ ，并称为生产者 j 的可达生产集。显然， Xi ˆ 与 Yj ˆ 分别 是 Xi 与 Yj 的子集。 人们更关心可达状态中那些可行的状态，即那些使条件(A2)中的不等式成为等式的可达 状态。换言之，经济状态 (xi , y j) 称为是可行的(feasible)，是指 (xi , y j) 满足如下两个条件：
第九章一般均衡及其福利 (F1)x∈X,y∈Y(=12…,mj=12,…,m) (F2)∑x1=e+∑y 经济E的所有可行状态的全体,用F(E)表示,称为可行状态集合 现在引入市场均衡概念。市场均衡是把经济状态、消费者收入及市场价格体系三者联系 在一起的一个概念。联系着价格和消费者收入的经济状态,可记为(x,y,P,r)。经济状态 (x,y1,PF)称为是市场均衡( market equilibrium),是指(x,y,P,r)满足如下三个条件 MEI)x1是消费者i在价格体系p和收入r下的均衡(=1,2,…,m) ME2)y是生产者j在价格体系p下的均衡(=12…m) ME3)经济系统的总需求等于总供给:∑1x=e+∑=y 市场均衡状态的全体,用M(E)来表示。易见,市场均衡必是可行状态。市场均衡状态中的 价格体系,称为均衡价格体系,或者称为市场价格体系。 再引入竞争均衡概念。考虑私有制经济E=(X1,=,e,⑨,Y)(mmO,这种经济中每个消 费者i的收入r都由他拥有的资源e,的价值和从厂商那里得到的分红构成,也就是说,在经济 状态(x,y,P,n)中,收入n是以下述方式计算的: =Pe1+∑9Py(=12,…,m) 因此,状态(x,y,Pn)可简记为(x,y,P)。当(x,y,P)为市场均衡时,(x,y,p)就叫 做竞争均衡( competitive equilibrium)或瓦尔拉均衡( Walrasian equilibrium)。换句话说 经济状态(x,y,p)叫做竞争均衡,是指(x,y,p)满足如下三个条件 (CE)x,是消费者;在价格体系p和收入n=p+∑159,Py下的均衡(i=12,…,m) (CE2)y是生产者j在价格体系p下的均衡(j=12…,n) (CE3)经济系统的总需求等于总供给:∑m1x=e+∑=y 用W(￡)表示瓦尔拉均衡状态的全体 本章章中,总用5(P,r)来表示消费者i的需求集映。当它取值为单点集时,它定义了唯 的一个映射,即需求映射,仍用ξ(pr)表示之。类似地,用刀(p)表示生产者j的供给集 映,当它取值为单点集时,它定义了供给映射,仍用刀/(p)表示之 集映(映射)5(p,r)=∑m5(P,n)(其中r=∑mn)和P)=∑=1们,(P)分别称为总需求 集映(总需求映射)和总供给集映(总供给映射) 第二节瓦尔拉均衡模型 瓦尔拉当初建立一般经济均衡模型时,由于他的数学修养,让他一开始就对理论采取了 数学形式。他设经济系统中有m种生产要素和n种产品,消费者通过向生产者提供生产要素来 获得收入,然后用所获收入去购买生产者的产品进行消费。设生产一单位第j种产品,需要投 入a,个单位的第i种生产要素。这样,生产y,个单位的第j种产品,就需要投入第i种生产 要素ay个单位 设市场上每种商品的总需求与总供给都是商品价格体系的函数,即价格机制对市场进行 着调节。经济的均衡状态是使各种商品的总供给与总需求相等的状态。瓦尔拉指出,在各个消
第九章 一般均衡及其福利 285 (F1) x X , y Y (i 1,2, ,m; j 1,2, , n) i i j j = = ； (F2) = = = + n j j m i xi e y 1 1 。 经济 的所有可行状态的全体，用 F ( )表示，称为可行状态集合。 现在引入市场均衡概念。市场均衡是把经济状态、消费者收入及市场价格体系三者联系 在一起的一个概念。联系着价格和消费者收入的经济状态，可记为 (xi , y j , p,ri) 。经济状态 (xi , y j , p,ri) 称为是市场均衡(market equilibrium)，是指 (xi , y j , p,ri) 满足如下三个条件： (ME1) i x 是消费者 i 在价格体系 p 和收入 i r 下的均衡 (i =1,2, ,m) ； (ME2) y j 是生产者 j 在价格体系 p 下的均衡 ( j =1,2, ,n) ； (ME3) 经济系统的总需求等于总供给： = = + = n j j m i xi e y 1 1 。 市场均衡状态的全体，用 M ( )来表示。易见，市场均衡必是可行状态。市场均衡状态中的 价格体系，称为均衡价格体系，或者称为市场价格体系。 再引入竞争均衡概念。考虑私有制经济 ( , = X i )( , , ) , , , i ei i j Yj m n ，这种经济中每个消 费者 i 的收入 i r 都由他拥有的资源 i e 的价值和从厂商那里得到的分红构成，也就是说，在经济 状态 (xi , y j , p,ri) 中，收入 ri 是以下述方式计算的： ( 1,2, , ) 1 r pe py i m n j i = i + i j j = = 因此，状态 (xi , y j , p,ri) 可简记为 (xi , y j , p) 。当 (xi , y j , p,ri) 为市场均衡时， (xi , y j , p) 就叫 做竞争均衡(competitive equilibrium)或瓦尔拉均衡(Walrasian equilibrium)。换句话说， 经济状态 (xi , y j , p) 叫做竞争均衡，是指 (xi , y j , p) 满足如下三个条件： (CE1) i x 是消费者 i 在价格体系 p 和收入 = + = n j ri pei 1i j pyj 下的均衡 (i =1,2, ,m) ； (CE2) y j 是生产者 j 在价格体系 p 下的均衡 ( j =1,2, ,n) ； (CE3) 经济系统的总需求等于总供给： = = + = n j j m i xi e y 1 1 。 用 W ( )表示瓦尔拉均衡状态的全体。 本章章中，总用 ( p,r) i 来表示消费者 i 的需求集映。当它取值为单点集时，它定义了唯 一的一个映射，即需求映射，仍用 ( p,r) i 表示之。类似地，用 j ( p) 表示生产者 j 的供给集 映，当它取值为单点集时，它定义了供给映射，仍用 j ( p) 表示之。 集映(映射) = = m i ( p,r) 1 i( p,ri) (其中 = = m i r 1 ri )和 = = n j p j p 1 ( ) ( ) 分别称为总需求 集映(总需求映射)和总供给集映(总供给映射)。 第二节 瓦尔拉均衡模型 瓦尔拉当初建立一般经济均衡模型时，由于他的数学修养，让他一开始就对理论采取了 数学形式。他设经济系统中有 m 种生产要素和 n 种产品，消费者通过向生产者提供生产要素来 获得收入，然后用所获收入去购买生产者的产品进行消费。设生产一单位第 j 种产品，需要投 入 ai j 个单位的第 i 种生产要素。这样，生产 y j 个单位的第 j 种产品，就需要投入第 i 种生产 要素 ai j y j 个单位。 设市场上每种商品的总需求与总供给都是商品价格体系的函数，即价格机制对市场进行 着调节。经济的均衡状态是使各种商品的总供给与总需求相等的状态。瓦尔拉指出，在各个消
第九章一般均衡及其福利 费者与生产者只追求各自的最大利益的情况下,价格机制对市场的调节,必能使经济处于均衡 状态 瓦尔拉做了这样的分析证明。用x表示均衡时对第i种生产要素的总供给量,y表示均 衡时对第j种产品的总供给量,P为均衡价格体系,它们都是待确定的未知量。x与y又分 别都是总需求量。市场上商品的总种类数C=m+n,因而p分为两部分:p=(,q),其中 w=(w1,w2,…,wm)是生产要素的价格向量,q=(q1,q2,…,qn)是产品的价格向量。设第i种 生产要素的总供给函数是n,第j种产品的总需求函数是5,它们都是以价格体系为自变量 的已知函数。这样,就得到了第一组关于x,y,P的m+n个方程 x,=n(P)(=12…,m) y=5(P) , h 经济系统要生产出产品向量y=(y1,y2…,yn),需要投入的第i种生产要素的总量为 an1y1+a12y2+…+ ainy,它就是第i种要素的总供给量x,所以又有第二组m个方程 x=∑a1/y(=1,2,…m) 另外,每一种产品的价格都应该等于生产出该产品一个单位所需的成本。这就给出了第 组n个方程 q (=1,2,…,n) 以上得到了2(m+n)个未知量x1,…,xm,y1,…,yn,W1,…,Wm,q1,…,qn的2(m+m)个联立 方程组 注意,需求函数与供给函数都是价格变量的零阶齐次函数,因而价格只具有相对的意义, 例如可取q1=1,结果未知数的个数减少了一个 再注意,均衡时消费者的收支要平衡,即收入要等于支出,而消费者的收入是通过提供 生产要素来获得的。所有消费者提供的生产要素总向量是x=(x1,x2…,xm),从而所有消费 者的总收入是wx。所有消费者购买的产品总向量是y=(y1,y2,…,yn),从而所有消费者的总 支出为qy。均衡时,wx应与qy相等,于是得到下面的恒等式 jyj 这个恒等式称为瓦尔拉定律 根据瓦尔拉定律可以推知,前面得到的第二、三组方程中有一个不是独立的,它可以从 其余m+n-1个方程推出。这么一来,独立方程的个数也就减少了一个。剩下来的只有 2(m+n)-1个独立未知数和2(m+n)-1个独立方程。既然独立未知数个数与独立方程个数相 等,瓦尔拉当时就宣称方程组有解,从而一般经济均衡问题有解。这就是原始的瓦尔拉均衡模 虽然瓦尔拉给出的数学论证是错误的,但是他的思想却是非常地深刻与奥妙。实际上,在 他那个时代,给出经济均衡存在性的严格数学证明根本不可能。下面来显示一般经济均衡理 论的数学深度 首先,我们对瓦尔拉的思想做一个归纳。市场上有C种商品,用D(p)表示总需求映射 S(p)表示总供给映射,并假定它们都是关于价格体系P的连续映射 D(p)=(D1(p),D2(p)…,D(p) S(p)=(S1(p),S2(p)…,S1(p)
第九章 一般均衡及其福利 286 费者与生产者只追求各自的最大利益的情况下，价格机制对市场的调节，必能使经济处于均衡 状态。 瓦尔拉做了这样的分析证明。用 i x 表示均衡时对第 i 种生产要素的总供给量， y j 表示均 衡时对第 j 种产品的总供给量， p 为均衡价格体系，它们都是待确定的未知量。 i x 与 y j 又分 别都是总需求量。市场上商品的总种类数 = m + n ，因而 p 分为两部分： p = (w, q) ，其中 ( , , , ) w = w1 w2 wm 是生产要素的价格向量， ( , , , ) q = q1 q2 qn 是产品的价格向量。设第 i 种 生产要素的总供给函数是 i ，第 j 种产品的总需求函数是 j ，它们都是以价格体系为自变量 的已知函数。这样，就得到了第一组关于 xi , y j , p 的 m + n 个方程: = = = = ( ) ( 1,2, , ) ( ) ( 1,2, , ) y p j n x p i m j j i i 经济系统要生产出产品向量 ( , , , ) 1 2 n y = y y y ，需要投入的第 i 种生产要素的总量为 i i in n a y + a y ++ a y 1 1 2 2 ，它就是第 i 种要素的总供给量 i x ，所以又有第二组 m 个方程: = = = n j xi ai j y j i m 1 ( 1,2,, ) 另外，每一种产品的价格都应该等于生产出该产品一个单位所需的成本。这就给出了第 三组 n 个方程: = = = m i q j ai jwi j n 1 ( 1,2,, ) 以上得到了 2(m + n) 个未知量 m n w wm q qn x , , x , y , , y , , , , , , 1 1 1 1 的 2(m + n) 个联立 方程组。 注意，需求函数与供给函数都是价格变量的零阶齐次函数，因而价格只具有相对的意义， 例如可取 q1 =1 ，结果未知数的个数减少了一个。 再注意，均衡时消费者的收支要平衡，即收入要等于支出，而消费者的收入是通过提供 生产要素来获得的。所有消费者提供的生产要素总向量是 ( , , , ) 1 2 m x = x x x ，从而所有消费 者的总收入是 wx 。所有消费者购买的产品总向量是 ( , , , ) 1 2 n y = y y y ，从而所有消费者的总 支出为 qy 。均衡时， wx 应与 qy 相等，于是得到下面的恒等式： = = = n j j j m i i i w x q y 1 1 这个恒等式称为瓦尔拉定律。 根据瓦尔拉定律可以推知，前面得到的第二、三组方程中有一个不是独立的，它可以从 其余 m + n −1 个方程推出。这么一来，独立方程的个数也就减少了一个。剩下来的只有 2(m + n) −1 个独立未知数和 2(m + n) −1 个独立方程。既然独立未知数个数与独立方程个数相 等，瓦尔拉当时就宣称方程组有解，从而一般经济均衡问题有解。这就是原始的瓦尔拉均衡模 型。 虽然瓦尔拉给出的数学论证是错误的，但是他的思想却是非常地深刻与奥妙。实际上，在 他那个时代， 给出经济均衡存在性的严格数学证明根本不可能。下面来显示一般经济均衡理 论的数学深度。 首先，我们对瓦尔拉的思想做一个归纳。市场上有 种商品，用 D( p) 表示总需求映射， S( p) 表示总供给映射，并假定它们都是关于价格体系 p 的连续映射。 ( ) ( ) ( ( ), ( ), , ( )) ( ) ( ), ( ), , ( ) 1 2 1 2 S p S p S p S p D p D p D p D p = =
第九章一般均衡及其福利 瓦尔拉定律说收支要平衡,因此这两个映射满足如下条件:对任何价格向量p,都有 pap=ps(p) 这就是瓦尔拉定律的数学形式。前面所述的均衡方程,现在可一般地叙述成 D=D(P) D(p=s(p) 供需均衡方程D(p)=S(p)的解,与超需求映射Z(p)=D(p)-S(p)的零点是一致的。注 意,价格的相对性使我们能够把价格向量的变化限制在价格空间的子集合Δ之中: △={p1,P2…,p):p1+pP2+…+p=l} 于是,瓦尔拉一般经济均衡的存在性可用下述定理表述 命题A.对于任何一个连续映射z:△→R,如果pZ(p)=0对一切p∈△都成立,则必存 在p∈Δ满足Z(p)≤0 这个命题称为瓦尔拉一般经济均衡存在性定理。它看上去似乎并不令人惊奇,然而实际 上它却与非常深刻的 Brouwer不动点定理等价 命题B( Brouwer).从Δ到Δ的任何连续映射∫:△→Δ都有不动点,即存在p∈Δ满足 p=f(p) 本节剩余部分就是来说明命题A和命题B的等价性 命题B→命题A: 我们可把命题A中的映射Z(p)=(Z1(p),Z2(p)…,Z1(p)看作“超需求映射”,并利用 Z(p)对价格体系p进行一次全面调整,调整方法如下 记1(p)=max{zn(p),0}(h=1,2,…,),x(p)=x1(p)+z2(p)+…+z1(p)。当商品h的 需求大于供给时,采取涨价措施:令f(p)=(pn+n(p)/(+(p)(h=12,…,C),并把 f(p)=(f(p),f(p),…,fA(p)作为调整后的价格体系。易见,对任何的p∈△,都有 ∫(p)∈Δ,并且这种调整结果关于原价格体系是连续的。命题B告诉我们,这种方式的调价, 必然对某种价格体系p不起作用,即调整前后的价格相同:p=f()。于是对这个价格体系p, 就有p=f()=(D+=(p)(+(p),从而p()=n(D)(h=12,…C) 在等式p(D)=二(D)两边同乘以Z(p),然后对h求和,可得到 x(D)∑p2(D)=∑=(D)zh(p 从瓦尔拉定律知,0=DZ(D)=∑=1pz(。于是,∑=1=h(D)z(=0。注意,左边 和式中的每一项b(p)Zh(D)都非负,因而只有(p)Zh(p)=0(h=1,2,…,C)。再注意,当 z(p)>0时,二()>0。因此,只有Z(p)≤0(h=1,2,…,),即Z()≤0。命题A得证 命题A→命题B: 从已给的映射f:△→△定义映射Z:△→R如下。对任何P∈△,令 ∑phf(p) a(p) ∑P2 Z,(P=f,(p)-i(p)P,(h=1, 2, 0) 则Z(p)=(1(p),Z2(p)…,Z(p)定义了从△到R的一个连续映射,并且满足命题A中的条
第九章 一般均衡及其福利 287 瓦尔拉定律说收支要平衡，因此这两个映射满足如下条件：对任何价格向量 p ，都有 pD( p) = pS( p) 这就是瓦尔拉定律的数学形式。前面所述的均衡方程，现在可一般地叙述成： = = = ( ) ( ) ( ) ( ) D p S p S S p D D p 供需均衡方程 D( p) = S( p) 的解，与超需求映射 Z( p) = D( p) − S( p) 的零点是一致的。注 意，价格的相对性使我们能够把价格向量的变化限制在价格空间的子集合 之中： = ( p1 , p2 , , p ): p1 + p2 ++ p =1 于是，瓦尔拉一般经济均衡的存在性可用下述定理表述： 命题 A. 对于任何一个连续映射 Z : → R ，如果 pZ( p) = 0 对一切 p 都成立，则必存 在 p 满足 Z( p) 0。 这个命题称为瓦尔拉一般经济均衡存在性定理。它看上去似乎并不令人惊奇，然而实际 上它却与非常深刻的 Brouwer 不动点定理等价。 命题 B(Brouwer). 从 到 的任何连续映射 f : → 都有不动点， 即存在 p 满足 p = f ( p) 。 本节剩余部分就是来说明命题 A 和命题 B 的等价性。 命题 B 命题 A： 我们可把命题 A 中的映射 ( ) ( ( ), ( ), , ( )) Z p = Z1 p Z2 p Z p 看作“超需求映射”，并利用 Z( p) 对价格体系 p 进行一次全面调整，调整方法如下。 记 ( ) max ( ), 0( 1,2, , ), ( ) ( ) ( ) ( ) zh p = Zh p h = z p = z1 p + z2 p ++ z p 。当商品 h 的 需求大于供给时，采取涨价措施：令 f ( p) = (p + z ( p)) (1+ z( p)) (h =1,2, , ) h h h ，并把 ( ) ( ( ), ( ), , ( )) f p = f 1 p f 2 p f p 作为调整后的价格体系。易见，对任何的 p ，都有 f ( p) ，并且这种调整结果关于原价格体系是连续的。命题 B 告诉我们，这种方式的调价， 必然对某种价格体系 p 不起作用，即调整前后的价格相同： p = f ( p) 。于是对这个价格体系 p ， 就有 p f ( p) (p z ( p)) (1 z( p)) h = h = h + h + ，从而 p z( p) = z ( p) (h =1,2, , ) h h 。 在等式 p z( p) z ( p) h = h 两边同乘以 Z ( p) h ，然后对 h 求和，可得到 = = = 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) h h h h z p phZh p z p Z p 从瓦尔拉定律知， = = = 1 0 ( ) ( ) pZ p h phZh p 。于是， ( ) ( ) 0 =1 = h zh p Zh p 。注意，左边 和式中的每一项 z ( p)Z ( p) h h 都非负，因而只有 z ( p)Z ( p) = 0 (h =1,2, , ) h h 。再注意，当 Zh ( p) 0 时， zh ( p) 0 。因此，只有 Z ( p) 0 (h =1,2, , ) h ，即 Z( p) 0 。命题 A 得证。 命题 A 命题 B： 从已给的映射 f : → 定义映射 Z : → R 如下。对任何 p ，令 ( ) ( ) ( ) ( 1,2, , ) ( ) ( ) 1 2 1 = − = = = = Z p f p p p h p p f p p h h h h h h h h 则 ( ) ( ( ), ( ), , ( )) Z p = Z1 p Z2 p Z p 定义了从 到 R 的一个连续映射，并且满足命题 A 中的条
第九章一般均衡及其福利 件:(vp∈△(pZ(p)=0),从而存在p∈△满足Z(p)≤0 既然≥0,2()≤0(h=12…,O且∑h()=0,可见只有pzh()=0对一切 h=1,2…,C成立 对于每个p,不外乎p1>0或p=0。当p>0时,从pz(D)=0知Z()=0;而 当p=0时,从0≤f(D)=Z(p)≤0知z(D)=0。总之,对一切h=1,2,…,C都有z(p)=0 即f(=A(D)D(h=1,2,…,C),从而∑b=1f4(D)=∑b=1A(ph 注意,∑f(p=1且∑=1p=1因为f()∈△,p∈△),所以A(p)=1。由此可知 f(p)=p(h=1,2,…,),即f(p)=p,故p是f的不动点。命题B得证。 以上的讨论说明,即使一个最简单的一般经济均衡模型,其在数学上就已经相当不平凡, 可见一般经济均衡思想是多么地深刻与奥妙 第三节经济系统博弈 虽然瓦尔拉对一般经济均衡存在性给出的证明不能令人信服,但是这段证明却保持了半 个多世纪,直到二十世纪三十年代以后,人们才逐渐摸索出了新的论证方法。经过许多人的努 力,于1954年才由阿罗和德布罗共同重建了一般经济均衡的理论大厦,对一般经济均衡存在 性,给出了令人满意的严格数学证明,树起了经济学史上的一块新的里程碑 这段历史发展过程中,值得一提的是博弈论对经济均衡理论的贡献。1950年,纳什(.F. Nash)应用日本数学家角谷静夫(S. Kakutani)提出的集值映射不动点定理,证明了n人博弈纳 什均衡的存在性。纳什定理的重要意义之一,在于它的结论可以向经济系统推广,尤其是带附 加约束条件的纳什均衡存在性定理,是获得阿罗-德布罗均衡存在性定理的关键所在。本节就 来介绍纳什均衡向经济系统的推广,即应用博弈论来硏究一般经济均衡问题 经济系统的博弈描述 考虑经济系统E=(X1,≤1,日1,B9,Y)(mm,其中9,≥0,∑9=1,X和y都是非 空紧凸集(i=1,2,…,m,j=12,…,n)。E中的每个经济人都可看作是一个博弈的局中人。消费 者i的策略集合就是消费集合X,生产者j的策略集合就是生产集合y。由于市场价格体系 从背后对人们的经济行为进行调节,因而可把市场也看作是一个局中人,亦即是说,把亚当·斯 密的“看不见的手”从台后请到台前,把它看作参加博弈的一方,并称其为市场经济人,它的 策略集合取为P={P∈R(:(p20)∧(∑1P=1}。于是,这个博弈的局势集合S为: Xm×Y×…1n×P 博弈中,消费者i的收益由他的效用函数1确定:对任何s=(x1,…,xm,y,…,yn,p)∈S, l(s)=l1(x;)(=1,2,……,m) 生产者j的收益由他的利润(净收入)丌确定:对任何s=(x1,…,xm,y,…,yn,p)∈S, z(s)=Py(=12,…,n) 市场经济人的收益可看作全社会的超额支出f(s):对任何s=(x1,…,xm,y…,yn,p)∈S
第九章 一般均衡及其福利 288 件: (p)(pZ( p) = 0) ，从而存在 p 满足 Z( p) 0。 既然 p 0, Z ( p) 0 (h =1,2, , ) h h 且 ( ) 0 =1 = h phZh p ，可见只有 phZh ( p) = 0 对一切 h =1,2, , 成立。 对于每个 ph ，不外乎 ph 0 或 ph = 0 。当 ph 0 时，从 phZh ( p) = 0 知 Zh ( p) = 0 ；而 当 ph = 0 时，从 0 f h ( p) = Zh ( p) 0 知 Zh ( p) = 0 。总之，对一切 h =1,2, , 都有 Zh ( p) = 0 ， 即 f ( p) = ( p) p (h =1,2, , ) h h ，从而 = = = 1 1 ( ) ( ) h h p h p ph f 。 注意， ( ) 1 1 = = h f h p 且 = = 1 1 h ph (因为 f ( p) , p )，所以 ( p) =1 。由此可知 f ( p) = p (h =1,2, , ) h h ，即 f ( p) = p ，故 p 是 f 的不动点。命题 B 得证。 以上的讨论说明，即使一个最简单的一般经济均衡模型，其在数学上就已经相当不平凡， 可见一般经济均衡思想是多么地深刻与奥妙。 第三节 经济系统博弈 虽然瓦尔拉对一般经济均衡存在性给出的证明不能令人信服，但是这段证明却保持了半 个多世纪，直到二十世纪三十年代以后，人们才逐渐摸索出了新的论证方法。经过许多人的努 力，于 1954 年才由阿罗和德布罗共同重建了一般经济均衡的理论大厦，对一般经济均衡存在 性，给出了令人满意的严格数学证明，树起了经济学史上的一块新的里程碑。 这段历史发展过程中，值得一提的是博弈论对经济均衡理论的贡献。1950 年，纳什(J.F. Nash)应用日本数学家角谷静夫(S. Kakutani)提出的集值映射不动点定理，证明了 n 人博弈纳 什均衡的存在性。纳什定理的重要意义之一，在于它的结论可以向经济系统推广，尤其是带附 加约束条件的纳什均衡存在性定理，是获得阿罗-德布罗均衡存在性定理的关键所在。本节就 来介绍纳什均衡向经济系统的推广，即应用博弈论来研究一般经济均衡问题。 一. 经济系统的博弈描述 考虑经济系统 ( , = X i )( , , ) , , , i ei i j Yj m n ，其中 i j 0 ， = = m i 1i j 1， Xi 和 Yj 都是非 空紧凸集 (i =1,2, ,m; j =1,2, , n) 。 中的每个经济人都可看作是一个博弈的局中人。消费 者 i 的策略集合就是消费集合 Xi ，生产者 j 的策略集合就是生产集合 Yj 。由于市场价格体系 从背后对人们的经济行为进行调节，因而可把市场也看作是一个局中人，亦即是说，把亚当·斯 密的“看不见的手”从台后请到台前，把它看作参加博弈的一方，并称其为市场经济人，它的 策略集合取为 { :( 0) ( 1)} = =1 = P p R p h ph 。于是，这个博弈的局势集合 S 为： S = X1 X m Y1 Yn P。 博弈中，消费者 i 的收益由他的效用函数 ui 确定：对任何 s = (x1 , , xm , y1 , , yn , p)S ， ui (s) = ui (xi ) (i =1,2, ,m) 生产者 j 的收益由他的利润(净收入) j 确定：对任何 s = (x1 , , xm , y1 , , yn , p)S ， j (s) = pyj ( j =1,2, ,n) 市场经济人的收益可看作全社会的超额支出 f (s) ：对任何 s = (x1 , , xm , y1 , , yn , p)S
第九章一般均衡及其福利 289 f(s)=ΣPx-∑Pe1-∑py 其含义是说,市场经济人的行为准则是要让超额需求的价值尽可能地大,而要让超额供给的价 值尽可能地小,以起到对市场的调节作用。注意,函数f(s)对价格p的偏导数为: f(s)=(s)=x-∑cm-∑y(h=12…,O 因此,只要商品h存在着超额需求,就有f(s)>0,此时市场经济人的目标就是提高商品h的 价格。而当商品h存在着超额供给时,f(s)m1px-∑me-∑m1y=0=f(),这说明p是市场经济人的最 优选择。这一切事实证实了s‘=(x,…,xm,y…,yp')是G的纳什均衡 进一步,在消费者偏好无满足的假定下,还可把竞争均衡放松成为有自由处置的均衡。 所谓(x,…,xm,y,…,yp)是经济E的有自由处置的均衡( equilibrium with free disposal), 简称自由处置均衡,是指(x,…,xm,y…,y,p')满足如下三个条件 (EFD1)x∈H是消费者i在价格p’∈P和收入r=pP'e1+∑=19,P'y下的均衡消费向量 (i=12 ) (EFD2)y∈Y是生产者j在价格p’∈P下的利润最大化净产出向量(j=12…,n) (EFD3)∑m1x≤∑me+∑1y 当每个消费者的偏好都是无满足的凸偏好时,从第三章的讨论可知消费者需求满足瓦尔 拉法则。这样,对于有自由处置的均衡s‘=(x,…xm,y,…,,p)来说,偏好的无满足性 和凸性保证了f(s)=mpx-∑mp-∑m1py=0:而∑mx≤∑me+∑my保证 了对任何P∈P,都有f(ps)=∑m1px-∑1Pe-∑1Py≤0,从而f(pls)sf(s) 就说明,当每个消费者的偏好关系都无满足的凸偏好时,经济￡的自由处置均衡必然是博 弈G的纳什均衡。 然而,偏好的无满足性在消费集合有界闭的情况下不能成立,因为第二章中曾经证明过: 任何连续偏好在R的非空有界闭集中都有满足。看来,需要对无满足性条件作修改。事实上, 只要注意需求的瓦尔拉法则在“需求向量不是消费集合中的满足向量”这一较弱的要求下就能 成立,那么把“无满足性”改换成为“任何可达消费向量在消费集合中都不是满足消费”,再
第九章 一般均衡及其福利 289 = − − = = = n j j m i i m i f s pxi pe py 1 1 1 ( ) 其含义是说，市场经济人的行为准则是要让超额需求的价值尽可能地大，而要让超额供给的价 值尽可能地小，以起到对市场的调节作用。注意，函数 f (s) 对价格 ph 的偏导数为： ( 1,2, , ) ( ) ( ) 1 1 1 = − − = = = = = x e y h p f s f s n j j h m i i h m i i h h h 因此，只要商品 h 存在着超额需求，就有 f h (s) 0 ，此时市场经济人的目标就是提高商品 h 的 价格。而当商品 h 存在着超额供给时， f h (s) 0 ，市场经济人的目标是降低商品 h 的价格。可 见，目标函数 f (s) 的定义与实际情况是相符合的。 消费者要在预算约束下使效用最大化，因此作为局中人看待的消费者 i 服从的约束条件 i S Xi : 为：对任何 s = (x1 , , xm , y1 , , yn , p)S ， = = + = n j i s i y yn p x Xi p x p ei i j p y j 1 ( ) ( 1 ,, , ) : (i =1,2, ,m) 生产者要使利润最大化，生产方案的选择范围始终是生产集合 Yj ，因而选择不受约束。 这种情况下，约束条件可看作是策略集合 Yj 。同样，市场经济人的选择也没有附加约束条件， 即约束条件可看作是策略集合 P 。这样一来，经济系统 可看成是带附加约束条件的博弈 G = (Xi ,ui ,i ;Yj , j ; P, f )m+n+1。 显然， 的竞争均衡必然是 G 的纳什均衡。这是因为当 ( , , , , , , ) * * * 1 * * 1 * s = x xm y yn p 是 的竞争均衡时， * xi 必然是消费者 i 的收益函数 ( | ) * ui xi s 在约束条件 ( ) * xi i s 下的最大值 点， * y j 也必然是生产者 j 的最大利润点，同时由于 = = = + = n j j m i i m i xi e y1 * 1 1 * ，因而对任何 p P ，都有 ( | ) 0 ( ) * 1 * 1 1 * * f p s px e y f s n j j m i i m i = = i − = − = = = ，这说明 * p 是市场经济人的最 优选择。这一切事实证实了 ( , , , , , , ) * * * 1 * * 1 * s = x xm y yn p 是 G 的纳什均衡。 进一步，在消费者偏好无满足的假定下，还可把竞争均衡放松成为有自由处置的均衡。 所谓 ( , , , , , , ) * * * 1 * * x1 xm y yn p 是经济 的有自由处置的均衡(equilibrium with free disposal)， 简称自由处置均衡，是指 ( , , , , , , ) * * * 1 * * x1 xm y yn p 满足如下三个条件： (EFD1) xi Xi * 是消费者 i 在价格 p * P 和收入 = + = n j r p ei 1 i j p y j * * * * 下的均衡消费向量 (i =1,2, ,m) ； (EFD2) y j Yj * 是生产者 j 在价格 p * P 下的利润最大化净产出向量 ( j =1,2, ,n) ； (EFD3) = = + = n j j m i i m i xi e y1 * 1 1 * 。 当每个消费者的偏好都是无满足的凸偏好时，从第三章的讨论可知消费者需求满足瓦尔 拉法则。这样，对于有自由处置的均衡 ( , , , , , , ) * * * 1 * * 1 * s = x xm y yn p 来说，偏好的无满足性 和凸性保证了 ( ) 0 1 * * 1 * 1 * * * = = − = − = = n j j m i i m i f s p xi p e p y ；而 = = + = n j j m i i m i xi e y1 * 1 1 * 保证 了对任何 p P ，都有 ( | ) 0 1 * 1 1 * * = = − = − = n j j m i i m i f p s pxi pe py ，从而 ( | ) ( ) * * f p s f s 。 这就说明，当每个消费者的偏好关系都无满足的凸偏好时，经济 的自由处置均衡必然是博 弈 G 的纳什均衡。 然而，偏好的无满足性在消费集合有界闭的情况下不能成立，因为第二章中曾经证明过： 任何连续偏好在 R 的非空有界闭集中都有满足。看来，需要对无满足性条件作修改。事实上， 只要注意需求的瓦尔拉法则在“需求向量不是消费集合中的满足向量”这一较弱的要求下就能 成立，那么把“无满足性”改换成为“任何可达消费向量在消费集合中都不是满足消费”，再
第九章一般均衡及其福利 290 加上偏好的凸性条件,方可保证上面的f(s)=∑mp'x-2mp'e-∑=py=0成立,从 而保证f(p|s')≤f(s')对一切p∈P成立。于是,如上的结论变为:如果每个消费者的偏好 关系都是凸的,并且任何可达消费方案都不是消费者的满足消费,那么经济E的自由处置均 衡必然是博弈G的纳什均衡 反过来,博弈G的纳什均衡能够成为经济￡的自由处置均衡吗?答案是肯定的。事实上, 当s=(x…,x,川,…,ν,p')∈S是博弈G的纳什均衡时,(x,…,xm,y,…,y,p')显然 满足条件(EFD)和(EFD2)。既然x服从预算约束p'x≤P'e+∑=19P'y(=12,…,m) 所以在条件∑m191=1下 f(s)=px-pe-∑9,p=∑px-∑p-p≤0 j=li=l 结合s’是G的纳什均衡这一事实,我们得到:对任何p∈P,f(p|s')≤f(s')≤0。从而 f(p|)=∑px-∑pe-∑py)≤0 对一切p∈P成立。这就保证了∑x-∑m1e1-∑=y≤0,即条件(EFD3)得到满足。可见 当∑m9=1时,博弈G的纳什均衡也必然是经济E的自由处置均衡。 把以上得出的两条结论结合在一起,我们便得到竞争均衡和纳什均衡之间的如下关系 命题1.设博弈G=(X,l,;Y,丌1;P,f)m+m是对经济E=(X1,=,e,91,Y)mn0 的博弈描述,其中,≥0且∑m身=1。 (1)博弈G的纳什均衡必然是经济￡的自由处置均衡 (2)当E中的诸消费者i都具有凸偏好关系≤;,并且任何可达消费方案x1∈X都不是消费者 i(在X中)的满足消费时,经济E的自由处置均衡也必然是博弈G的纳什均衡,从而对任 何s=(x,…,xn,y…,yp)∈S,s是经济E的自由处置均衡当且仅当s是博弈G的 纳什均衡 因此,经济均衡的存在性问题转化为带附加约束条件的纳什均衡存在性问题。第八章第 九节关于带约東条件的纳什均衡存在性定理,给出了该问题的答案 为了保证G满足第八章第九节中所述的带附加约束的纳什均衡存在性定理的条件,我们 对经济系统E提出如下要求 D)X与y都是R的紧凸子集(=12,…mj=12,…n) (D2)≤是连续的弱凸偏好关系(=1,2,…,m) (D3)存在m∈X满足O1<e(i=1,2,…,m (D4)0∈X(=12,…,n) D5)⑨,20且∑m9=1,即生产者都把利润全部分配给消费者 条件D1)保证了博弈G的各个局中人的策略集合都是欧氏空间的紧凸子集,条件①D2)保 证了各个局中人的收益函数都是关于局中人自己的策略变元的弱拟凹连续函数,条件(D3)和 (DA)(再加上条件(D1))保证了各个约束集映都是连续的,从而第九章第九节中的条件(G1) 和(G2)得到满足。 这里,对条件(D3)的意义作一点说明。可以把(D3)中的向量;∈M理解为消费者i的最 小需要向量,于是条件(①D3)说明消费者i拥有的资源都比他的最小需要为大,即消费者的最基 本的生活需要是能够得到满足的 既然带约束条件的均衡存在性条件得到满足,G的纳什均衡存在,从而经济E的自由处 置均衡存在,这就是德布罗得到的如下定理: 德布罗定理G. Debreu).设经济E=(X1,=,e1,9,Y)(m满足条件o1)、(D2)、D3)
第九章 一般均衡及其福利 290 加上偏好的凸性条件，方可保证上面的 ( ) 0 1 * * 1 * 1 * * * = = − = − = = n j j m i i m i f s p xi p e p y 成立，从 而保证 ( | ) ( ) * * f p s f s 对一切 p P 成立。于是，如上的结论变为：如果每个消费者的偏好 关系都是凸的，并且任何可达消费方案都不是消费者的满足消费，那么经济 的自由处置均 衡必然是博弈 G 的纳什均衡。 反过来，博弈 G 的纳什均衡能够成为经济 的自由处置均衡吗？答案是肯定的。事实上， 当 s = (x , , xm , y , , yn , p )S * * * 1 * * 1 * 是博弈 G 的纳什均衡时， ( , , , , , , ) * * * 1 * * x1 xm y yn p 显然 满足条件(EFD1)和(EFD2)。既然 * xi 服从预算约束 + = n j p xi p ei 1 i j p y j * * * * * (i =1,2, ,m) ， 所以在条件 1 =1 = m i i j 下， ( ) 0 1 * * 1 * 1 * * 1 * * 1 1 * 1 * * * = − − = − − = = = = = = = n j j m i i m i i n j j m i i j m i i m i f s p xi p e p y p x p e p y 结合 * s 是 G 的纳什均衡这一事实，我们得到：对任何 p P ， ( | ) ( ) 0 * * f p s f s 。从而 ( | ) 0 1 * 1 1 * * = − − = = = n j j m i i m i f p s pxi pe py 对一切 p P 成立。这就保证了 0 1 * 1 1 * = − = − = n j j m i i m i xi e y ，即条件(EFD3) 得到满足。可见， 当 1 =1 = m i i j 时，博弈 G 的纳什均衡也必然是经济 的自由处置均衡。 把以上得出的两条结论结合在一起，我们便得到竞争均衡和纳什均衡之间的如下关系： 命题 1. 设博弈 G = (Xi ,ui ,i ;Yj , j ; P, f )m+n+1 是对经济 ( , = X i )( , , ) , , , i ei i j Yj m n 的博弈描述，其中 i j 0 且 = = m i 1i j 1。 (1)博弈 G 的纳什均衡必然是经济 的自由处置均衡； (2)当 中的诸消费者 i 都具有凸偏好关系 i ，并且任何可达消费方案 xi Xi ˆ 都不是消费者 i (在 Xi 中)的满足消费时，经济 的自由处置均衡也必然是博弈 G 的纳什均衡，从而对任 何 s = (x , , xm , y , , yn , p )S * * * 1 * * 1 * ， * s 是经济 的自由处置均衡当且仅当 * s 是博弈 G 的 纳什均衡。 因此，经济均衡的存在性问题转化为带附加约束条件的纳什均衡存在性问题。第八章第 九节关于带约束条件的纳什均衡存在性定理，给出了该问题的答案。 为了保证 G 满足第八章第九节中所述的带附加约束的纳什均衡存在性定理的条件，我们 对经济系统 提出如下要求： (D1) Xi 与 Yj 都是 R 的紧凸子集 (i =1,2, ,m; j =1,2, , n) ； (D2) i 是连续的弱凸偏好关系 (i =1,2, ,m) ； (D3) 存在 i Xi 满足 i ei (i =1,2, ,m) ； (D4) 0Yj ( j =1,2, ,n) ； (D5) i j 0 且 = = m i 1i j 1，即生产者都把利润全部分配给消费者。 条件(D1)保证了博弈 G 的各个局中人的策略集合都是欧氏空间的紧凸子集，条件(D2)保 证了各个局中人的收益函数都是关于局中人自己的策略变元的弱拟凹连续函数，条件(D3)和 (D4)(再加上条件(D1))保证了各个约束集映 i 都是连续的，从而第九章第九节中的条件(G1) 和(G2)得到满足。 这里，对条件(D3)的意义作一点说明。可以把(D3)中的向量 i Xi 理解为消费者 i 的最 小需要向量，于是条件(D3)说明消费者 i 拥有的资源都比他的最小需要为大，即消费者的最基 本的生活需要是能够得到满足的。 既然带约束条件的均衡存在性条件得到满足， G 的纳什均衡存在，从而经济 的自由处 置均衡存在，这就是德布罗得到的如下定理： 德布罗定理(G.Debreu). 设经济 ( , = X i )( , , ) , , , i ei i j Yj m n 满足条件(D1)、(D2)、(D3)
第九章一般均衡及其福利 291 (D4)和(5),则E有自由处置的均衡,即存在经济状态(x1…,xm,y…,mn,p)∈S满足条件 (EFD1)、(EFD2)和EF3)。进步,如果E还满足如下条件: (D6)各个消费者的偏好关系≤;是凸的,并且任何可达消费方案x1∈X1都不是消费者的满足 消费,即对任何x∈X,都存在相应的x∈X使得x1<;x。 则E的任何自由处置均衡(x…,xm,y,…,y,p')都服从瓦尔拉斯定律,即 Px-∑Pe1-∑Py=0 证明.只需说明自由处置均衡服从瓦尔拉定律。为此,设s'=(xi,…,xm,y,…,yp)为 E的任一有自由处置的均衡。条件(D6)保证了p'x=P'e+∑m19,p'y(=12,…,m)。 结合条件(5便知,∑1p'x-∑m1pe-∑1P'y=0。可见,s服从瓦尔拉定律 阿罗-德布罗均衡模型 上面提出的德布罗定理,给出了自由处置均衡存在的条件,但它不能令人满意。首先 它所蕴含的自由处置性没有得到明确的表述,应当给其以明确表达。其次,要求消费集合与生 产集合都是紧集,从而都是有界集合,是难以找到经济上的合理性的。尤其是生产集合的有界 性,把规模报酬不变这一标准情形都给排除在外。因此,需要对一般经济均衡存在性问题进行 进一步深入研究。现在的问题是如何给出既有经济意义,又能保证一般经济均衡存在的合理条 件。阿罗与德布罗经过一番周密细致的精巧分析,提出了一系列合理假设,给出了经济均衡存 在的下述定理,即经典的阿罗-德布罗定理。 阿罗-德布罗定理(1954,1959).设经济E=(X1,=,e,9,Y)(mn满足下述条件 对每个消费者来说 (AD)x是商品空间R的下有界闭凸子集(=12…,m); (AD2)≤;是连续的、无满足的凸偏好关系(=1,2,…,m (AD)存在a∈X满足a<<e(i=12,…,m); 对于生产者来说 (ADA)0∈Y(j=1,2,…,n) (AD5)总生产集合Y=Y1+Y2+…+V是R的闭凸子集 (AD6)y∩(-Y)=} R 对于利润分成比例来说, (AD8)9≥0(=1,2,…,mj=1,2,…,n)且∑m19=1 则经济E的竞争均衡存在,即存在经济状态(x…x,ⅵ,…,y,p)满足如下三个条件: (1)x是消费者i在价格p和收入r'=p'e+∑m19,P'y下的均衡向量(=1 (2)y’∈Y是生产者j在价格p'∈P下的均衡向量(=12…,m) (3)∑m1x=∑m1e1+∑=y 定理中的条件(AD6)是说生产过程不可逆:条件(AD7)是说企业对投入要素可以自由处 置,即企业可以采取只投入不产出的生产方案。这样就可保证产品不过剩,从而克服自由处置 均衡中的产品过剩现象。其它假设的经济意义在以前章节中已作过解释,这里不必重复 我们把满足条件(AD1)至(AD8)的经济￡,叫做阿罗-德布罗经济。在证明阿罗-德布罗定 理之前,对阿罗-德布罗经济的性质作一些探讨。 用c表示集合的闭包运算,co表示集合的凸包运算。即对任何A∈R,cA是包含A的 最小闭集,coA是包含A的最小凸集。这样,集合 alcoA和 coca的意义就是明显的了
第九章 一般均衡及其福利 291 (D4)和(D5)，则 有自由处置的均衡，即存在经济状态 (x , , xm , y , , yn , p )S * * * 1 * * 1 满足条件 (EFD1)、(EFD2)和(EFD3)。进一步，如果 还满足如下条件： (D6) 各个消费者的偏好关系 i 是凸的，并且任何可达消费方案 xi Xi ˆ 都不是消费者 i 的满足 消费，即对任何 xi Xi ˆ ，都存在相应的 xi Xi 使得 xi i xi 。 则 的任何自由处置均衡 ( , , , , , , ) * * * 1 * * x1 xm y yn p 都服从瓦尔拉斯定律，即 0 1 * * 1 * 1 * * − − = = = = n j j m i i m i p xi p e p y 证明. 只需说明自由处置均衡服从瓦尔拉定律。为此，设 ( , , , , , , ) * * * 1 * * 1 * s = x xm y yn p 为 的任一有自由处置的均衡。条件（D6）保证了 = + = n j p xi p ei 1 i j p y j * * * * * (i =1,2, ,m) 。 结合条件(D5)便知， 0 1 * * 1 * 1 * * = − = − = = n j j m i i m i p xi p e p y 。可见， * s 服从瓦尔拉定律。 二. 阿罗-德布罗均衡模型 上面提出的德布罗定理，给出了自由处置均衡存在的条件，但它不能令人满意。首先， 它所蕴含的自由处置性没有得到明确的表述，应当给其以明确表达。其次，要求消费集合与生 产集合都是紧集，从而都是有界集合，是难以找到经济上的合理性的。尤其是生产集合的有界 性，把规模报酬不变这一标准情形都给排除在外。因此，需要对一般经济均衡存在性问题进行 进一步深入研究。现在的问题是如何给出既有经济意义，又能保证一般经济均衡存在的合理条 件。阿罗与德布罗经过一番周密细致的精巧分析，提出了一系列合理假设，给出了经济均衡存 在的下述定理，即经典的阿罗-德布罗定理。 阿罗-德布罗定理(1954,1959). 设经济 ( , = X i )( , , ) , , , i ei i j Yj m n 满足下述条件: 对每个消费者来说， (AD1) Xi 是商品空间 R 的下有界闭凸子集 (i =1,2, ,m) ； (AD2) i 是连续的、无满足的凸偏好关系 (i =1,2, ,m) ； (AD3) 存在 i Xi 满足 i ei (i =1,2, ,m) ； 对于生产者来说, (AD4) 0Yj ( j =1,2, ,n) ； (AD5) 总生产集合 Y =Y1 + Y2 ++ Yn 是 R 的闭凸子集； (AD6) Y (−Y) = 0 ； (AD7) − R+ Y ； 对于利润分成比例来说, (AD8) i j 0 (i =1,2, ,m; j =1,2, , n) 且 = = m i 1i j 1。 则经济 的竞争均衡存在，即存在经济状态 ( , , , , , , ) * * * 1 * * x1 xm y yn p 满足如下三个条件： (1) * xi 是消费者 i 在价格 * p 和收入 = + = n j r p ei 1 i j p y j * * * * 下的均衡向量 (i =1,2, ,m) ； (2) y j Yj * 是生产者 j 在价格 p * P 下的均衡向量 ( j =1,2, ,n) ； (3) = = = + = n j j m i i m i xi e y1 * 1 1 * 。 定理中的条件(AD6)是说生产过程不可逆；条件(AD7)是说企业对投入要素可以自由处 置，即企业可以采取只投入不产出的生产方案。这样就可保证产品不过剩，从而克服自由处置 均衡中的产品过剩现象。其它假设的经济意义在以前章节中已作过解释，这里不必重复。 我们把满足条件(AD1)至(AD8)的经济 ，叫做阿罗-德布罗经济。在证明阿罗-德布罗定 理之前，对阿罗-德布罗经济的性质作一些探讨。 用 cl 表示集合的闭包运算， co 表示集合的凸包运算。即对任何 AR ，cl A 是包含 A 的 最小闭集， co A 是包含 A 的最小凸集。这样，集合 clcoA 和 cocl A 的意义就是明显的了