第四章需求理论 (x1-Hh)P0(x-) ≤p(x-p) (:(p<p)(x≥) (:x∈B(p,r) ≤(1+1)-3P0(:(r<1+)A(P<P) 2(1+70)-3p0 2 (h=1,2,…C) 由此可知x2-n≤ 2(1+10)-3p04 即x1≤Ah+ (1+10)-3p0 =vh(h=1,2,…O) Pon 从而x∈K。这就证明了B(p,r)K。既然(p,r)∈U任意给出,因此βU]K。B的上半 连续性得证。 命题3.设消费集合X是R的凸子集,则预算集映尸△→X下半连续 证明:任意给定(P0,)∈△,我们来证明B在(p0,r)处下半连续。注意,Δ和X都是 第一可数空间,且β:Δ→X是对应,因此可应用定理3来证明B在(P0,r)处的下半连续性。 为此,设x0∈B(P0,0)且{pn,n)是△中任一收敛于(Po,)的序列。根据定理3,我 们只需找到X中收敛于x0的序列{n}使得xn∈B(pnrn)(n=1,2…)。显然,Px≤。我 们按照p0x<和p0xo=两种情形,分别来找这个序列{xn}。 情形1:p0x0<0 此时,从pnx→P0x0及r→可知,存在自然数N使得pnx0<Fn对一切n>N成立 于是,对任何自然数n,当n≤N时,任意取定一点xn∈B(Pn,rn);当n>N时,令xn=x0 显然,xn∈B(Pn,rn)(n=12,…且xn→x0(n→∞)。 情形2:p0xo=10 此时,从r>(P0)知,存在〓∈X满足p02<=P0x0。注意, lim(P,xo-P=)=Poxo-Po=>0 lim(nn-Pn)=ro- po=>0 因此,存在自然数N使得pnx0>P和rn>Pn对一切n>N成立。 现在,对任何的自然数n,当n≤N时,任意取定一点x∈B(Pn);当n>N时,令 xn=x0+1n(z-x0),其中n=max90,(pnx0-rn)(pnx0-Pn=2}。容易看出 (1)0≤n<1对一切n>N成立 (2)tn→0(m→∞) (3)当Ln=0时,xn=x0且pnxn=Pnx0≤rn 4)当tn>0时,pnxn=r 可见,xn∈B(Pn,)(n=12,)且xn→x0(n→∞) 总之,不论是情形1还是情形2,我们都在x中找到了某个收敛于x0的序列{xn}使得 xn∈B(pn,r)(n=1,2,…)。于是,β在(P0,)处的下半连续性得证。既然(P0,)∈△是任 意给定的,因此B是上半连续的集映。 命题2和命题3告诉我们 预算集映的连续性,在假设C下,预算集映β:Δ→X是连续对应。 这就是说,消费集合的非空下有界闭凸性既保证了消费预算不会随价格与收入变化而突 然彭胀,又保证了消费预算不会随价格与收入的变化而突然收缩第四章 需求理论 56 ( ) ( ) ( ) ( 1,2, , ) 2 2(1 ) 3 (1 ) ( 1 ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 0 0 2 0 3 2 0 0 3 0 2 0 1 0 0      = + − =  + −  +    −   −    −  − h r p r p r r p p r p x p r p x p p x p x p x h h h         由此可知 h h h p r p x 0 0 3 0 2(1 )   + − −  ，即 ( 1,2, , ) 2(1 ) 3 0 0 0 = =   + −  + h p r p x h h h h    ， 从而 x K 。这就证明了 ( p,r)  K 。既然 ( p,r)U 任意给出，因此  [U] K 。 的上半 连续性得证。 命题 3. 设消费集合 X 是  R 的凸子集，则预算集映  :  X 下半连续。 证明：任意给定 ( p0 ,r0 ) ，我们来证明  在 ( , ) 0 0 p r 处下半连续。注意，  和 X 都是 第一可数空间，且  :  X 是对应，因此可应用定理 3 来证明  在 ( , ) 0 0 p r 处的下半连续性。 为此，设 ( , ) 0 0 0 x   p r 且 ( pn ,rn ) 是  中任一收敛于 ( , ) 0 0 p r 的序列。根据定理 3，我 们只需找到 X 中收敛于 0 x 的序列 xn  使得 x  ( p ,r ) (n =1,2, ) n  n n 。显然， 0 0 0 p x  r 。我 们按照 0 0 0 p x  r 和 0 0 0 p x = r 两种情形，分别来找这个序列 xn 。 情形 1: 0 0 0 p x  r 此时，从 0 0 0 p x p x n → 及 0 r r n → 可知，存在自然数 N 使得 n n p x  r 0 对一切 n  N 成立。 于是，对任何自然数 n , 当 n  N 时，任意取定一点 ( , ) n n n x  p r ；当 n  N 时，令 0 x x n = 。 显然， x  ( p ,r ) (n =1,2, ) n  n n 且 ( ) xn → x0 n →  。 情形 2： 0 0 0 p x = r 此时，从 ( ) 0 p0 r  I 知，存在 z X 满足 0 0 0 0 p z  r = p x 。注意， ( ) 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 lim lim − = −  − = −  → → r p z r p z p x p z p x p z n n n n n n 因此，存在自然数 N 使得 p x p z n 0  n 和 r p z n  n 对一切 n  N 成立。 现在，对任何的自然数 n , 当 n  N 时，任意取定一点 ( , ) n n n x  p r ；当 n  N 时，令 ( ) 0 0 x x t z x n = + n − ，其中 t n = max0,(pn x0 − rn ) (pn x0 − pn z) 。容易看出： (1) 0  t n 1 对一切 n  N 成立； (2) t → 0 (n → ) n ； (3) 当 t n = 0 时， 0 x x n = 且 n n n n p x = p x  r 0 ； (4) 当 t n  0 时， n n n p x = r 。 可见， x  ( p ,r ) (n =1,2, ) n  n n 且 ( ) xn → x0 n →  。 总之，不论是情形 1 还是情形 2，我们都在 X 中找到了某个收敛于 0 x 的序列 xn  使得 x  ( p ,r ) (n =1,2, ) n  n n 。于是，  在 ( , ) 0 0 p r 处的下半连续性得证。既然 ( p0 ,r0 ) 是任 意给定的，因此  是上半连续的集映。 命题 2 和命题 3 告诉我们： 预算集映的连续性. 在假设 HC 下，预算集映  :  X 是连续对应。 这就是说，消费集合的非空下有界闭凸性既保证了消费预算不会随价格与收入变化而突 然彭胀，又保证了消费预算不会随价格与收入的变化而突然收缩