第五章不确定条件下的选择 第五章不确定条件下的选择 前面两章讨论了确定性环境中的消费选择问题,即涉及的价格、收入、消费量等变量都 具有确定性。然而实际消费选择并非总是在这种确定性环境中进行的,比如人们可以借款进 行超支消费,如借款购房或贷款进大学接受高等教育,这种超支消费同人们未来收入有关 然而未来是不确定的,一个人的未来收入可能提高,也可能降低,也可能失业而只能享受社 会救济。如果未来收益很低,那么当前的超支在未来就无能力偿付。因此,当前是否要超支 消费,这是一个不确定的消费选择问题。又如择业,是在国有企事业单位找一份工作,以求 得稳定的(较低)工资收入和安全的社会保障,还是在合资企业求得一个高薪职位但面临很 大风险呢?一个人是把他(她)的余款存入银行以求得安全的低利息收入,还是利用余款购买 股票进行投资,求得一个高收益但面临较大风险呢?这还是一个带不确定性的选择问题。本 章讨论这种不确定条件下的消费选择问题 第一节不确定性选择事例 通常的“不确定”一词,是说人们不能确定某种行为一定会发生某种结果。经济学家对 这个词的含义进行了严格界定,区分了两个不相同但相联系的概念:不肯定性与风险。 不肯定性( uncertainty)是指人们既不能确定某种经济行为一定会发生某种结果,又不能 确定其发生的可能性大小。出现不肯定性的原因可能是人们行为本身就具有不确定性因素, 或者是人们行为不完全独立,或者是人们缺乏必要的信息等等。 风险(risk)是指人们虽然不能确定某种经济行为一定会发生某种结果,但能够确定其发 生的可能性大小,或者说,经济行为产生某种结果的可能性大小是客观存在,由客观条件决 定。比如人们可以根据已有的经验,确定出某种经济行为的各种可能结果,并且确定出每种 结果发生的概率。这样一来,便可计算这种经济行为的期望值,并利用期望值进行分析。 下面来看不确定性条件下选择的几个事例。 例1.抽彩( lottery) 设有两种奖品通过抽彩才能获得。第一种抽彩方式(即第一种彩票)是:获得奖品1的概率 为p,获得奖品2的概率为1-p。第二种抽彩方式(即第二种彩票)是:获得奖品1的概率为q 获得奖品2的概率为1-q。抽彩人得到奖品1后,能获得U1个单位的效用;获得奖品2后 能获得U2个单位的效用。问抽彩人喜欢抽哪一种彩票? 要回答这个问题,需要计算这两种彩票的预期效用(即效用的期望值)。用EU1表示第 种彩票的预期效用,EU2表示第二种彩票的预期效用。根据概率论的有关知识可知, EU1=pU1+(1-p)U2 比较一下EU1和EU2的大小,如果EU1>EU2,说明第一种彩票的效用期望值更大,因此抽 彩人更喜欢第一种抽彩方式,选择第一种彩票。同理,当EU1<EU2时,抽彩人会选择第二 种彩票。当EU1=EU2时,两种彩票的效用期望相同,因而对抽彩人来说无差异。 这个例子同时也说明,一种彩票可以用抽彩的中奖概率分布来表示。比如说有一种彩票
第五章 不确定条件下的选择 86 第五章 不确定条件下的选择 前面两章讨论了确定性环境中的消费选择问题，即涉及的价格、收入、消费量等变量都 具有确定性。然而实际消费选择并非总是在这种确定性环境中进行的，比如人们可以借款进 行超支消费，如借款购房或贷款进大学接受高等教育，这种超支消费同人们未来收入有关， 然而未来是不确定的，一个人的未来收入可能提高，也可能降低，也可能失业而只能享受社 会救济。如果未来收益很低，那么当前的超支在未来就无能力偿付。因此，当前是否要超支 消费，这是一个不确定的消费选择问题。又如择业，是在国有企事业单位找一份工作，以求 得稳定的（较低）工资收入和安全的社会保障，还是在合资企业求得一个高薪职位但面临很 大风险呢？一个人是把他(她)的余款存入银行以求得安全的低利息收入，还是利用余款购买 股票进行投资，求得一个高收益但面临较大风险呢？这还是一个带不确定性的选择问题。本 章讨论这种不确定条件下的消费选择问题。 第一节 不确定性选择事例 通常的“不确定”一词，是说人们不能确定某种行为一定会发生某种结果。经济学家对 这个词的含义进行了严格界定，区分了两个不相同但相联系的概念：不肯定性与风险。 不肯定性(uncertainty)是指人们既不能确定某种经济行为一定会发生某种结果，又不能 确定其发生的可能性大小。出现不肯定性的原因可能是人们行为本身就具有不确定性因素， 或者是人们行为不完全独立，或者是人们缺乏必要的信息等等。 风险(risk)是指人们虽然不能确定某种经济行为一定会发生某种结果，但能够确定其发 生的可能性大小，或者说，经济行为产生某种结果的可能性大小是客观存在，由客观条件决 定。比如人们可以根据已有的经验，确定出某种经济行为的各种可能结果，并且确定出每种 结果发生的概率。这样一来，便可计算这种经济行为的期望值，并利用期望值进行分析。 下面来看不确定性条件下选择的几个事例。 例 1. 抽彩(lottery) 设有两种奖品通过抽彩才能获得。第一种抽彩方式(即第一种彩票)是：获得奖品 1 的概率 为 p ，获得奖品 2 的概率为 1− p 。第二种抽彩方式(即第二种彩票)是：获得奖品 1 的概率为 q ， 获得奖品 2 的概率为 1− q 。抽彩人得到奖品 1 后，能获得 U1 个单位的效用；获得奖品 2 后， 能获得 U2 个单位的效用。问抽彩人喜欢抽哪一种彩票？ 要回答这个问题，需要计算这两种彩票的预期效用（即效用的期望值）。用 EU1 表示第一 种彩票的预期效用， EU2 表示第二种彩票的预期效用。根据概率论的有关知识可知， 1 1 2 EU = pU + (1− p)U ， 2 1 2 EU = qU + (1− q)U 比较一下 EU1 和 EU2 的大小，如果 EU1 EU2 ，说明第一种彩票的效用期望值更大，因此抽 彩人更喜欢第一种抽彩方式，选择第一种彩票。同理，当 EU1 EU2 时，抽彩人会选择第二 种彩票。当 EU1 = EU2 时，两种彩票的效用期望相同，因而对抽彩人来说无差异。 这个例子同时也说明，一种彩票可以用抽彩的中奖概率分布来表示。比如说有一种彩票
第五章不确定条件下的选择 有n个等级的奖励:1等奖,2等奖 n-1等奖(末等奖),n等奖(无奖)。获得i等奖的 概率为p;(i=1,2,…,n),p1+p 这个彩票可用它的中奖概率分布 (p1,P2…,Pn)来表示。再设抽彩人获得i等奖时,可获得U1个单位的效用,则该彩票的预期 效用为EU=P1U1+P2U2+…+pnU 预期效用越大的彩票,抽彩人(消费者)就越偏好于这种彩票。总之,彩票抽彩可用下 表加以表示 表5-1彩票抽彩 奖励等级1等奖2等奖 n-1等奖n等奖 中奖概率|p 中奖效用U 预期效用 EU=p1U1+p2U2+…+pnU 例2.赌博( gamble) 赌博是典型的依靠随机因素来决定收入的现象,用它可来区别一个人是冒险者还是避险 者。比如甲、乙两个球迷在为“巴西一法国”足球比赛的胜负争执不休,甲认为巴西队赢, 乙认为法国队赢。于是,有人建议他们以50元赌金打赌。如果不赌,甲和乙谁都不会赢得50 元,当然也不会付出50元,双方收入50元不变。如果赌,赌赢者可得50元(收入变为100 元),赌不赢就要付出50元(收入变为0元)。那么他们俩人是否要进行这场赌博呢?我们作 下分析 甲和乙之所以争论不休,是因为各人有各人的信息,各人有各人的判断。甲说巴西队贏 球,是因为甲认为巴西队胜球的概率大于法国队。乙说法国队贏球,是因为乙认为法国队赢 球的概率大于巴西队。设甲认为巴西队赢球的概率为p,法国队贏球的概率为1-p;乙认为 巴西队赢球的概率为q,法国队赢球的概率为1-q。则p>1-p,ql(50),那么甲参加赌博的预期效用大 于不赌的效用,甲会参加赌博。同样,如果EV>v(50),那么乙参加赌博的预期效用大于不 赌的效用,乙会参加赌博。只有当EU>l(50)且E>v(50)时,这场赌博才能开展起来。否 则,就有一方不愿意打赌。可见,一个人是否参加赌博,要看他打赌的预期效用是否大于不 赌的效用 赌博是一种增加人们收入的冒险行动。赌赢了,人们收入会得到较大幅度的增加,但却 冒着赌输使收入减少的风险。也正是这种风险,让不少赌徒倾家荡产。一个人是否喜欢赌博, 这要看他对待风险的态度。我们以赌博为例,来对人们对待风险的态度作一个分析。 设有一个赌博,赌输要输掉ν1元,赌则可得到ν2元的收获。某人现有货币收入W元 且W≥W1,因而具有参加赌博的资金条件。那么他是否喜欢赌博?这取决于他对待赌博的态 度。假定该人认为这场赌博输的概率为p,赢的概率为1-p,他的货币收入效用函数为U(r)。 如果不参加赌博,则收入W元不变,效用为U(W);如果参加赌博,则预期收入为 ER=p(W-W1)+(1-p)W+w2),预期效用为EU=pU(W-m1)+(1-p)(W+v2)。 当ER=W时,即当赌博的预期收入等于不赌的收入时,称这种赌博是公平赌博。一个人 是否喜欢冒险,要看他对待公平赌博的态度。在公平赌博面前,如果他认为赌博的预期效用 EU大于不赌的效用U(W4),即认为赌比不赌好,那么他就是一个喜欢冒险的人,称为冒险者 或者称为风险爱好者:如果他在公平赌博面前认为不赌比赌好(即U(W)>EU),那么他就是 一个不喜欢冒险的人,称为避险者或者称为风险规避者:如果他在公平赌博面前认为赌与不 赌是一样的(即EU=U(W),那么就称他是一个风险中立者 显然,一个人对待风险的态度,完全表现在他的效用函数U的性态上(如图5-1所示)
第五章 不确定条件下的选择 87 有 n 个等级的奖励：1 等奖，2 等奖，…， n −1 等奖(末等奖)， n 等奖(无奖)。获得 i 等奖的 概率为 i p （ i =1,2, ,n ) ， p1 + p2 ++ pn =1 。 这 个彩 票 可用 它的 中奖 概率 分 布 ( , , , ) p1 p2 pn 来表示。再设抽彩人获得 i 等奖时，可获得 U i 个单位的效用，则该彩票的预期 效用为 EU = p1U1 + p2U2 ++ pnUn 。 预期效用越大的彩票，抽彩人（消费者）就越偏好于这种彩票。总之，彩票抽彩可用下 表加以表示。 表 5-1 彩票抽彩 奖励等级 1 等奖 2 等奖 … n −1 等奖 n 等奖 中奖概率 1 p p2 … pn−1 pn 中奖效用 U1 U2 … U n−1 Un 预期效用 EU = p1U1 + p2U2 ++ pnUn 例 2. 赌博(gamble) 赌博是典型的依靠随机因素来决定收入的现象，用它可来区别一个人是冒险者还是避险 者。比如甲、乙两个球迷在为“巴西—法国”足球比赛的胜负争执不休，甲认为巴西队赢， 乙认为法国队赢。于是，有人建议他们以 50 元赌金打赌。如果不赌，甲和乙谁都不会赢得 50 元，当然也不会付出 50 元，双方收入 50 元不变。如果赌，赌赢者可得 50 元（收入变为 100 元），赌不赢就要付出 50 元(收入变为 0 元)。那么他们俩人是否要进行这场赌博呢？我们作 一下分析。 甲和乙之所以争论不休，是因为各人有各人的信息，各人有各人的判断。甲说巴西队赢 球，是因为甲认为巴西队胜球的概率大于法国队。乙说法国队赢球，是因为乙认为法国队赢 球的概率大于巴西队。设甲认为巴西队赢球的概率为 p ，法国队赢球的概率为 1− p ；乙认为 巴西队赢球的概率为 q ，法国队赢球的概率为 1− q 。则 p 1− p ，q 1− q 。 用 u 表示甲的货币收入效用函数， v 表示乙的货币收入效用函数。甲根据自己的概率判断， 计算出赌博的预期效用为 EU = pu(100) + (1− p)u(0) ；乙也根据自己的概率判断，计算出赌 博的预期效用为 EV = qv(0) + (1− q)v(100) 。如果 EU u(50) ，那么甲参加赌博的预期效用大 于不赌的效用，甲会参加赌博。同样，如果 EV v(50) ，那么乙参加赌博的预期效用大于不 赌的效用，乙会参加赌博。只有当 EU u(50) 且 EV v(50) 时，这场赌博才能开展起来。否 则，就有一方不愿意打赌。可见，一个人是否参加赌博，要看他打赌的预期效用是否大于不 赌的效用。 赌博是一种增加人们收入的冒险行动。赌赢了，人们收入会得到较大幅度的增加，但却 冒着赌输使收入减少的风险。也正是这种风险，让不少赌徒倾家荡产。一个人是否喜欢赌博， 这要看他对待风险的态度。我们以赌博为例，来对人们对待风险的态度作一个分析。 设有一个赌博，赌输要输掉 w1 元，赌赢则可得到 w2 元的收获。某人现有货币收入 W 元 且 W w1 ，因而具有参加赌博的资金条件。那么他是否喜欢赌博？这取决于他对待赌博的态 度。假定该人认为这场赌博输的概率为 p ，赢的概率为 1− p ，他的货币收入效用函数为 U(r) 。 如果不参加赌博，则收入 W 元不变，效用为 U(W) ；如果参加赌博，则预期收入为 ( ) (1 )( ) ER = p W − w1 + − p W + w2 ，预期效用为 ( ) (1 ) ( ) EU = pU W − w1 + − p U W + w2 。 当 ER = W 时，即当赌博的预期收入等于不赌的收入时，称这种赌博是公平赌博。一个人 是否喜欢冒险，要看他对待公平赌博的态度。在公平赌博面前，如果他认为赌博的预期效用 EU 大于不赌的效用 U(W) ，即认为赌比不赌好，那么他就是一个喜欢冒险的人，称为冒险者 或者称为风险爱好者；如果他在公平赌博面前认为不赌比赌好(即 U(W) EU )，那么他就是 一个不喜欢冒险的人，称为避险者或者称为风险规避者；如果他在公平赌博面前认为赌与不 赌是一样的(即 EU =U(W) )，那么就称他是一个风险中立者。 显然，一个人对待风险的态度，完全表现在他的效用函数 U 的性态上(如图 5-1 所示)：
第五章不确定条件下的选择 (1)风险爱好者的效用函数U是凸函数,即对任何两种收入W1和W2,及任何实数p∈(,1) 都有U(pW1+(1-p2)pU(W1)+(1-p)U(W2)。 (3)风险中立者的效用函数U是线性的,即对任何两种收入W和2,及任何实数p∈(O,1) 都有U(pW1+(1-p)W2)=pU(W1)+(1-p)U(W2) 应该说,我们大多数人都是不好冒险的,是避险者,谁能在不肯定的赌博收入等于肯定 的不赌收入的情况下选择赌博呢?因此,边际效用递减规律(即效用函数为凹函数)对于大多 数人来说都是适用的。 EU U(ER) EU L-U(ER)- W, ER n W, ER W ER (a)风险爱好者 (b)风险规避者 (c)风险中立者 图5-1对待风险的态度与效用函数性态 我们再来看一下在不公平赌博面前,风险爱好者、风险规避者和风险中立者的不同态度 不公平赌博有两种:一种是预期收入大于不赌的收入,称为盈赌;另一种是预期收入小于不 赌的收入,称为亏赌。假定效用函数U是严格递增的(即收入越多,效用越大)。 对于亏赌来说,ERU(ER),因此,EU与U(W)哪个更大不得肯定。这就是说,风险爱好者甚至连亏赌都 有可能参加(因为有可能EU>U(W)) 对于盈赌来说,ER>W,因此U(ER)>U(W)。风险爱好者和中立者认为EU≥U(ER) 因而EU>U(W),他们肯定要赌;但风险规避者认为EU<U(ER),于是EU与U(W)哪个 更大不得而知,这就是说,风险规避者甚至连盈赌都不一定参加(因为有可能EU<U(W)) 以上对于赌博的分析,可用下表加以总结。 表5-2赌博与对待风险的态度 对待风险的态度效用函数的性态公平赌博 盈赌 亏赌 风险爱好者 凸函数 赌者 赌者 不一定不赌 线性函数可赌、也可不赌 风险规避者 凹函数 例3.择业 设某人面临两种工作,需要从中选择出一种。第一种工作是在私营公司里搞推销,薪金 较高,但是收入是不确定的。如果干得好,每月可挣得2000元:干得一般,每月就只能挣得 1000元。假定他挣得2000元和挣得1000元的概率各为1/2。第二种工作是在国营商店当售 货员,每月工资1510元。但在国营商店营业状况极差的情况下,每月就只能得到510元的基 本工资收入。不过,一般情况下国营商店营业状况不会极差,出现营业状况极差情况的可能 性只有1%,因此第二种工作获得月收入1510元的可能性为99%
第五章 不确定条件下的选择 88 (1) 风险爱好者的效用函数 U 是凸函数，即对任何两种收入 W1 和 W2 ，及任何实数 p(0,1) ， 都有 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) U pW1 + − p W2 pU W1 + − p U W2 。 (2) 风险规避者的效用函数 U 是凹函数，即对任何两种收入 W1 和 W2 ，及任何实数 p(0,1) ， 都有 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) U pW1 + − p W2 pU W1 + − p U W2 。 (3) 风险中立者的效用函数 U 是线性的，即对任何两种收入 W1 和 W2 ，及任何实数 p(0,1) ， 都有 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) U pW1 + − p W2 = pU W1 + − p U W2 。 应该说，我们大多数人都是不好冒险的，是避险者，谁能在不肯定的赌博收入等于肯定 的不赌收入的情况下选择赌博呢？因此，边际效用递减规律(即效用函数为凹函数)对于大多 数人来说都是适用的。 我们再来看一下在不公平赌博面前，风险爱好者、风险规避者和风险中立者的不同态度。 不公平赌博有两种：一种是预期收入大于不赌的收入，称为盈赌；另一种是预期收入小于不 赌的收入，称为亏赌。假定效用函数 U 是严格递增的（即收入越多，效用越大）。 对于亏赌来说， ER W 。根据 U 的严格递增性， U(ER) U(W) 。风险规避者及风险中 立者认为 EU U(ER) ，故 EU U(W) ，因此他们肯定不参加赌博；但风险爱好者认为 EU U(ER) ，因此， EU 与 U(W) 哪个更大不得肯定。这就是说，风险爱好者甚至连亏赌都 有可能参加（因为有可能 EU U(W) ）。 对于盈赌来说， ER W ，因此 U(ER) U(W) 。风险爱好者和中立者认为 EU U(ER) ， 因而 EU U(W) ，他们肯定要赌；但风险规避者认为 EU U(ER) ，于是 EU 与 U(W) 哪个 更大不得而知，这就是说，风险规避者甚至连盈赌都不一定参加（因为有可能 EU U(W) ）。 以上对于赌博的分析，可用下表加以总结。 表 5-2 赌博与对待风险的态度 对待风险的态度 效用函数的性态 公平赌博 盈赌 亏赌 风险爱好者 凸函数 赌 赌 不一定不赌 风险中立者 线性函数 可赌、也可不赌 赌 不赌 风险规避者 凹函数 不赌 不一定赌 不赌 例 3. 择业 设某人面临两种工作，需要从中选择出一种。第一种工作是在私营公司里搞推销，薪金 较高，但是收入是不确定的。如果干得好，每月可挣得 2000 元；干得一般，每月就只能挣得 1000 元。假定他挣得 2000 元和挣得 1000 元的概率各为 1/2。第二种工作是在国营商店当售 货员，每月工资 1510 元。但在国营商店营业状况极差的情况下，每月就只能得到 510 元的基 本工资收入。不过，一般情况下国营商店营业状况不会极差，出现营业状况极差情况的可能 性只有 1％，因此第二种工作获得月收入 1510 元的可能性为 99％。 U U U EU EU U(ER) EU U(ER) U(ER) W W W W1 ER W2 W1 ER W2 W1 ER W2 (a) 风险爱好者 (b) 风险规避者 (c) 风险中立者 图 5-1 对待风险的态度与效用函数性态
第五章不确定条件下的选择 计算一下这两种工作的预期月收入ER,和ER ER1=0.5×2000+0.5×1000=1500(元) ER,=099×1510+0.01×510=1500(元) 可见,月收入的期望值都为1500元。 再计算一下这两种工作月收入的方差a2和a a12=05×(20001500)2+0.5×(1000-15002=25000 a2=099×(1510-15002+0.01×(510-1500)2=9900 所以,两种工作的标准差分别为σ1=500,σ2=30√11。a1>σ2说明,第一种工作虽然收 入可高达2000元,但风险大(即方差大);第二种工作虽然收入最高只有1510元,但风险小 (即方差小)。 这个人会选择哪一种工作呢?如果他不喜好冒险,他会选择第二种工作,因为两种工作 的预期收入相同,但第二种工作的风险小。如果他喜欢冒险,认为不冒险就发不了财,他就 会选择第二种工作 如果两种工作的预期收入不同,比如说第一种工作在“干得好”和“干得一般”两种情 况下的月收入都比上面所述的收入要增加100元,第二种工作的收入情况还是如上,则 R1=0.5×2100+0.5×1100=1600(元 ER2=0.99×1510+001×510=1500(元) a2=0.5×(2100-16002+0.5×(1100-16002=25000 a2=0.99×(1510-1500)2+001×(510-15002=990 第一种工作虽然能向他提供比第二种工作更大的预期收入,但同时第一种工作比第二种 工作风险大。敢作敢为、富有挑战精神的人可能会选择高预期收入、高风险的第一种工作, 比较保守的人可能会选择第二种工作。在这种预期收入不同、风险不同的(工作)选择面前, 人们究竞如何选择呢?要回答这个问题,需要对风险行为进行深入研究 第二节预期效用 本节讨论消费者在不确定环境中进行选择所依据的行为准则和目标。上节所述的几个事 例说明了这样一个问题:在不确定的环境中或者具有风险的情况下,人们是根据预期效用进 行决策的。这就是说,如果消费者对各种风险消费选择有一个评价(即有一个偏好关系)的话, 那么这种评价(偏好)肯定是根据某种预期效用作出的。我们不禁要问:事实真是如此吗?对 风险行为的评价背后是否有预期效用作为支持?答案可以说是肯定的。下面就来建立预期效 用理论,回答这个问题 风险选择集合 回到上节例1中,彩票可以用各种可能的获奖结果和获得各种奖的概率分布加以描述 设共有n个等级的奖励:1等奖,2等奖,…,n等奖。一种彩票代表了获得各等级奖励的 种概率分布(P1P2…Pn),不同彩票的获奖概率分布不同(这里考虑的不同彩票,仅仅是指 购买这些彩票获得各等奖励的概率分布不同,而所有彩票的奖励类型都是相同的)。这样一来 每一种彩票都可用购买它的获奖概率分布(p1,P2…,Pn)来表示。当概率分布变为 (q1,q2,…,qn)时,(q13q2,…,qn)便代表了另一种彩票 抽彩人可以在各种彩票中选择购买,于是,抽彩人的选择范围可以用各种可能的概率分
第五章 不确定条件下的选择 89 计算一下这两种工作的预期月收入 ER1 和 ER2： ER1 = 0.5 2000 + 0.51000 =1500 （元） ER2 = 0.99 1510 + 0.01 510 =1500 （元） 可见，月收入的期望值都为 1500 元。 再计算一下这两种工作月收入的方差 2 1 和 2 2 ： 0.5 (2000 1500) 0.5 (1000 1500) 250000 2 2 2 1 = − + − = 0.99 (1510 1500) 0.01 (510 1500) 9900 2 2 2 2 = − + − = 所以，两种工作的标准差分别为 1 = 500 ， 2 = 30 11 。 1 2 说明，第一种工作虽然收 入可高达 2000 元，但风险大（即方差大）；第二种工作虽然收入最高只有 1510 元，但风险小 （即方差小）。 这个人会选择哪一种工作呢？如果他不喜好冒险，他会选择第二种工作，因为两种工作 的预期收入相同，但第二种工作的风险小。如果他喜欢冒险，认为不冒险就发不了财，他就 会选择第二种工作。 如果两种工作的预期收入不同，比如说第一种工作在“干得好”和“干得一般”两种情 况下的月收入都比上面所述的收入要增加 100 元，第二种工作的收入情况还是如上，则 ER1 = 0.5 2100 + 0.51100 =1600 （元） ER2 = 0.99 1510 + 0.01 510 =1500 （元） 0.5 (2100 1600) 0.5 (1100 1600) 250000 2 2 2 1 = − + − = 0.99 (1510 1500) 0.01 (510 1500) 9900 2 2 2 2 = − + − = 第一种工作虽然能向他提供比第二种工作更大的预期收入，但同时第一种工作比第二种 工作风险大。敢作敢为、富有挑战精神的人可能会选择高预期收入、高风险的第一种工作， 比较保守的人可能会选择第二种工作。在这种预期收入不同、风险不同的(工作)选择面前， 人们究竟如何选择呢？要回答这个问题，需要对风险行为进行深入研究。 第二节 预期效用 本节讨论消费者在不确定环境中进行选择所依据的行为准则和目标。上节所述的几个事 例说明了这样一个问题：在不确定的环境中或者具有风险的情况下，人们是根据预期效用进 行决策的。这就是说，如果消费者对各种风险消费选择有一个评价(即有一个偏好关系)的话， 那么这种评价(偏好)肯定是根据某种预期效用作出的。我们不禁要问：事实真是如此吗？对 风险行为的评价背后是否有预期效用作为支持？答案可以说是肯定的。下面就来建立预期效 用理论，回答这个问题。 一、风险选择集合 回到上节例 1 中，彩票可以用各种可能的获奖结果和获得各种奖的概率分布加以描述。 设共有 n 个等级的奖励：1 等奖, 2 等奖, …, n 等奖。一种彩票代表了获得各等级奖励的一 种概率分布 ( , , , ) p1 p2 pn ，不同彩票的获奖概率分布不同（这里考虑的不同彩票，仅仅是指 购买这些彩票获得各等奖励的概率分布不同，而所有彩票的奖励类型都是相同的）。这样一来， 每一种彩票都可 用购买它的获 奖概率分布 ( , , , ) p1 p2 pn 来表示。当 概率分布变为 ( , , , ) q1 q2 qn 时， ( , , , ) q1 q2 qn 便代表了另一种彩票。 抽彩人可以在各种彩票中选择购买，于是，抽彩人的选择范围可以用各种可能的概率分
第五章不确定条件下的选择 布的集合X={(P1P2…,Pn)∈[0,:p+P2+…+pn=1}来表示。称此集合X为抽彩的 选择集合。注意,X是欧氏空间R"的有界闭凸子集。 对于任何两种彩票p=(P,P2…,pn)∈X和q=(q1,q2,…,qn)∈X,当a为某随机事件 A发生的概率时,ap+(1-a)q代表了一种以概率a获得彩票p,以概率1-a获得彩票q的 新彩票,该彩票等同于获奖概率分布为(ap1+(1-a)q1,ap2+(1-a)q2…,apn+(1-a)qn)的 彩票。称ap+(1-a)q为彩票p和q的复合彩票,或者称为复合抽彩。这就是选择集合X的 凸性的意义所在 抽彩行为的这种描述方式还可以一般化。设共有C种商品可供人们选择,确定性商品空 间为R,确定性的选择集合(消费集合)为ScR。 在不确定的环境中,人们的选择依赖于某些自然状态(或事件)的是否出现,而这些自然 状态出现与否是随机的或者不确定的。比如,如果天下雨,消费者购买雨伞;如果不下雨 就购买太阳镜。而天是否下雨,则不确定,但我们能根据气象台的天气预报说出下雨的概率。 用Ω表示影响人们选择的自然状态的全体,随机事件可用Ω的子集表示。假定每个人都能根 据自己掌握的知识和获悉的信息,判断出随机事件发生的可能性大小。这就是说,假定每个 人都有自己的概率空间(g2,3,P),其中3为事件域(即3为Ω2上的一个σ-域),P为3上的概 率(测度)函数。从这个概率空间出发,一种风险选择就是一种随机行为,表现为Ω上的 个随机向量。(即。是从Ω到S的一个映射)。这就是说,如果Ω中的状态出现,就选择 向量ξ(ω)。由于ω出现与否不得肯定,因而不能肯定究竟选择S中的哪一个向量。然而,选 择S中各个商品向量的概率分布是可以确定或估计的。这么一来,在带有不确定性的情况下 Ω上的C维随机向量:9→S的全体便代表了这个人所有可能的风险选择行为。用X或 X(S)表示来表示这个集合,即 X=X(S)={2::g→S为随机向量 并称该集合X=X(S)为经济活动者的风险选择集合 对于=(1,52,…,)∈X,的数学期望向量E]=(E[1]E[52]…,E[称作 的预期向量或预期值。 风险选择集合X扩充了确定性选择集合S,即每一种确定性的选择x∈S都可看作是一种 特殊的随机选择x:(ω)=X(对任何ω∈Ω)。更一般地,如果随机向量ξ的取值几乎处 处相等,即几乎处处等于某个x∈S(也即P{(ω)=x}=1),则可把这个随机向量看成是确 定性的向量x,也就是说,可认为5=<x。易见,E<x]=x。作了这个解释后,我们可认为 SCX=X(S) 当考虑风险行为的预期值时,必然涉及确定性行为之间的加权平均运算,而且还要涉及 到这些运算结果序列的极限(比如连续型随机向量预期值的定义中既涉及加权平均运算,又 涉及积分,而积分本身就是一种极限)。因此,一般情况下都要假定确定性选择集合S是空间 R的凸闭子集。本章的分析中,哪里需要S的凸闭性,哪里就假定S是凸闭集,而不再赘述 从概率论知道,研究随机向量时,只要知道了随机向量的取值范围和概率分布,就满足 了我们的要求。因此,分布相同的随机向量可以看作相同的随机向量。所谓∫是C维随机向 量∈X的分布函数,是指f是一个C元实值函数,且对于任何x=(x1,x2…,x)∈R, f(x)=P{()<<x}=P{1(o)<x1,2(a)<x2,…,kl(m)<x}。分布函数f的密度函数,是 一个实值函数(x)使得对任何x=(x1,x2,…,x)∈R,都有 (1)o(x)=q(x1,x2,…,x)≥0 2)…J(,42…t)dhdh2…dh=1 ()(x,x2…x)=二∫o,42…1)dtd2…dt 由于X中的随机向量ξ取值于集合S之中,因此可以认为的分布密度函数(x)在集合
第五章 不确定条件下的选择 90 布的集合 {( , , , ) [0,1] : 1} = 1 2 1 + 2 + + n = n X p p pn p p p 来表示。称此集合 X 为抽彩的 选择集合。注意， X 是欧氏空间 n R 的有界闭凸子集。 对于任何两种彩票 p = ( p1 , p2 , , pn ) X 和 q = (q1 , q2 , , qn ) X ，当 a 为某随机事件 A 发生的概率时， a p + (1− a)q 代表了一种以概率 a 获得彩票 p ，以概率 1 − a 获得彩票 q 的 新彩票，该彩票等同于获奖概率分布为 ( (1 ) , (1 ) , , (1 ) ) a p1 + − a q1 a p2 + − a q2 a pn + − a qn 的 彩票。称 a p + (1− a)q 为彩票 p 和 q 的复合彩票，或者称为复合抽彩。这就是选择集合 X 的 凸性的意义所在。 抽彩行为的这种描述方式还可以一般化。设共有 种商品可供人们选择，确定性商品空 间为 R ，确定性的选择集合（消费集合）为 S R 。 在不确定的环境中，人们的选择依赖于某些自然状态(或事件)的是否出现，而这些自然 状态出现与否是随机的或者不确定的。比如，如果天下雨，消费者购买雨伞；如果不下雨， 就购买太阳镜。而天是否下雨，则不确定，但我们能根据气象台的天气预报说出下雨的概率。 用 表示影响人们选择的自然状态的全体，随机事件可用 的子集表示。假定每个人都能根 据自己掌握的知识和获悉的信息，判断出随机事件发生的可能性大小。这就是说，假定每个 人都有自己的概率空间 (,,P) ,其中 为事件域(即 为 上的一个 σ −域）， P 为 上的概 率（测度）函数。从这个概率空间出发，一种风险选择就是一种随机行为，表现为 上的一 个随机向量 (即 是从 到 S 的一个映射）。这就是说，如果 中的状态 出现，就选择 向量 () 。由于 出现与否不得肯定，因而不能肯定究竟选择 S 中的哪一个向量。然而，选 择 S 中各个商品向量的概率分布是可以确定或估计的。这么一来，在带有不确定性的情况下， 上的 维随机向量 : → S 的全体便代表了这个人所有可能的风险选择行为。用 X 或 X(S) 表示来表示这个集合，即 X = X(S) ={ ： :→S为随机向量 } 并称该集合 X = X(S) 为经济活动者的风险选择集合。 对于 = ( 1 , 2 , , ) X ， 的数学期望向量 [ ] ( [ ], [ ], , [ ]) E = E 1 E 2 E 称作 的预期向量或预期值。 风险选择集合 X 扩充了确定性选择集合 S ，即每一种确定性的选择 x S 都可看作是一种 特殊的随机选择 x ： x x () = （对任何 ）。更一般地，如果随机向量 的取值几乎处 处相等，即几乎处处等于某个 x S （也即 P{ () = x}=1 ），则可把这个随机向量看成是确 定性的向量 x ，也就是说，可认为 = x 。易见， E x [ x ] = 。作了这个解释后，我们可认为 S X = X(S)。 当考虑风险行为的预期值时，必然涉及确定性行为之间的加权平均运算，而且还要涉及 到这些运算结果序列的极限（比如连续型随机向量预期值的定义中既涉及加权平均运算，又 涉及积分，而积分本身就是一种极限）。因此，一般情况下都要假定确定性选择集合 S 是空间 R 的凸闭子集。本章的分析中，哪里需要 S 的凸闭性，哪里就假定 S 是凸闭集，而不再赘述。 从概率论知道，研究随机向量时，只要知道了随机向量的取值范围和概率分布，就满足 了我们的要求。因此，分布相同的随机向量可以看作相同的随机向量。所谓 f 是 维随机向 量 X 的分布函数，是指 f 是一个 元实值函数，且对于任何 x = (x1 , x2 , , x )R ， ( ) { ( ) } { ( ) , ( ) , , ( ) } 1 1 2 2 f x = P x = P x x x 。分布函数 f 的密度函数，是 一个实值函数 (x) 使得对任何 x = (x1 , x2 , , x )R ，都有： (1) (x) =(x1 , x2 , , x ) 0 (2) ( 1 , 2 , , ) 1 2 =1 − − t t t dt dt dt (3) f x x x t t t dt dt dt x x 1 2 1 2 1 2 1 ( , , , ) ( , , , ) − − = 由于 X 中的随机向量 取值于集合 S 之中，因此可以认为 的分布密度函数 (x) 在集合
第五章不确定条件下的选择 S之外取值为零:当xgS时,(x)=0 今后,我们把随机向量与它的分布函数∫(或者分布密度函数φ)等同看待。这样,就 可用分布函数集合D=D(S)来替代风险选择集合X,其中D(S)定义如下: D=D(S)={f:∫是X中的某随机向量。的分布函数} 象复合抽彩一样,对于一般的随机行为,也有复合随机行为的概念。设5,∈X为两种 随机行为,f,g∈D(S)分别为5,m的分布函数,g,分别为f,g的密度函数,p∈[0,1为 事件A∈3发生的概率 用p⊕(1-p)表示这样的复合随机行为:以概率p选择。,以概率1-p选择η(注 意,p⊕(1-p与p2+(1-p的含义不同)。亦即,当事件A发生时,按照进行随机 选择;当事件A不发生时,按照η进行随机选择。这也就是说,p⊕(1-p)代表了这样的 种随机选择(随机向量):如果事件A发生,那么每当自然状态O∈Ω出现时,就选择(ω) 如果A不发生,那么每当自然状态O∈Ω出现时,就选择r(o)。称p⊕(1-p)为随机选择 和n的复合选择,或者称为随机向量ξ和η的复合随机向量 复合随机向量p由(1-p)的概率分布可计算如下。对任何x=(x1,x2,…x)∈R,用 B表示事件{D(1-p<x},则根据全概率公式P(B)=P(A)P(BA)+PA)P(B|A)(其 中A=-A)可知 P{∈9:(p2⊕(1-p))(o)<<x =P(4)P{(P(1-p<x|4}+P(A)Pp(1-p)<xf pPs<<x)+(1-p)Pin<<x =pf(x)+(1-p)g(x) 这说明,复合随机向量的概率分布函数是各个随机向量的分布函数按照概率进行的加权平均 同时也说明了分布函数的加权平均的意义。注意,随机向量的复合不要求确定性选择集合S的 凸性。既然我们可用分布函数集合D(S)代替随机向量集合X(S),可见在带有不确定性的选 择环境中,随机选择集合必然是凸集,即D(S)是凸集(尽管S可能不是凸集)。今后,我们 把分布函数pf(x)+(1-p)g(x)称为按概率p(和1-p)进行的复合分布函数 容易看出,复合分布pf(x)+(1-p)g(x)的密度函数为p+(1-p》。称此密度函数为 按概率P(和1-p)进行的复合密度函数 以上分析表明了用分布函数集合D(S)替代随机选择集合X(S)的优越性所在:复合行为 就是对概率分布进行加权平均。鉴于此,今后就直接把D(S)称为随机选择集合,即视X(S)和 D(S)为同样的集合 、预期效用性质 我们先计算一下复合抽彩的预期效用。设U为抽彩人获得第i种奖品时获得的效用量 (i=12,…,n)。对于彩票p=(P1,P2…,pn),抽彩人的预期效用EU为 EU(P)=P,U1+p,02+.+p,Un 当p=(p1,P2…,pn)和q=(q1,q2,…,qn)为两种彩票,a为某事件A发生的概率时,复 合抽彩qp+(1-a)q的预期效用为 EU(ap+(1-a))=(ap1+(1-a)q1儿1+qp2+(1-a)22+…+叩pn+(1-a)qn)Un =aEU(P)+(I-aEu(q 这说明复合抽彩的预期效用等于其中各抽彩的预期效用的预期效用。抽彩人在复合抽彩中所 表现出来的这种效用评价特点,称为预期效用性质
第五章 不确定条件下的选择 91 S 之外取值为零：当 x S 时， (x) = 0。 今后,我们把随机向量 与它的分布函数 f （或者分布密度函数 ）等同看待。这样，就 可用分布函数集合 D = D(S) 来替代风险选择集合 X ，其中 D(S) 定义如下： D = D(S) ={ f : f 是 X 中的某随机向量 的分布函数 } 象复合抽彩一样，对于一般的随机行为，也有复合随机行为的概念。设 , X 为两种 随机行为， f , g D(S) 分别为 , 的分布函数， , 分别为 f , g 的密度函数， p[0,1] 为一 事件 A 发生的概率。 用 p (1− p) 表示这样的复合随机行为：以概率 p 选择 ，以概率 1− p 选择 （注 意， p (1− p) 与 p + (1− p) 的含义不同）。亦即，当事件 A 发生时，按照 进行随机 选择；当事件 A 不发生时，按照 进行随机选择。这也就是说， p (1− p) 代表了这样的 一种随机选择（随机向量）：如果事件 A 发生，那么每当自然状态 出现时，就选择 () ； 如果 A 不发生，那么每当自然状态 出现时，就选择 () 。称 p (1− p) 为随机选择 和 的复合选择，或者称为随机向量 和 的复合随机向量。 复合随机向量 p (1− p) 的概率分布可计算如下。对任何 x = (x1 , x2 , , x )R ，用 B 表示事件 {p (1− p) x} ，则根据全概率公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c P B = P A P B A + P A P B A （其 中 A A c = − ）可知， ( ) (1 ) ( ) { } (1 ) { } ( ) {( (1 ) } ( ) { (1 ) } { : ( (1 ) )( ) } p f x p g x p P x p P x P A P p p x A P A P p p x A P p p x c c = + − = + − = − + − − 这说明，复合随机向量的概率分布函数是各个随机向量的分布函数按照概率进行的加权平均。 同时也说明了分布函数的加权平均的意义。注意，随机向量的复合不要求确定性选择集合 S 的 凸性。既然我们可用分布函数集合 D(S) 代替随机向量集合 X(S) ，可见在带有不确定性的选 择环境中，随机选择集合必然是凸集，即 D(S) 是凸集（尽管 S 可能不是凸集）。今后，我们 把分布函数 pf (x) + (1− p)g(x) 称为按概率 p (和 1− p) 进行的复合分布函数。 容易看出，复合分布 pf (x) + (1− p)g(x) 的密度函数为 p + (1− p) 。称此密度函数为 按概率 p (和 1− p )进行的复合密度函数。 以上分析表明了用分布函数集合 D(S) 替代随机选择集合 X(S) 的优越性所在：复合行为 就是对概率分布进行加权平均。鉴于此，今后就直接把 D(S) 称为随机选择集合，即视 X(S) 和 D(S) 为同样的集合。 二、预期效用性质 我们先计算一下复合抽彩的预期效用。设 U i 为抽彩人获得第 i 种奖品时获得的效用量 (i =1,2, , n) 。对于彩票 ( , , , ) p = p1 p2 pn ，抽彩人的预期效用 EU 为： EU p = p1U1 + p2U2 ++ pnUn ( ) 当 ( , , , ) p = p1 p2 pn 和 ( , , , ) q = q1 q2 qn 为两种彩票， a 为某事件 A 发生的概率时，复 合抽彩 ap + (1− a)q 的预期效用为： ( ) (1 ) ( ) ( (1 ) ) ( (1 ) ) (1 ) ) (1 ) ) 1 1 1 2 2 2 aEU p a EU q EU a p a q a p a q U a p a q U a pn a qn Un = + − + − = + − + + − ++ + − 这说明复合抽彩的预期效用等于其中各抽彩的预期效用的预期效用。抽彩人在复合抽彩中所 表现出来的这种效用评价特点，称为预期效用性质
第五章不确定条件下的选择 其实,预期效用性质不但为复合抽彩所具有,而且对一般的随机行为也是基本适用的 为了说明这一点,设U是消费者在确定性环境下的效用函数,并假定U定义在整个商品空间 R上。对于∈X(S),设∫∈D(S)为其分布函数,则的预期效用EU()(也可表示为 EU()定义为: EU(=EUC U(x1,x2,…,x)df(x1,x2,…,x) 当为连续型随机变量且q为∫的密度函数时,则的预期效用EU(2)可写成: EU()= U(x1,x2…,xt)(x1,x2,…,xt)dx1dx2…dx =U(x,x2…xx,x2…,x)2 在带有不确定性的选择环境中,消费者的目标是让预期效用最大化。因此,如上的预期 效用EU(f)实际上给出了消费者在风险选择集合D(S)上的一个效用函数,称其为预期效用 函数。当2=5x∈Y(S)(x∈S)为确定性行为时,EU(与)=EU(x)=U(x)。因此,预期效 用函数EU是原来确定性的效用函数U的扩充 对于任何f,g∈D(S)及p∈[O.,1,复合随机行为pf+(1-p)g的预期效用为 EU(Pf+(1-P)8)=_U(r)d(pf+(1-p)g)x) U(x)df(x)+(1-p U(x)dg(x) pEUC)+(1-pEU(g) 也即对于任何2,∈H(S)及p∈[0,,都有EU(p(1-p))=pEU()+(1-p)EU(m) 这说明不确定性条件下,从确定性效用函数导出的预期效用函数具有预期效用性质 三、预期效用函数 预期效用性质在不确定性或风险问题研究中是相当重要的,也是有力的工具。确定性效 用函数引导的预期效用函数EU,既具有预期效用性质,又诱导出了风险选择集合D(S)上 的一个偏好关系=u:对于任何f,g∈D(S),f=u8当且仅当EU(O)≤EU(g)。对于这个 偏好关系=u来说,表示它的效用函数有无穷多个,但EU是所有这些效用表示中最重要的 个,因为这个效用函数具有预期效用性质 更一般地,我们有下面的定义 预期效用性质.风险选择集合D(S)上的效用函数u叫做具有预期效用性质,是指对任何 f,g∈D(S)及任何实数p∈[O,1,都有u(Pf+(1-p)g)=pu(f)+(1-pu(g) 如果直接采用随机向量集合X(S)表示风险选择集合,那么预期效用性质的表达方式变成 为:任何5,∈X(S)及任何实数p∈[0,1],都有up2⊕(1-p)m)=pM(4)+(1-p)a(T)。 凡是具有预期效用性质的效用函数u:D(S)→R(或者u:X(S)→R),都叫做预期效用 函数,或者叫做 von Neumann- Morgenstern效用函数,简称为WM效用函数。不过采取后 种叫法时,其意义已经扩充了原来的 von Neumann- Morgenstern效用函数概念 当一个预期效用函数u:D(S)→R是D(S)上的某个偏好关系≤的效用表示时,就称是≤ 的预期效用表示,或者称u是=的预期效用函数。具有预期效用表示的偏好关系,也就叫做预 期偏好 )预期效用公理 下面看一看在什么条件下,一个偏好关系的预期效用函数存在。为此,设≤是风险选择集
第五章 不确定条件下的选择 92 其实，预期效用性质不但为复合抽彩所具有，而且对一般的随机行为也是基本适用的。 为了说明这一点，设 U 是消费者在确定性环境下的效用函数，并假定 U 定义在整个商品空间 R 上。对于 X(S) ，设 f D(S) 为其分布函数，则 的预期效用 EU( ) (也可表示为 EU( f ) )定义为： − − ( ) = ( ) = ( , , , ) ( , , , ) 1 2 1 2 EU EU f U x x x df x x x 当 为连续型随机变量且 为 f 的密度函数时，则 的预期效用 EU( ) 可写成： = = − − S U x x x x x x d x d x d x EU U x x x x x x d x d x d x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ( ) ( , , , ) ( , , , ) 在带有不确定性的选择环境中，消费者的目标是让预期效用最大化。因此，如上的预期 效用 EU( f ) 实际上给出了消费者在风险选择集合 D(S) 上的一个效用函数，称其为预期效用 函数。当 X (S) = x （ x S )为确定性行为时， EU( ) EU( ) U(x) = x = 。 因此，预期效 用函数 EU 是原来确定性的效用函数 U 的扩充。 对于任何 f , g D(S) 及 p[0,1] ，复合随机行为 pf + (1− p)g 的预期效用为 ( ) (1 ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ( (1 ) ) ( ) ( (1 ) )( ) pEU f p EU g p U x d f x p U x d g x EU p f p g U x d p f p g x = + − = + − + − = + − − − − − − − 也即对于任何 , X(S) 及 p[0,1] ，都有 EU( p (1− p)) = pEU( ) + (1− p)EU() 。 这说明不确定性条件下，从确定性效用函数导出的预期效用函数具有预期效用性质。 三、预期效用函数 预期效用性质在不确定性或风险问题研究中是相当重要的，也是有力的工具。确定性效 用函数引导的预期效用函数 EU ，既具有预期效用性质，又诱导出了风险选择集合 D(S) 上 的一个偏好关系 U ：对于任何 f , g D(S) ， f U g 当且仅当 EU( f ) EU(g) 。对于这个 偏好关系 U 来说，表示它的效用函数有无穷多个，但 EU 是所有这些效用表示中最重要的 一个，因为这个效用函数具有预期效用性质。 更一般地，我们有下面的定义。 预期效用性质．风险选择集合 D(S) 上的效用函数 u 叫做具有预期效用性质，是指对任何 f , g D(S) 及任何实数 p[0,1] ，都有 u( pf + (1− p)g) = pu( f ) + (1− p)u(g) 。 如果直接采用随机向量集合 X(S) 表示风险选择集合，那么预期效用性质的表达方式变成 为：任何 , X(S) 及任何实数 p[0,1] ，都有 u( p (1− p)) = pu( ) + (1− p)u() 。 凡是具有预期效用性质的效用函数 u : D(S) → R （或者 u : X(S) → R ），都叫做预期效用 函数，或者叫做 von Neumann-Morgenstern 效用函数，简称为 VNM 效用函数。不过采取后一 种叫法时，其意义已经扩充了原来的 von Neumann-Morgenstern 效用函数概念。 当一个预期效用函数 u : D(S) → R 是 D(S) 上的某个偏好关系 的效用表示时，就称 u 是 的预期效用表示，或者称 u 是 的预期效用函数。具有预期效用表示的偏好关系，也就叫做预 期偏好。 （一）预期效用公理 下面看一看在什么条件下，一个偏好关系的预期效用函数存在。为此，设 是风险选择集
第五章不确定条件下的选择 合D(S)上的一个偏好关系。我们需要对≤提出一些附加性公理。 阿基米德公理.对于任何的f,g,h∈D(S),如果∫0,使得对一切 f∈D(S),都有v∫)=a+bf) 本定理的证明过于复杂,这里省去。感兴趣的读者可参考费希博恩的著作《决策的效用 理论》(P.C. Fishburn, Utility Theory for Decision Making, New york: Wiley,1970)。 另外,费希博恩还在这部著作中给出预期效用的积分表示形式,从而使得预期效用问题得到 了圆满解决。下面我们介绍费希博恩关于预期效用的积分表示理论。 二)预期效用的积分形式 设概率空间(Ω,3P)中的自然状态集合Ω就是确定性条件下消费者的选择集合S,即 Ω=ScR′。这样做的经济意义是:在不确定性的环境中,消费者能够估计出每一种随机行 为下选择到S的一个子集合B中的向量的可能性大小,即能估计出概率P{(o)∈B},这就 象抽彩人能够知道每种彩票获得各种奖品的概率大小一样 同前面一样,对于x∈S,用x表示取值为常向量x的随机向量,用x表示x的分布函 数。于是可以认为,x==x,从而可以认为ScD(S)=X(S)。另外,我们要求S的每 个单点子集{x}(x∈S)都是3的元素。这就是说,消费者能够估计出每一种随机行为5下选择 到S中的一个向量x的可能性大小
第五章 不确定条件下的选择 93 合 D(S) 上的一个偏好关系。我们需要对 提出一些附加性公理。 阿基米德公理．对于任何的 f , g, hD(S) ，如果 f g h ，则存在 p,q(0,1) 使得 pf + (1− p)h g qf + (1− q)h。 独立性公 理．对 于任何 的 f , g, hD(S) 及任何实数 p[0,1] ，如果 f g ，则 pf + (1− p)h pg + (1− p)h 连续性公理．对于任何的 f , g, hD(S) ，集合 {p[0,1]: pf + (1− p)g h} 和集合 {p[0,1]: pf + (1− p)g h} 都是闭集。 这三条公理称为预期效用公理，其几何直观意义如图 5-2 所示。 阿基米德公理的经济含义是，如果随机行为 g 的好坏程度介于 f 和 h 之间，那么必然存 在 f 与 h 的两种复合行为 a = pf + (1− p)h 和 b = q f + (1− q)h ，使得 g 的好坏程度介于 a 和 b 之间。 独立性公理的经济含义是，如果随机行为 f 不优于 g ，那么对于任何第三种随机行为 h 来 说， f 与 h 的任何复合行为 a = pf + (1− p)h 必然也不优于 g 与 h 的相应的复合行为 b = pg + (1− p)h 。从独立性公理立即可知，当 f g ，即 f 与 g 无差异时，复合行为 a = pf + (1− p)h 与 b = pg + (1− p)h 也无差异。 连续性公理是拓扑意义下关于偏好连续性的一般性要求。实际上，连续性公理蕴含着阿 基米德公理。因此，阿基米德公理是关于偏好序连续性的最弱要求。 预期效用函数定理．设 是风险选择集合 D(S) 上的偏好关系。 具有预期效用表示当且 仅当 服从阿基米德公理和独立性公理。当 具有预期效用表示时， 的预期效用函数在仿射 变换下是唯一的，即若 u 和 v 都是 的预期效用函数，则必存在实数 a 和 b 0 ，使得对一切 f D(S) ，都有 v( f ) = a + bu( f ) 。 本定理的证明过于复杂，这里省去。感兴趣的读者可参考费希博恩的著作《决策的效用 理论》(P.C. Fishburn, Utility Theory for Decision Making, New York: Wiley,1970)。 另外，费希博恩还在这部著作中给出预期效用的积分表示形式，从而使得预期效用问题得到 了圆满解决。下面我们介绍费希博恩关于预期效用的积分表示理论。 （二）预期效用的积分形式 设概率空间 (,, P) 中的自然状态集合 就是确定性条件下消费者的选择集合 S ，即 = S R 。这样做的经济意义是：在不确定性的环境中，消费者能够估计出每一种随机行 为 下选择到 S 的一个子集合 B 中的向量的可能性大小，即能估计出概率 P{ ()B} ，这就 象抽彩人能够知道每种彩票获得各种奖品的概率大小一样。 同前面一样，对于 x S ，用 x 表示取值为常向量 x 的随机向量，用 x 表示 x 的分布函 数。于是可以认为， x x = x = ，从而可以认为 S D(S) = X(S) 。另外，我们要求 S 的每 个单点子集 {x}(xS) 都是 的元素。这就是说，消费者能够估计出每一种随机行为 下选择 到 S 中的一个向量 x 的可能性大小。 g h f b b g a a g f h f • h (a) 阿基米德公理 (b) 独立性公理 (c) 连续性公理 图 5-2 预期效用公理
第五章不确定条件下的选择 作了这样的看待后,如果≤是D(S)上的偏好关系,那么≤同时规定了消费者在S上的偏 好关系。也就是说,对于xy∈S,x≤y是指δ,=, 定义(可测的偏好).D(S)上的偏好关系≤叫做是可测的,是指对于任何的x∈S,集合 y∈S:y=x和{y∈S:y>x}都是3的元素 单调性公理.对任何∈X及x∈S,如果2(o)≤x几乎对所有a∈g都成立,则≤x; 如果2(o)≥x几乎对所有的O∈9都成立,则2≥x。 换个说法,单调性公理是说,对于任意的∫∈D(S)、A∈3及x∈S-A,设q为∫的密 度函数,当o(x,x2,…,x)x2…d=1时, (1)如果δ,≤6对一切y∈A成立,则f=o (2)如果6,≥6对一切y∈A成立,则f≥° 对此,我们作一点解释。条件x,x2…x)dxd2…=1是说,随机选择行为∫的 选择结果几乎总是出现在集合A中,即几乎总是选择A中的商品向量。(1)是说,如果A中每 个向量对消费者的效用都没有x的效用大,那么随机选择∫的效用也就没有x的效用大。(2) 是说,如果A中每个向量对消费者的效用都不比x的效用小,那么随机选择∫的效用也就不 比x的效用小 预期效用的积分表示,设(,3,P)为概率空间,Ω=S≤R,{x}∈3对一切x∈S成立, 是D(S)上的可测偏好关系,并且服从阿基米德公理、独立性公理和单调性公理。则存在一 个有界可测实值函数U:S→R使得对一切f,g∈D(S),都有 (g)U(x)df(x)sU(x)dg(x) 而且这个函数U在仿射变换下是唯一的。 预期效用函数概念是 von Neumann- Morgenstern效用函数概念的扩展,而预期效用的积 分表示中的效用函数U,才是原来意义下的 von Neumann-Morgenstern效用函数。鉴于此, 当一个有界可测实值函数U:S→R满足如下条件时 (-8o00 就称U是偏好关系=的 von Neumann- Morgenstern(简称WwM效用函数。积分表示定理说明, 般情况下偏好关系的WM效用函数都是存在的 特别地,当概率空间和偏好关系一满足积分表示定理的条件且Ω=S=R时,存在≤的WNM 效用函数U:R(→R,从而存在通常意义下的预期效用EU:对于任何f∈D(S) EU=EUU= x ) df(x, 一般情况下,如果我们只知道风险选择集合D(S)上的某个偏好关系=的预期效用函数 r:D(S)→R,而不知道=的vM效用函数是否存在,那么由于u具有预期效用性质,我们可 以直接认为孤()就是随机选择行动∫∈D(S)的效用的预期值EU(f 预期效用函数存在定理和预期效用的积分表示定理告诉我们,在带有不确定性的选择环 境中,当影响人们选择的自然状态概率空间存在时,也即当不确定事件发生的概率可以确定
第五章 不确定条件下的选择 94 作了这样的看待后，如果 是 D(S) 上的偏好关系，那么 同时规定了消费者在 S 上的偏 好关系。也就是说，对于 x, yS ， x y 是指 x y 。 定义(可测的偏好)． D(S) 上的偏好关系 叫做是可测的，是指对于任何的 x S ，集合 {yS : y x} 和 {yS : y x} 都是 的元素。 单调性公理．对任何 X 及 x S ，如果 () x 几乎对所有 都成立，则 x ； 如果 () x 几乎对所有的 都成立，则 x 。 换个说法，单调性公理是说，对于任意的 f D(S) 、 A 及 xS − A ，设 为 f 的密 度函数，当 ( 1 , 2 , , ) 1 2 =1 dx dx x x x dx A 时， (1) 如果 y x 对一切 y A 成立，则 f x ； (2) 如果 y x 对一切 y A 成立，则 f x 。 对此，我们作一点解释。条件 ( 1 , 2 , , ) 1 2 =1 dx dx x x x dx A 是说，随机选择行为 f 的 选择结果几乎总是出现在集合 A 中，即几乎总是选择 A 中的商品向量。(1)是说，如果 A 中每 个向量对消费者的效用都没有 x 的效用大，那么随机选择 f 的效用也就没有 x 的效用大。(2) 是说，如果 A 中每个向量对消费者的效用都不比 x 的效用小，那么随机选择 f 的效用也就不 比 x 的效用小。 预期效用的积分表示．设 (,, P) 为概率空间， = S R ，{x} 对一切 x S 成立， 是 D(S) 上的可测偏好关系，并且服从阿基米德公理、独立性公理和单调性公理。则存在一 个有界可测实值函数 U : S → R 使得对一切 f , g D(S) ，都有 ( f g) S S U(x)df (x) U(x)dg(x) 而且这个函数 U 在仿射变换下是唯一的。 预期效用函数概念是 von Neumann-Morgenstern 效用函数概念的扩展，而预期效用的积 分表示中的效用函数 U ，才是原来意义下的 von Neumann-Morgenstern 效用函数。鉴于此，， 当一个有界可测实值函数 U : S → R 满足如下条件时： (f , g D(S)) ( f g) S S U(x)df (x) U(x)dg(x) 就称 U 是偏好关系 的 von Neumann-Morgenstern(简称 VNM)效用函数。积分表示定理说明， 一般情况下偏好关系的 VNM 效用函数都是存在的。 特别地，当概率空间和偏好关系 满足积分表示定理的条件且 = S = R 时，存在 的 VNM 效用函数 U R → R : ，从而存在通常意义下的预期效用 EU ：对于任何 f D(S) ， − − = ( ) = ( , , , ) ( , , , ) 1 2 1 2 EU EU f U x x x df x x x 一般情况下，如果我们只知道风险选择集合 D(S) 上的某个偏好关系 的预期效用函数 u : D(S) → R ，而不知道 的 VNM 效用函数是否存在，那么由于 u 具有预期效用性质，我们可 以直接认为 u( f ) 就是随机选择行动 f D(S) 的效用的预期值 EU( f ) 。 预期效用函数存在定理和预期效用的积分表示定理告诉我们，在带有不确定性的选择环 境中，当影响人们选择的自然状态概率空间存在时，也即当不确定事件发生的概率可以确定
第五章不确定条件下的选择 时,人们对各种随机选择行动的好坏评价虽然是依照个人偏好进行的,但这实际上是预期效 用在起着作用,也就是说,人们对随机行为实际上是依照预期效用大小进行评价的 第三节主观概率 上一节解决了风险选择情况下偏好关系的预期效用表示问题,建立了预期效用公理体系, 证明了服从这套公理体系的经济行为背后必然有预期效用的支持。然而,我们对进入预期效 用函数的“概率”的确切性质还不太清楚。直接的解释可以说它们是客观存在的,即“客观 概率”,比如是在对频率观察的基础上计算出来的概率。但我们也不止一次地提到,决策者可 根据自己的经验、自己掌握的信息和知识对事件发生的概率作出判断或估计,这种判断当然 因人而异,与个人的主观感觉不无关系,因而是“主观概率”,即决策者主观上认为的某些事 件发生的可能性。如果所涉及的只是客观概率,那么经济决策涉及的就只是风险。如果涉及 到主观概率,那么经济活动的性质就带有真正意义下的不确定性,即不肯定性。事实上,在 实际经济决策活动中,决策者涉及的的一般都是主观概率与客观概率的混合。可见对于主观 概率的研究,在不确定性问题研究中相当重要 象用预期效用公理体系来推断预期效用函数存在一样,我们也可以问:关于选择行为的 何种公理体系能够用于推断主观概率的存在?即在什么样的公理体系下,一个人在不确定情 况下的选择行为可以视为他好象根据某种主观概率度量的预期效用来进行决策? 幸运的是,这种公理体系确实存在并且合理似然,它是由萨维奇1954年构建的,1972 年又对其进行了修订、补充和完善。迄今为止,萨维奇的结果一直处于领先地位,还未见到 在不确定性决策公理化研究方面出现其完美性超过萨维奇的其它结果。下面,我们对萨维奇 的主观概率公理体系作一概要介绍。想了解具体细节的读者,可参考萨维奇的《统计分析基 Gl)(LJ. Savage, Foundation of Statistics, New York: Dover Publications, 1972) 不肯定性行为的表述 不肯定性条件下决策者的选择结果依赖于某些自然状态,而事件发生的概率却未必是客 观存在的。用Ω表示所涉及的一切自然状态构成的集合,称为状态空间。用彐(g)表示Ω的 幂集,即Ω的所有子集之集族,也可简记为三,即三=三(2)。三中的元素称为事件 用S表示一切可能出现的选择结果的集合,称为确定性选择集合。假定S是实数集合R的 子集。 决策者的行为可用一个映射ξ:Ω→S表示,其意义是说决策者的选择依赖于出现哪种自 然状态:如果状态ω∈Ω出现,那么他就选择ξ(ω)。但究竟选择S中哪一个结果,则不得而 知,并且不知道选择到S中的一个结果的概率有多大。这样的选择行为才是真正意义上的不 确定性行为。用X表示一切可能的不肯定性行为的全体,即X是由所有从Ω到S的映射构成 的集合,称为决策者的选择集合或者称为决策者的行为空间。对于不确定性行为∈X,集 合g2]={(o)O∈9}称为2的结果集合 注意,结果集合S中的每种结果x都代表一种(实际上不带有不确定性的)“不确定性” 行为x:→S:对任何O∈9,2(m)=x。称这个行为x为确定性行为,并把x与x等 同看待。作了这个说明之后,我们今后将不在区分5x与x,并且直接用x表示占x。也就是说 我们认为ScX 在不确定条件下,决策者要根据自己的判断来在选择空间X中选择一种行动,这意味
第五章 不确定条件下的选择 95 时，人们对各种随机选择行动的好坏评价虽然是依照个人偏好进行的，但这实际上是预期效 用在起着作用，也就是说，人们对随机行为实际上是依照预期效用大小进行评价的。 第三节 主观概率 上一节解决了风险选择情况下偏好关系的预期效用表示问题，建立了预期效用公理体系， 证明了服从这套公理体系的经济行为背后必然有预期效用的支持。然而，我们对进入预期效 用函数的“概率”的确切性质还不太清楚。直接的解释可以说它们是客观存在的，即“客观 概率”，比如是在对频率观察的基础上计算出来的概率。但我们也不止一次地提到，决策者可 根据自己的经验、自己掌握的信息和知识对事件发生的概率作出判断或估计，这种判断当然 因人而异，与个人的主观感觉不无关系，因而是“主观概率”，即决策者主观上认为的某些事 件发生的可能性。如果所涉及的只是客观概率，那么经济决策涉及的就只是风险。如果涉及 到主观概率，那么经济活动的性质就带有真正意义下的不确定性，即不肯定性。事实上，在 实际经济决策活动中，决策者涉及的的一般都是主观概率与客观概率的混合。可见对于主观 概率的研究，在不确定性问题研究中相当重要。 象用预期效用公理体系来推断预期效用函数存在一样，我们也可以问：关于选择行为的 何种公理体系能够用于推断主观概率的存在？即在什么样的公理体系下，一个人在不确定情 况下的选择行为可以视为他好象根据某种主观概率度量的预期效用来进行决策？ 幸运的是，这种公理体系确实存在并且合理似然，它是由萨维奇 1954 年构建的，1972 年又对其进行了修订、补充和完善。迄今为止，萨维奇的结果一直处于领先地位，还未见到 在不确定性决策公理化研究方面出现其完美性超过萨维奇的其它结果。下面，我们对萨维奇 的主观概率公理体系作一概要介绍。想了解具体细节的读者，可参考萨维奇的《统计分析基 础》(L.J. Savage, Foundation of Statistics, New York: Dover Publications, 1972)。 一、不肯定性行为的表述 不肯定性条件下决策者的选择结果依赖于某些自然状态，而事件发生的概率却未必是客 观存在的。用 表示所涉及的一切自然状态构成的集合，称为状态空间。用 () 表示 的 幂集，即 的所有子集之集族，也可简记为 ，即 = () 。 中的元素称为事件。 用 S 表示一切可能出现的选择结果的集合，称为确定性选择集合。假定 S 是实数集合 R 的 子集。 决策者的行为可用一个映射 : → S 表示，其意义是说决策者的选择依赖于出现哪种自 然状态：如果状态 出现，那么他就选择 () 。但究竟选择 S 中哪一个结果，则不得而 知，并且不知道选择到 S 中的一个结果的概率有多大。这样的选择行为才是真正意义上的不 确定性行为。用 X 表示一切可能的不肯定性行为的全体，即 X 是由所有从 到 S 的映射构成 的集合，称为决策者的选择集合或者称为决策者的行为空间。对于不确定性行为 X ，集 合 [] ={ (): } 称为 的结果集合。 注意，结果集合 S 中的每种结果 x 都代表一种(实际上不带有不确定性的)“不确定性” 行为 x : → S ：对任何 ， x x () = 。称这个行为 x 为确定性行为，并把 x 与 x 等 同看待。作了这个说明之后，我们今后将不在区分 x 与 x ，并且直接用 x 表示 x 。也就是说， 我们认为 S X 。 在不确定条件下，决策者要根据自己的判断来在选择空间 X 中选择一种行动，这意味