《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 尽管其背景各不相同，但最终都归化为讨论形如(1)的极限问题。为了统一解决这些问题，引进 “导数”的概念，即称之为“f在点x,处的导数”，记作了(x) 1、导数的定义 定义1（导数）设函数y=f(x)在x,的某邻域内有定义，若极限 -0 存在，则称函数∫在点x处可导，并称该极限为了在点x。处的导数，记作了(x).即 ,)=m-f x-Xo 若上述极限不存在，则称f在点。处不可导. 2、用导数定义求导数的几个例子 例1求f(x)=x在点x=1处的导数，并求曲线在点(1)处的切线方程 例2证明函数fx)x在x=0处不可导， 例3fx)=C(C是常数)，则P(x)=0 3、可导与连续的连续 定理5.1若函数f在点x。可导，则f在点x。连续。 证明如果f()在x点可导，当△x→0时 )=).)+0) △r 所以如果(x)在x点可导，它在该点必连续」 反过来，我们举一个反例， f)=,当x=0时连续，但 如0如名0 当△x→0时，极限不存在，故不可导. 注∫若在点x不连续，则∫在x。必不可导. 上述反例中定义导数的双侧极限不存在，但单侧极限是存在的，我们称之为单侧导数.一般 地我们可以定义 4、导数的概念 定义2（右导数）设函数y=fx)在点x,的某右邻域(x,x+6)上有定义，若右极限 3 《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 3 尽管其背景各不相同,但最终都归化为讨论形如（1）的极限问题.为了统一解决这些问题,引进 “导数”的概念,即称之为“ f 在点 0 x 处的导数”,记作 '( ) 0 f x . 1、导数的定义 定义 1（导数） 设函数 y = f (x) 在 0 x 的某邻域内有定义,若极限 0 0 ( ) ( lim 0 x x f x f x x x − − → ） 存在,则称函数 f 在点 0 x 处可导,并称该极限为 f 在点 0 x 处的导数,记作 '( ) 0 f x .即 0 0 0 ( ) ( '( ) lim 0 x x f x f x f x x x − − = → ）. 若上述极限不存在,则称 f 在点 0 x 处不可导. 2、 用导数定义求导数的几个例子 例 1 求 2 f (x) = x 在点 x =1 处的导数,并求曲线在点 (1,1) 处的切线方程. 例 2 证明函数 f (x) =| x | 在 x = 0 处不可导. 例 3 f (x) = C （C 是常数）,则 f '(x) = 0 . 3、可导与连续的连续 定理 5.1 若函数 f 在点 0 x 可导,则 f 在点 0 x 连续. 证明 如果 f (x) 在 x 点可导,当 x →0 时 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x x f x x f x f x x f x x → +   =  +  − +  = +   , 所以如果 f (x) 在 x 点可导,它在该点必连续. 反过来,我们举一个反例, f (x) = x ,当 x = 0 时连续,但    −     =  =  +  − 1 0 1 0 sgn (0 ) (0) x x x x f x f , 当 x →0 时,极限不存在,故不可导. 注 f 若在点 0 x 不连续,则 f 在 0 x 必不可导. 上述反例中定义导数的双侧极限不存在,但单侧极限是存在的,我们称之为单侧导数.一般 地我们可以定义 4、 导数的概念 定义 2 （右导数） 设函数 y = f (x) 在点 0 x 的某右邻域 ( , ) x0 x0 + 上有定义,若右极限