1.二重积分的定义∬fx,ydc=lim∑f5,n)Aa, 2.二重积分的几何意义 (1)若fx,)≥0，则∬fxdc表示以区域D为底、曲面：=fx)为曲顶的曲顶 柱体的体积. (2)若f优，)<0，则∬/x,y)do表示上述曲顶柱体体积的负值 (3)若x,)在区域D的部分区域上是正的，其它部分区域上是负的，则∬fx,yo 表示这些部分区域上的曲顶柱体体积的代数和 3.二重积分的物理意义 若面密度为p=fx,y)的平面薄片所占区域为D,则川f(x.y)da表示此薄片的质量。 4.二重积分的基本性质 (1)laxn士pg,圳da=ado±pj明gx,da,其中a,B为常数. (2)若D=DUD且DnD,=②，则j∬fx,ydo=∬fx,ydo+∬fx,do.(积 分区域的可加性) (3)若D的面积为a,则∬=o· 4)若在D上x川≤g则∬f化，do≤8xio.特别地， Ij∬fx,ydo小fx,y川do (5)若在闭区域D上m≤fx,y)≤M,o是D的面积，则om≤川/x,ydo≤oM. (6)(积分中值定理)若fx,)在闭区域D上连续，。为D的面积，则在D上存在 一点(5，使得∬fx,ydG=f5,a 5.二重积分的计算（化二重积分为二次积分进行计算） (1)在直角坐标系下计算时，厂f化，yo=川fx,y),且有 a.若D为X一型区域，即(x)≤y≤%(x),a≤x≤b,则 ∬f(x.yyda=fx,y. b.若D为Y一型区域，若，)≤x≤，O),c≤y≤d,则 [f(x.yda=广fxh1．二重积分的定义 0 1 ( , ) lim ( , ) n i i i D i f x y d f      → =  =   ． 2．二重积分的几何意义 （1）若 f x y ( , ) 0,  则 ( , ) D f x y d  表示以区域 D 为底、曲面 z f x y = ( , ) 为曲顶的曲顶 柱体的体积． （2）若 f x y ( , ) 0  ，则 ( , ) D f x y d  表示上述曲顶柱体体积的负值． （3）若 f x y ( , ) 在区域 D 的部分区域上是正的，其它部分区域上是负的，则 ( , ) D f x y d  表示这些部分区域上的曲顶柱体体积的代数和． 3．二重积分的物理意义 若面密度为  = f x y ( , ) 的平面薄片所占区域为 D ，则 ( , ) D f x y d  表示此薄片的质量． 4．二重积分的基本性质 （1）  ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,  D D D        f x y g x y d f x y d g x y d  =     其中  , 为常数． （2）若 D D D = 1 2 且 D D 1 2 =  ，则 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) D D D f x y d f x y d f x y d    = +    ．（积 分区域的可加性） （3）若 D 的面积为  ，则 D dxdy =  ． （4）若在 D 上 f x y g x y ( , ) ( , ),  则 ( , ) ( , ) D D f x y d g x y d      ．特别地， | ( , ) | | ( , ) | D D f x y d f x y d      ． （5）若在闭区域 D 上 m f x y M   ( , ) , 是 D 的面积，则 ( , ) D    m f x y d M    ． （6）（积分中值定理）若 f x y ( , ) 在闭区域 D 上连续，  为 D 的面积，则在 D 上存在 一点 ( , ),   使得 ( , ) ( , ) D f x y d f     =  ． 5．二重积分的计算（化二重积分为二次积分进行计算） （1）在直角坐标系下计算时， ( , ) ( , ) D D f x y d f x y dxdy  =   ，且有 a．若 D 为 X －型区域，即 1 2   ( ) ( ) x y x   ， a x b   ，则 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) b x a x D f x y d dx f x y dy    =    ． b．若 D 为 Y －型区域，若 1 2   ( ) ( ) y x y   ，c y d   ，则 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) d y c y D f x y d dy f x y dx    =    ．