第四章需求理论 定义.设E与F都是拓扑空间,集映I:E→F叫做 (1)闭(紧、凸)集值的集映,如果对任何x∈E,r(x)都是F的闭(紧、凸)子集 (2)在点x∈E处上半连续,如果对于F中任何包含r(x)的开集V,都存在x的邻域U使得 TUSE (3)上半连续的集映,如果对任何x∈E,T都在x处上半连续 (4)在点x∈E处下半连续,如果对F中任何与r(x)相交的开集V,都存在x的邻域U使得 (vz∈UXUr()≠④) (5)下半连续的集映,如果对任何x∈E,都在x处下半连续; (6)在点x∈E处连续,如果r在点x∈E处既上半连续,又下半连续 (7)连续的集映,如果对任何x∈E,I都在x处连续 (8)闭集映,如果r的图像Grap(D是积空间E×F的闭子集 (9)开集映,如果r的图像Gap(n是积空间E×F的开子集 集映的上半连续性和下半连续性都是函数连续性概念的推广,上半连续性说的是r(x)不 会突然彭胀,下半连续性说的是r(x)不会突然收缩。关于的集映连续性,下面三个定理是基 本的和重要的。 定理1.设E和F都是拓扑空间,且F为 Hausdorff空间。又设r:E→F是闭集值的 集映,且∏E包含在F的某紧子集当中。则I上半连续的充分必要条件是T为闭集映 定理2.设E是第一可数空间,F是 Hausdorff空间,r:E→F是集映,x∈E为某个 给定的点,在该点处的值r(x)是闭集,且存在x的邻域U使得I]包含在F的某紧子集 当中。则在x处上半连续的充分必要条件是:对任何y∈F及任何序列xn∈E(n=1,2,…)和 F ),当xn→x且 y 定理3.设E和F是第一可数空间,T:E→F是对应,x∈E为给定的点。则在x处 下半连续的充分必要条件是:对于任何y∈r(x)及E中任何收敛于x的序列xn(n=1,2,… 存在F中收敛于y的序列yn(n=12…)满足yn∈I(xn)(n=12…)。 推论.设E和F都是拓扑空间,且F为 Hausdorff空间,I:E→F为闭集值的闭集映 x∈E为某个给定的点如果存在x的邻域U使得IU包含在F的某紧子集当中则r在x处 这个推论直接从定理1得到,它比定理1可能更为有用。定理2和定理3分别是集值映 射的上、下半连续性的极限形式,因而也是很有用的,为研究集值映射提供了极大的便利。第四章 需求理论 54 定义．设 E 与 F 都是拓扑空间，集映 :E  F 叫做： (1) 闭(紧、凸)集值的集映，如果对任何 x E ,(x) 都是 F 的闭(紧、凸)子集； (2) 在点 x E 处上半连续，如果对于 F 中任何包含 (x) 的开集 V ，都存在 x 的邻域 U 使得 [U]V ； (3) 上半连续的集映，如果对任何 x E ,  都在 x 处上半连续； (4) 在点 x E 处下半连续，如果对 F 中任何与 (x) 相交的开集 V ，都存在 x 的邻域 U 使得 (z U )((z) V  ) ； (5) 下半连续的集映，如果对任何 x E ,  都在 x 处下半连续； (6) 在点 x E 处连续，如果  在点 x E 处既上半连续，又下半连续； (7) 连续的集映，如果对任何 x E ,  都在 x 处连续； (8) 闭集映，如果  的图像 Grap() 是积空间 E  F 的闭子集； (9) 开集映，如果  的图像 Grap() 是积空间 E  F 的开子集。 集映的上半连续性和下半连续性都是函数连续性概念的推广，上半连续性说的是 (x) 不 会突然彭胀，下半连续性说的是 (x) 不会突然收缩。关于的集映连续性，下面三个定理是基 本的和重要的。 定理 1. 设 E 和 F 都是拓扑空间，且 F 为 Hausdorff 空间。又设 :E  F 是闭集值的 集映，且 [E] 包含在 F 的某紧子集当中。则  上半连续的充分必要条件是  为闭集映。 定理 2. 设 E 是第一可数空间， F 是 Hausdorff 空间， :E  F 是集映， x E 为某个 给定的点，  在该点处的值 (x) 是闭集，且存在 x 的邻域 U 使得 [U] 包含在 F 的某紧子集 当中。则  在 x 处上半连续的充分必要条件是：对任何 y F 及任何序列 x E (n =1,2, ) n 和 y  F (n =1,2, ) n ，当 x x n → 且 y y n → 时， y(x) 。 定理 3. 设 E 和 F 是第一可数空间， :E  F 是对应， x E 为给定的点。则  在 x 处 下半连续的充分必要条件是：对于任何 y(x) 及 E 中任何收敛于 x 的序列 x (n =1,2, ) n ， 存在 F 中收敛于 y 的序列 y (n =1,2, ) n 满足 y (x )(n =1,2, ) n n 。 推论. 设 E 和 F 都是拓扑空间，且 F 为 Hausdorff 空间， :E  F 为闭集值的闭集映， x E 为某个给定的点。如果存在 x 的邻域 U 使得 [U] 包含在 F 的某紧子集当中，则  在 x 处 上半连续。 这个推论直接从定理 1 得到，它比定理 1 可能更为有用。定理 2 和定理 3 分别是集值映 射的上、下半连续性的极限形式，因而也是很有用的，为研究集值映射提供了极大的便利