第四章需求理论 u在x处的海森( Hessian)矩阵。在假设ⅢU之下,海森矩阵是对称矩阵。今后,为了方便起 见,把u在x处的梯度记为l(x)=Vn(x)=V(x)=(u(x),2(x),…,l(x)。 效用函数的强拟凹性 效用函数的拟凹性蕴含着海森矩阵具有某种良好性质,或者说,任何一点处的无差异曲 面必然在该点处的切平面的上方。因此,从切平面上看,切点是效用函数在切平面上的最大 值点,即切点是切平面上效用最大的点。这就是下面命题所述的事实。 命题1.设消费集合X是商品空间R的凸子集,x∈ntY,效用函数a是拟凹的,在x 处可微,且u'(x)≠0。对任何z∈X, (1)如果()≥l(x),那么u'(x)2≥(x)x;也即,如果n(x)z<l'(x)x,那么()<l(x); (2)如果u()>l(x),那么u'(x)>a(x)x;也即,如果a(x)z≤u(x)x,那么u()≤l(x); (3)进一步,当效用函数u严格拟凹并且z≠x时 如果(=)≥u(x),那么u'(x)>n'(x)x;也即,如果u(x)≤u(x)x,那么u(z)<u(x) 证明:任意给定z∈X。 (1)设()≥u(x)。的拟四性保证了u(tx+(1-1)x)2(x)对一切t∈(O,1)成立,从而 0≤lml(x+1(-x)-l(x) =∑(x(=-x)=n(x)--x) 即a(x)z≥u(x)x,这就证明了(1) (2)设l(=)>l(x)。既然x∈ntX,存在x的邻域U使得UcX,从而也存在t∈(O,1)使 得=t=+(1-t)x=x+1(-x)∈U。效用函数u的拟凹性保证了u()>l(x),而u的连续性 又保证了存在w的邻域V(即以w为中心的一个开球)使得VsU且对于任何y∈,都有 l(y)>u(x)。显然,我们可以在V中选取一个符合下列条件的点y=(y1,y2…yt):对每个 h(h=1,2,…,O),当h(x)≥0时,yb<wn;当l(x)<0时,yb>h。对于这样选定的点y, 从u(x)≠0可知(x)y<'(x)n。既然(y)>(x),从(1)的结论可知u(x)y≥(x)x,从而 (x)w>l(x)x。注意u(x)w=(x)x+1(x)(-x),因此tu'(x)(z-x)>0。而t>0,于是 r(x)>u'(x)x。(2)得证 (3)设u严格拟凹,x≠x且()≥l(x)。令y=(2)(x+)。效用函数u的严格拟凹性 保证了(y)>l(=),于是从(2)的结论可知u(x)y>u(x)x。将y=(1/2)(x+2)代入此式即可 得到u(x)>u(x)x,(3)得证 命题2.设消费集合X是R的凸子集,效用函数u:X→R拟凹,在点x∈mtx处二阶 可微,并且1(x)≠0。则对于任何z∈⊥(x),都有z'(x)x≤0。这里,“”表示矩阵的转 置运算,集合⊥(x)={y∈R:u(x)y=0}是无差异曲面在点x处的切平面。 证明:设x∈ntX是命题中给定的点,这意味着存在正实数E满足B(x,E)sX,其中 B(x)={y∈R(:y-<e是以x为中心、E为半径的开球。 现在,设∈⊥(x)是切平面上的任一点。如果z=0,那么z(x)z=0是明显的。以下 设二≠0。于是,必然存在一个正实数λ,使得x+A∈B(x,E)sX且x-Ax∈B(x,E)gX 记w=x+Az,并对每个实数t,令y(1)=x+1(w-x)。显然,对于任何t∈[-,],都有 ()=x+12=成立,从而有u(x)y(t)=l'(x)x+tn'(x)2=l(x)x成立(因为a(x)=0) 这说明,命题1(2)的条件得到满足,因此u(y(t)≤l(x)=l(y(0)对一切t∈[-1成立 定义函数∫:[-1,1→R如下:f(1)=l((t)(t∈[-1,1)。则从上面的讨论知,f(O)=l(x) 是f(1)在[-1,1上的最大值点,而且f(1)在(-1,1)上二阶可微。根据函数最大值二阶必要条第四章 需求理论 58 u 在 x 处的海森(Hessian)矩阵。在假设 HU 之下，海森矩阵是对称矩阵。今后，为了方便起 见， 把 u 在 x 处的梯度记为 ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( ), , ( )) 1 2 u x x x u x u x u x u    =  =  =    。 一．效用函数的强拟凹性 效用函数的拟凹性蕴含着海森矩阵具有某种良好性质，或者说，任何一点处的无差异曲 面必然在该点处的切平面的上方。因此，从切平面上看，切点是效用函数在切平面上的最大 值点，即切点是切平面上效用最大的点。这就是下面命题所述的事实。 命题 1. 设消费集合 X 是商品空间  R 的凸子集， x  int X ，效用函数 u 是拟凹的，在 x 处可微，且 u (x)  0 。对于任何 z X ， (1) 如果 u(z)  u(x) ，那么 u (x)z  u (x)x ；也即，如果 u (x)z  u (x)x ，那么 u(z)  u(x) ； (2) 如果 u(z)  u(x), 那么 u (x)z  u (x)x ；也即，如果 u (x)z  u (x)x ，那么 u(z)  u(x) ； (3) 进一步，当效用函数 u 严格拟凹并且 z  x 时， 如果 u(z)  u(x) ，那么 u (x)z  u (x)x ；也即，如果 u (x)z  u (x)x ，那么 u(z)  u(x) 。 证明：任意给定 z X 。 (1) 设 u(z)  u(x)。u 的拟凹性保证了 u(tz + (1− t)x)  u(x) 对一切 t (0,1) 成立，从而 ( )( ) ( )( ) ( ( )) ( ) 0 lim 1 0 u x z x u x z x t u x t z x u x h h h h t =  − =  − + − −   → = +  即 u (x)z  u (x)x ，这就证明了(1)。 (2) 设 u(z)  u(x) 。既然 xint X ，存在 x 的邻域 U 使得 U  X , 从而也存在 t (0,1) 使 得 w = tz + (1− t)x = x + t(z − x)U 。效用函数 u 的拟凹性保证了 u(w)  u(x) ，而 u 的连续性 又保证了存在 w 的邻域 V （即以 w 为中心的一个开球）使得 V U 且对于任何 yV ，都有 u(y)  u(x) 。显然，我们可以在 V 中选取一个符合下列条件的点 ( , , , ) 1 2   y = y y y ：对每个 h (h =1,2,  , ) ，当 uh  (x)  0 时， h wh y  ；当 uh  (x)  0 时， h wh y  。对于这样选定的点 y ， 从 u (x)  0 可知 u (x) y  u (x)w 。既然 u(y)  u(x) ，从(1)的结论可知 u (x) y  u (x)x ，从而 u (x)w  u (x)x 。注意 u (x)w = u (x)x + tu (x)(z − x) ，因此 tu (x)(z − x)  0 。而 t  0 ，于是 u (x)z  u (x)x 。(2)得证。 (3) 设 u 严格拟凹， z  x 且 u(z)  u(x) 。令 y = (1 2)(x + z) 。效用函数 u 的严格拟凹性 保证了 u(y)  u(z) ，于是从(2)的结论可知 u (x) y  u (x)x 。将 y = (1 2)(x + z) 代入此式即可 得到 u (x)z  u (x)x ，(3)得证。 命题 2. 设消费集合 X 是  R 的凸子集，效用函数 u : X → R 拟凹，在点 xint X 处二阶 可微，并且 u (x)  0。则对于任何 z⊥(x) ，都有 ( )  0 T z u x z 。这里，“ T ”表示矩阵的转 置运算，集合 ⊥(x) ={yR : u (x)y = 0}  是无差异曲面在点 x 处的切平面。 证明：设 xint X 是命题中给定的点，这意味着存在正实数  满足 B(x,)  X ，其中 B(x, ) ={y R : y − x  }  是以 x 为中心、  为半径的开球。 现在，设 z⊥(x) 是切平面上的任一点。如果 z = 0 ，那么 ( ) = 0 T z u x z 是明显的。以下 设 z  0 。于是，必然存在一个正实数  ，使得 x + zB(x,)  X 且 x − zB(x,)  X 。 记 w = x + z ，并对每个实数 t ，令 y(t) = x + t(w − x) 。显然，对于任何 t [−1,1] ，都有 y(t) = x + t z 成立，从而有 u (x) y(t) = u (x)x + t u (x)z = u (x) x 成立（因为 u (x)z = 0 ）。 这说明，命题 1(2)的条件得到满足，因此 u(y(t))  u(x) = u(y(0)) 对一切 t [−1,1] 成立。 定义函数 f :[−1,1]→ R 如下： f (t) = u(y(t)) (t [−1,1]) 。则从上面的讨论知， f (0) = u(x) 是 f (t) 在 [−1,1] 上的最大值点，而且 f (t) 在 (−1,1) 上二阶可微。根据函数最大值二阶必要条