第四章需求理论 那么H(x)(z,r)≠0。对(z,r)=(0,…0,)应用这一结论,便可知(x)≠0 对于每个t∈R,令A()="(x)+t((x)yu(x)。则对于任何的∈⊥(x),都有 zA()z=zl(x)z+t(ul(x)u(x)z=z(x)z7 l的拟凹性保证了对于任何的z∈⊥(x),都有A(1)=1=u'(x)z7≤0。 令b0=mm(yn(x)y(v∈R)(x)y=1),并取定一个<。我们断定:A(是 非奇异的、半负定的,从而是负定的。 A()的非奇异性的证明:设y∈R任意给出且y≠0。如果(x)y2=0,则从H(x)的非 奇异性可知H(x)(,0)≠0,即u(x)y2≠0,从而A()y≠0。以下设(x)y2≠0,并令 =((x)y)y,则(x)7=1 假若A)=7=0,则0=A(1)==z(x)z+1((x)u(x)z7=z(x)z7+t,从而 t=-7(x)z210,这与t<10发生矛盾。可见,A(1)z=0不成立。这样,Al)y≠0。 之,对任何y∈R,y≠0,都成立A(1)y2≠0。这说明A()是非奇异的。 A(的半负定性的证明:设任意给定y∈R。如果(x)y=0,则根据u的拟凹性和命 题2可知,yA)y=y(x)y≤0。以下设(x)y2≠0。 令二=(/2(x)y)y,则1(x)x7=1.注意:4()=7-n(x)=7=1<0≤-(x)2,因 此A40)=7<0,即的 ) (u(x)y)yA()y<0,从而yA()y<0。 之,对任何的y∈R,都有yA(t)y≤0。这说明A)是半负定的 由于非奇异的半负定矩阵必是负定的,因此A()是负定矩阵,即对于任何y∈R,只要 y≠0,就有yA()y2<0。可见对于任何二∈⊥(x),z≠0,都有z(x)z=A()z7<0。 这说明u是强拟凹的。充分性得证 需求函数的可微分性 现在考察需求函数的可微分变化规律。设消费集合X满足假设HC:效用函数u强拟凹、 在X内部二阶可微,并且无最大值;均衡在消费集合内部实现,即D(p,r)ntX对一切 (P,r)∈△成立。在这些假设之下,对于任何(Pp,r)∈△°,边际方程 lh(x)=APb(h=12,…,0 Pkx 确定了消费者的唯一需求向量x=(x1,x1…,x)=5(P,r)=(51(p,r)22(Pp,r)2…,5(p,r)∈X 及拉格朗日乘数λ=A(p,r)。x=5(p,r)确定了消费者对商品h的需求函数(h=1,2,…,O)。 将这些需求函数代入边际方程,则边际方程就变成为恒等式,称为边际等式。 现在假定价格和收入都发生了微小变化,从而引起了需求发生变化。设商品h的价格变 化为,消费者收入的变化为d,消费者对商品h的需求的变化为dn(h=1,2,…,O)。这 些变化之间的关系,可通过在边际等式两边求微分加以确定 ∑(x)k=4h+pd(h=12…,0 ∑(px+x中)=d第四章 需求理论 60 那么 H(x)(z,r)  0 。对 (z,r) = (0,  ,0,1) 应用这一结论，便可知 u (x)  0 。 对于每个 t  R ，令 A(t) u (x) t(u (x)) u (x) T =  +   。则对于任何的 z⊥(x) ，都有 ( ) T T T T T z A(t)z = z u (x)z + t z u (x) u (x)z = z u (x)z u 的拟凹性保证了对于任何的 z⊥(x) ，都有 ( ) = ( )  0 T T z A t z z u x z 。 令 0 = min− ( ) :(  ) ( ( ) =1) T T t y u x y y R u x y  ，并取定一个 0 t  t 。我们断定： A(t) 是 非奇异的、半负定的，从而是负定的。 A(t) 的非奇异性的证明：设  y R 任意给出且 y  0 。如果 ( ) = 0 T u x y ，则从 H(x) 的非 奇异性可知 ( )( ,0)  0 T H x z ，即 ( )  0 T u x y ，从而 ( )  0 T A t y 。以下设 ( )  0 T u x y ，并令 z ( u x y ) y T = 1 ( ) ，则 ( ) =1 T u x z 。 假若 ( ) = 0 T A t z ，则 z A t z z u x z t z(u x ) u x z z u x z t T T T T T 0 = ( ) = ( ) + ( ) ( ) = ( ) + ，从而 0 t z u (x)z t T = −   ，这与 0 t  t 发生矛盾。可见， ( ) = 0 T A t z 不成立。这样， ( )  0 T A t y 。 总之，对任何  y R ， y  0 ，都成立 ( )  0 T A t y 。这说明 A(t) 是非奇异的。 A(t) 的半负定性的证明：设任意给定  y R 。如果 ( ) = 0 T u x y ，则根据 u 的拟凹性和命 题 2 可知， ( ) = ( )  0 T T y A t y y u x y 。以下设 ( )  0 T u x y 。 令 z ( u x y ) y T = 1 ( ) ，则 ( ) =1 T u x z 。注意 T T T z A(t)z z u (x)z t t z u (x)z 0 −  =   −  ,因 此 ( )  0 T z A t z ，即 (1 ( ( ) )) ( ) 0 2   T T u x y y A t y ，从而 ( )  0 T y A t y 。 总之，对任何的  y R ，都有 ( )  0 T y A t y 。这说明 A(t) 是半负定的。 由于非奇异的半负定矩阵必是负定的，因此 A(t) 是负定矩阵，即对于任何  y R ，只要 y  0 ，就有 ( )  0 T y A t y 。可见对于任何 z⊥(x) , z  0 ，都有 ( ) = ( )  0 T T z u x z z A t z 。 这说明 u 是强拟凹的。充分性得证。 二．需求函数的可微分性 现在考察需求函数的可微分变化规律。设消费集合 X 满足假设 HC；效用函数 u 强拟凹、 在 X 内部二阶可微，并且无最大值；均衡在消费集合内部实现，即 D( p,r)  int X 对一切  ( p,r) 成立。在这些假设之下，对于任何  ( p,r) ，边际方程      =  = = =    1 ( ) ( 1,2, , ) k k k h h p x r u x  p h 确定了消费者的唯一需求向量 x = (x1 , x1 ,  , x ) = ( p,r) = ( 1 ( p,r), 2 ( p,r), ,  ( p,r)) X 及拉格朗日乘数  = ( p,r) 。 x ( p,r) h = h 确定了消费者对商品 h 的需求函数 (h =1,2,  , ) 。 将这些需求函数代入边际方程，则边际方程就变成为恒等式，称为边际等式。 现在假定价格和收入都发生了微小变化，从而引起了需求发生变化。设商品 h 的价格变 化为 dph ，消费者收入的变化为 dr ，消费者对商品 h 的需求的变化为 dx (h =1,2,  , ) h 。这 些变化之间的关系，可通过在边际等式两边求微分加以确定： ( )        + =  = + =   = = p dx x d p d r u x dx d p p d h k k k k k h h k hk k     1 1 ( )   ( 1,2, , )