18.设V为4维欧氏空间,E1,E2,3,E4为V的一组标准正交基,令 a1=E2+E3+E4,a2=E1+E3+E4:03=E1+E2+E4:a4=E1+E2+E (1)将a1,a2,a3a4化为单位正交的向量组1,B2,B3,月4 (2)求由基1,E2,E3,E4到基1,B2,B3,B4的过渡矩阵 (3)令W1=L(a1,a2),U1=W;W2=L(a2,a4) W2.试用基向量=1,E2,E3,E4表示子空 间U1+U2,并确定其维数.(2013年华南理工大学) 19.已知a1,a2,a3是三维欧氏空间v的一组基,且这组基的度量矩阵为 120 求V的一组标准正交基(用a1,a2,a3表示出来).(2017年华南理工大学) 20.在Pn空间中,已知线性变换在任一基c下的坐标均为(1,1,…,1)y,其中e1为单位矩阵 的第i列的列向量 (1)求T得特征值 (2)求Rn的一组标准正交基,使得T在这一组基下的矩阵为对角阵(2010年华中科技大学 1.设a,B,7是欧氏空间Rn的向量,并且 a+B+y=0. (1)如果(a,B)>0,证明(a,)>0,(8,)>0,并且|h|>max{a,} (2)如果(a,B)<0,证明(a,B)>max{(a,B),(B,)},并且||>max{lal,|} (3)试说明(1)与(2)的几何含义.(2013年华中科技大学) 22.实质为 求正交阵使其对角化(2015年华中科技大学) 23.设实对称矩阵 2-22 -2-1a 的特征值之和等于0,特征值之积等于54.求a,b的值,并求正交矩阵T使得TAT为对角矩阵18. V è4ëÓºòm, ε1, ε2, ε3, ε4 èV ò|IOƒ, - α1 = ε2 + ε3 + ε4, α2 = ε1 + ε3 + ε4, α3 = ε1 + ε2 + ε4, α4 = ε1 + ε2 + ε3, (1)Úα1, α2, α3, α4z踆ï˛|β1, β2, β3, β4; (2)¶dƒε1, ε2, ε3, ε4 ƒβ1, β2, β3, β4Lfi› ; (3)-W1 = L(α1, α2), U1 = W⊥ 1 ; W2 = L(α2, α4), U2 = W⊥ 2 . £^ƒï˛ε1, ε2, ε3, ε4 L´fò mU1 + U2, ø(½ŸëÍ. (2013cuHnÛåÆ) 19. Æα1, α2, α3¥nëÓºòmV ò|ƒ, Ö˘|ƒ›˛› è A =   1 −1 1 −1 2 0 1 0 4  , ¶V ò|IOƒ(^α1, α2, α3L´—5). (2017cuHnÛåÆ) 20. 3 Rn òm•, ÆÇ5CÜ A 3?òƒ ei eãI˛è (1, 1, · · · , 1)0 , Ÿ• ei 踆› 1 i ï˛. (1) ¶ T Aä. (2) ¶ Rn ò|IOƒ, ¶ T 3˘ò|ƒe› èÈ .(2010cu•âEåÆ) 21.  α, β, γ ¥Óºòm R n ï˛, øÖ α + β + γ = 0. (1) XJ (α, β) > 0 , y² (α, γ) > 0,(β, γ) > 0 , øÖ |γ| > max{|α|, |β|} . (2) XJ (α, β) < 0 , y² (α, β) > max{(α, β),(β, γ)} , øÖ |γ| > max{|α|, |β|} . (3) £`²(1) Ü(2) A¤¹¬.(2013cu•âEåÆ) 22. ¢üè     1 1 1 1 1 1 1 1 1     , ¶ ¶ŸÈz.(2015cu•âEåÆ) 23. ¢È°› A =   2 −2 2 −2 −1 a 2 a b   AäÉ⁄u0, AäÉ»u-54. ¶ a, b ä, ø¶› T ¶ T 0AT èÈ› . 5 厦门大学《高等代数》