第四章需求理论 第二节需求的连续性 根据消费最优化确定的需求,是由价格因素与收入因素共同决定的。当这两个因素发生 变化时,需求自然会发生变化。需求变动的第一个规律,就是当价格和收入变化不大时,需 求也不会发生很大的变化,即需求是随价格和收入连续变动的 预算的连续性 预算的连续性是需求连续性的基础。没有预算的连续性,就很难保证当价格和收入的变 化很小时,需求的变化也很小。因此,为了考察需求的变动规律,需要先来考察消费预算的 变化规律 命题1.设消费集合X是商品空间R的非空闭子集,则预算集映B:△→X是闭对应。 证明:预算集映β是对应,这是明显的事实。以下来证明β是闭集映,即证明β的图像 Grap(B)是△xX的闭子集。为此,设(pn,rn,xn)(n=1,2,…)为(rap(B)中的任一序列,且 (Pn,rn,xn)→>(P,r,x)∈△×X(mn→∞)。 为了证明rap(B)是闭集,只需证明(p,r,x)∈Grap(B)(即x∈β(p,r),也即px≤r)。事 实上,从(pn,rn,xn)∈(rap(B)立即可知pnxn≤rn(n=1,2,…)。在此式两边取极限即可得 到:px= lm p,x≤mn=r。故(p,r,x)∈(rap(B)。 命题2.设消费集合X是R的下有界非空闭子集,则预算集映β:Δ→X上半连续。 证明:注意,预算对应β:Δ→X是闭集值的闭集映。因此,可应用上一节中的推论来 证明本命题。为此,设(P00)∈△为任一给定的点。为了说明B在点(P0,)处的上半连续 性,只需要找出(Po,0)的一个邻域U,使得β门]包含在X的某个有界闭子集当中。 X的下有界性告诉我们,存在向量=(1,2,…H1)∈R满足≤0且x≥对一切 U=(Pr)∈△:(p<p<p)(-1<r<+ 则U是(p0,n0)的邻域。令K={x∈X:H≤x≤v,其中v=(v1,v2…,v1)定义如下: 2(+16)-3P0 易见,K是X的有界闭子集(从而是紧子集)。 我们指出:B[UK。事实上,对任何(p,r)∈U及x∈B(p,r),注意H≤0,我们有:第四章 需求理论 55 第二节 需求的连续性 根据消费最优化确定的需求，是由价格因素与收入因素共同决定的。当这两个因素发生 变化时，需求自然会发生变化。需求变动的第一个规律，就是当价格和收入变化不大时，需 求也不会发生很大的变化，即需求是随价格和收入连续变动的。 一.预算的连续性 预算的连续性是需求连续性的基础。没有预算的连续性，就很难保证当价格和收入的变 化很小时，需求的变化也很小。因此，为了考察需求的变动规律，需要先来考察消费预算的 变化规律。 命题 1. 设消费集合 X 是商品空间  R 的非空闭子集，则预算集映  :  X 是闭对应。 证明：预算集映  是对应，这是明显的事实。以下来证明  是闭集映，即证明  的图像 Grap() 是  X 的闭子集。为此，设 ( p ,r , x ) (n =1,2, ) n n n 为 Grap() 中的任一序列，且 ( p ,r , x ) → ( p,r, x)  X (n → ) n n n 。 为了证明 Grap() 是闭集，只需证明 ( p,r, x)Grap() (即 x( p,r) ,也即 px r )。事 实上，从 ( , , )Grap() n n n p r x 立即可知 p x  r (n =1,2, ) n n n 。在此式两边取极限即可得 到： px p x r r n n n n n =  = → → lim lim 。故 ( p,r, x)Grap() 。 命题 2. 设消费集合 X 是  R 的下有界非空闭子集，则预算集映  :  X 上半连续。 证明：注意，预算对应  :  X 是闭集值的闭集映。因此，可应用上一节中的推论来 证明本命题。为此，设 ( p0 ,r0 ) 为任一给定的点。为了说明  在点 ( , ) 0 0 p r 处的上半连续 性，只需要找出 ( , ) 0 0 p r 的一个邻域 U ，使得  [U] 包含在 X 的某个有界闭子集当中。 X 的下有界性告诉我们，存在向量   = (1 , 2 ,  , )R 满足   0 且 x   对一切 x X 成立。令 ( , ) :( 0 ) ( 0 1 0 1) 2 3 2 0 1 U = p r  p  p  p  r −  r  r + 则 U 是 ( , ) 0 0 p r 的邻域。令 K = x X :   x  ，其中 ( , , , )  =  1  2    定义如下： ( 1,2, , ) 2(1 ) 3 0 0 0 =   + − = + h p r p h h h    易见， K 是 X 的有界闭子集(从而是紧子集)。 我们指出：  [U] K 。事实上，对任何 ( p,r)U 及 x( p,r) ，注意   0 ，我们有：