第四章需求理论 件可知,∫"(O)≤0(这是因为,假如f"(O)>0,那么f(0)便为f的极小值,出现矛盾)。计 算∫"(0)可知 f0)=∑o(x-xmnk-x)=2∑0(x)-=2n(x)≤0 结果,zn(x)z7≤0。命题得证。 效用函数的拟凹性或严格拟凹性,都不足以保证需求函数的可微性。为了用微分法分析 消费者需求的变动情况,需要把上述命题中得到的不等式换为严格不等式,即提出效用函数 的强拟凹性概念 定义.设效用函数u:X→R严格拟凹,在X内部二阶可微。u叫做在点x∈itX处强拟 凹,是指(x)≠0且对任何∈⊥(x),x≠0,都有z(x)z7<0。如果u在X内部的每个点处 都是强拟凹的,则称是强拟凹的效用函数 效用函数的强拟凹性实际上只与消费者的偏好有关,而与二阶可微效用函数的具体选择 无关。事实上,对于等价的效用函数u与ν来说,从第三章第3节的讨论可知,存在严格递 增可微函数q:l们→v满足: (1)对任何x∈X,v(x)=g((x); (2)对任何x∈ntx,v(x)=g(u(x)(x)。由此可知 (3)对任何x∈ntx,v'(x)=g"u(x)((x)u(x)+g1(u(x)u(x)。 注意,g(u(x)>0且对于任何z∈⊥(x),zy(x)z=g{u(x)zn'(x)z7。这说明,u强 拟凹当且仅当v强拟凹。即强拟凹性与效用函数的具体选择无关,属于偏好关系本身的性质。 命题3.设消费集合XcR是凸集,效用函数u:X→R严格拟凹且在X内部二阶可微, x∈ntX。则a在x处强拟凹的充分必要条件是:u在x处的加边海森矩阵H(x)非奇异。这 里,所谓效用函数u的加边海森矩阵H(x),是指: u1(x)…utc(x)a1(x) H(x)=H2(x) ((x) (x)0 aa(x)…ul(x)a2(x) l1(x) l2(x)0 证明:线性代数理论告诉我们,一个n阶方阵A非奇异的充要条件是:对任何非零的n维 列向量z,都有Ax≠0。下面的证明将应用这一事实。设x∈intY为命题中给定的点。 必要性.我们只需证明:对于任何C+1维向量(x,r)∈RxR,如果H(x)(z,r)=0, 么(x,r)=0。为此,设(,r)∈RxR满足H(x)(,r)2=0的任意一个(+1维向量。注意 "(x)+r(n(x) 因此,u(x)z7+r((x)y=0,(x)z7=0,从而z∈⊥(x) 进一步,0=z(x)z+r=((x)y=z(x)z。既然u强拟凹且z∈⊥(x),可见只有 z=0。将这一结果代入n'(x)z+r(n(x)=0,可得r((x)=0。由于(x)≠0,因此 r=0。这就证明了(=,r)=0。H(x)的非奇异性得证 充分性.H(x)的非奇异性说明,对于任何C+1维向量(x,r)∈RxR,如果(z,r)≠0第四章 需求理论 59 件可知， f (0)  0 (这是因为，假如 f (0)  0 ，那么 f (0) 便为 f 的极小值，出现矛盾)。计 算 f (0) 可知， (0) ( )( )( ) ( ) ( ) 0 2 , 1 2 , 1  =   − − =   =   = = T h k hk h k h k hk h h k k f u x w x w x  u x z z  z u x z   结果， ( )  0 T z u x z 。命题得证。 效用函数的拟凹性或严格拟凹性，都不足以保证需求函数的可微性。为了用微分法分析 消费者需求的变动情况，需要把上述命题中得到的不等式换为严格不等式，即提出效用函数 的强拟凹性概念。 定义. 设效用函数 u : X → R 严格拟凹，在 X 内部二阶可微。u 叫做在点 xint X 处强拟 凹，是指 u (x)  0 且对任何 z⊥(x) ,z  0 ，都有 ( )  0 T z u x z 。如果 u 在 X 内部的每个点处 都是强拟凹的，则称 u 是强拟凹的效用函数。 效用函数的强拟凹性实际上只与消费者的偏好有关，而与二阶可微效用函数的具体选择 无关。事实上，对于等价的效用函数 u 与 v 来说，从第三章第 3 节的讨论可知，存在严格递 增可微函数  :u[X]→v[X] 满足： (1) 对任何 x X , v (x) =(u(x)) ； (2) 对任何 xint X , v (x) =(u(x))u (x) 。由此可知， (3) 对任何 xint X , v (x) (u(x))(u (x)) u (x) (u(x)) u (x) T  =   +  。 注意， (u(x))  0 且对于任何 z⊥(x) ， ( ) T T z v (x)z = u(x) z u (x)z 。这说明， u 强 拟凹当且仅当 v 强拟凹。即强拟凹性与效用函数的具体选择无关，属于偏好关系本身的性质。 命题 3. 设消费集合  X  R 是凸集，效用函数 u : X → R 严格拟凹且在 X 内部二阶可微， xint X 。则 u 在 x 处强拟凹的充分必要条件是： u 在 x 处的加边海森矩阵 H(x) 非奇异。这 里，所谓效用函数 u 的加边海森矩阵 H(x) ，是指： ( )                       =            = = ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x H x H x T u             证明：线性代数理论告诉我们，一个 n 阶方阵 A 非奇异的充要条件是：对任何非零的 n 维 列向量 z ，都有 Az  0 。下面的证明将应用这一事实。设 x  int X 为命题中给定的点。 必要性．我们只需证明：对于任何  +1 维向量 z r R  R  ( , ) ，如果 ( )( , ) = 0 T H x z r ，那 么 (z,r) = 0 。为此，设 z r R  R  ( , ) 满足 ( )( , ) = 0 T H x z r 的任意一个  +1 维向量。注意， ( )           +  = T T T T u x z u x z r u x H x z r ( ) ( ) ( ) ( )( , ) 因此， ( ) + ( ( )) = 0 T T u x z r u x ， ( ) = 0 T u x z ，从而 z⊥(x) 。 进一步， ( ) T T T 0 = z u (x)z + r z u (x) = z u (x)z 。既然 u 强拟凹且 z⊥(x) ，可见只有 z = 0 。将这一结果代入 ( ) + ( ( )) = 0 T T u x z r u x ，可得 ( ( )) = 0 T r u x 。由于 u (x)  0 ，因此 r = 0 。这就证明了 (z,r) = 0。 H(x) 的非奇异性得证。 充分性． H(x) 的非奇异性说明，对于任何  +1 维向量 z r R  R  ( , ) ，如果 (z,r)  0