《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 教学过程： 一、导数的定义 (一)引言（背景） 导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践具体来讲，导数的思想最初是有法国 数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的.后经牛顿、莱布尼兹(Leibuiz)等数学家的 努力，提炼出了导数的思想，给出了导数的精确定义。 在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题. f()-f(%o)-ga 几何背景x=X+△x,△r=x-x0, x-Xo 表示割线PP的斜率，当 X→时(r→0)，割线PP趋向于一个极限位置，为曲线在P的切线，其斜率ga,=) 即为fx)在xo点导数， ga=Rga=典@-） x-Xo 物理背景y=),1表时间，'表质点运动位移，1表时间增量：1→1+M；A少表位移 增量：f0→f0+Ay=fU+a,Ay=fU+M)-f0,这样 △y 1表示1→t+M时间内平均速度， 典是=0表示0在1时刻的即时速度 )=∫0也是时间的函数，我们还可对它求导，'0=)称为加速度，如此下去还有加加速 度，比如自由落体： 5=820=s0=m8+A-gr (g1+8)=g1.a=v=m8+A-80-g 上述两问题中，第一个是几何学的问题，后一个是物理学问题，分属不同的学科，但问题都归 结到求形如 典 的极限问题.事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 2 教学过程： 一、 导数的定义 (一) 引言（背景） 导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践.具体来讲,导数的思想最初是有法国 数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的.后经牛顿、莱布尼兹（Leibuiz）等数学家的 努力,提炼出了导数的思想,给出了导数的精确定义. 在引入导数的定义前,先看两个与导数概念有关的实际问题. 几何背景 x = x + x 0 , 0 x = x − x , tg x x f x f x = − − 0 0 ( ) ( ) 表示割线 p0 p 的斜率,当 0 x → x 时 (x → 0) , 割线 p0 p 趋向于一个极限位置,为曲线在 0 p 的切线,其斜率 ( ) 0 0 tg = f  x 即为 f (x) 在 0 x 点导数, ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 0 f x x x f x f x t g t g x x x x =  − − = = → →   . 物理背景 y = f (t) ,t 表时间, y 表质点运动位移, t 表时间增量： t →t + t ; y 表位移 增量： f (t) → f (t) + y = f (t + t), y = f (t + t) − f (t) ,这样 t y   表示 t →t + t 时间内平均速度, lim ( ) 0 f t t y t =     → 表示 f (t) 在 t 时刻的即时速度. v(t) = f (t) 也是时间的函数,我们还可对它求导, v(t) = a(t) 称为加速度,如此下去还有加加速 度,。 比如自由落体: 2 2 1 s = g t , t g t t g t v t s t t  +  − =  =  → 2 2 2 1 2 1 0 ( ) ( ) ( ) lim , g t g t g t t +  =  → lim ( ) 2 1 0 . g t g t t g t a v t =  +  − =  =  → ( ) ( ) lim 0 . 上述两问题中,第一个是几何学的问题,后一个是物理学问题,分属不同的学科,但问题都归 结到求形如 0 0 ( ) ( lim 0 x x f x f x x x − − → ） 的极限问题.事实上,在学习物理学时会发现,在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中