第四章需求理论 二.需求的连续性 现在,我们考察需求的连续性问题。根据第三章第四节关于马歇尔需求的讨论可知,在 连续的偏好下,需求集映D:Δ→X是对应。实际上,需求集映还是闭集映,即下面命题所 命题4.设消费集合X是商品空间R的下有界非空闭凸子集,偏好关系-是连续的。则 需求对应D:A→X是闭集值的闭集映 证明:对于任何(P,r)∈Δ,D(P,r)是闭集这一事实是比较容易说明的,其依据是X的 闭性和D(p,r)中任何两个方案之间的误差异性。下面来证明D是闭集映,即证明(rap(D) 是△xX的闭子集。为此,设(Pn,rn,x)(n=12,…)是Grap(D)中的任一序列,并且收敛于 某点(P0,,x0)∈△xX。我们来证明(P,0,x0)∈Gap(D),即欲证明x∈D(po,r),也 即要证明xo∈B(P0,0)且y≤x0对一切y∈B(p0,r)成立 安注意,xB(m)=12…),(pn)→),x→x,并且预算对应B上半 续(命题2)。因此,x∈B(po,0)。 再注意,预算对应β还是下半连续的(命题3)。因此,对于任何的y∈B(po,r),都存 在X中的序列yn(n=1,2,…)满足yn∈B(pn,r)且yn→y(n→∞)。既然xn∈D(Pn,r), 因此υn≤xn(=12…)。偏好≤的连续性保证了可在此式两边取极限,于是y≤x。这就 说明x∈D(p0,),即 )∈Grap(D)。可见,drap(D)是△×X的闭子集 命题5(需求集映的连续性).设消费集合X是商品空间R的下有界非空闭凸子集,偏好 关系是连续的。则需求对应D:Δ→X上半连续 证明:由于命题4,我们可应用第一节中的推论来证明本命题。设(P0,)∈△任意给定。 我们在证明命题2的时候,曾经找到了(P0,)的一个邻域U使得βU]包含在X的某个有界 闭子集K当中。由于D(p,r)∈β(p,r),因此这个邻域U也必然使得D[U]包含在X的这个 有界闭子集K当中。既然D是闭集值的闭集映,根据第一节中的推论便知D在(P0,)处上 半连续。而(P0,)∈△是任意给定的,于是D是上半连续的集映。命题5得证。 从上一章的讨论可知,在连续的严格凸偏好假设下,理性消费者的需求映射ξ得到了良 好的定义( well defined),即对于任何(p,r)∈Δ,需求向量ξ(P,r)是唯一确定的。不仅如此, 从命题5可知需求映射(需求函数)还是连续的(即下面的命题6所述)。因此,只要价格与与 收入的变化很小,需求的变化也就很小。 命题6(需求映射的连续性).在假设邗和假设Ⅲ下,需求映射ξ:△→>X是连续映射 第三节需求的可微分性 本节研究需求函数的可微分变化规律,即需求的变化率问题。我们的讨论将在假设HC和 HP下进行,并且还要使用效用函数u:X→R。事实上,需求函数的可微分性同效用函数的 拟凹性关系密切,因此本节要进一步讨论效用函数的性质。这里,我们先假定效用函数u服 从假设Ⅲ并且严格拟凹。在这些假定下,消费者的需求向量由价格和收入唯一确定,这就唯 确定下来了消费者的需求映射5△→X 对于(pr)∈△,5(p,r)=(51(p,r),2(p,p)…,5(P,r)。其中的5(P,r)便是商品h的 需求函数(h=1,2,…C) 对于x∈mtX,效用函数u在x处的二阶偏导数矩阵l'(x)=((x)x=(m(x),称为第四章 需求理论 57 二．需求的连续性 现在，我们考察需求的连续性问题。根据第三章第四节关于马歇尔需求的讨论可知，在 连续的偏好下，需求集映 D :   X 是对应。实际上，需求集映还是闭集映，即下面命题所 述。 命题 4. 设消费集合 X 是商品空间  R 的下有界非空闭凸子集，偏好关系 是连续的。则 需求对应 D :   X 是闭集值的闭集映。 证明：对于任何 ( p,r) ，D( p,r) 是闭集这一事实是比较容易说明的，其依据是 X 的 闭性和 D( p,r) 中任何两个方案之间的误差异性。下面来证明 D 是闭集映，即证明 Grap(D) 是  X 的闭子集。为此，设 ( p ,r , x ) (n =1,2, ) n n n 是 Grap(D) 中的任一序列，并且收敛于 某点 ( p0 ,r0 , x0 )  X 。我们来证明 ( , , ) Grap( ) p0 r0 x0  D ，即欲证明 ( , ) 0 0 0 x D p r ，也 即要证明 ( , ) 0 0 0 x   p r 且 y 0 x 对一切 ( , ) 0 0 y   p r 成立。 注意， x  ( p ,r ) (n =1,2, ) n  n n ，( , ) ( , ) 0 0 p r p r n n → ， 0 x x n → ，并且预算对应  上半 连续(命题 2)。因此， ( , ) 0 0 0 x   p r 。 再注意，预算对应  还是下半连续的(命题 3)。因此，对于任何的 ( , ) 0 0 y   p r ，都存 在 X 中的序列 y (n =1,2, ) n 满足 ( , ) n n n y   p r 且 y → y (n → ) n 。既然 ( , ) n n n x  D p r ， 因此 n y x (n =1,2, ) n 。偏好 的连续性保证了可在此式两边取极限，于是 y 0 x 。这就 说明 ( , ) 0 0 0 x D p r ，即 ( , , ) Grap( ) p0 r0 x0  D 。可见， Grap(D) 是  X 的闭子集。 命题 5(需求集映的连续性). 设消费集合 X 是商品空间  R 的下有界非空闭凸子集，偏好 关系 是连续的。则需求对应 D :   X 上半连续。 证明：由于命题 4，我们可应用第一节中的推论来证明本命题。设 ( p0 ,r0 ) 任意给定。 我们在证明命题 2 的时候，曾经找到了 ( , ) 0 0 p r 的一个邻域 U 使得  [U] 包含在 X 的某个有界 闭子集 K 当中。由于 D( p,r)  ( p,r) ，因此这个邻域 U 也必然使得 D[U] 包含在 X 的这个 有界闭子集 K 当中。既然 D 是闭集值的闭集映，根据第一节中的推论便知 D 在 ( , ) 0 0 p r 处上 半连续。而 ( p0 ,r0 ) 是任意给定的，于是 D 是上半连续的集映。命题 5 得证。 从上一章的讨论可知，在连续的严格凸偏好假设下，理性消费者的需求映射  得到了良 好的定义(well defined)，即对于任何 ( p,r) ，需求向量 ( p,r) 是唯一确定的。不仅如此， 从命题 5 可知需求映射(需求函数)还是连续的(即下面的命题 6 所述)。因此，只要价格与与 收入的变化很小，需求的变化也就很小。 命题 6(需求映射的连续性). 在假设 HC 和假设 HP 下，需求映射  : → X 是连续映射。 第三节 需求的可微分性 本节研究需求函数的可微分变化规律，即需求的变化率问题。我们的讨论将在假设 HC 和 HP 下进行，并且还要使用效用函数 u : X → R 。事实上，需求函数的可微分性同效用函数的 拟凹性关系密切，因此本节要进一步讨论效用函数的性质。这里，我们先假定效用函数 u 服 从假设 HU 并且严格拟凹。在这些假定下，消费者的需求向量由价格和收入唯一确定，这就唯 一确定下来了消费者的需求映射  :  → X 。 对于 ( p,r) ， ( , ) ( ( , ), ( , ), , ( , )) 1 2 p r p r p r p r  =      。其中的 ( p,r)  h 便是商品 h 的 需求函数 (h =1,2,  ,  ) 。 对于 xint X ，效用函数 u 在 x 处的二阶偏导数矩阵 u (x) (u (x)) (u (x)) hk hk  =  =   ，称为