《数学分析》下所 第二十一章二重积分 海南大学数学系 定理21.14设/代，川满足定理21.13的条件，且在极坐标变换(8)下， xy平面上有界区域D与r0平面上区域△对应，则成立 ∬f6klkw∬fros8,rsin0dr0 正明若D为圆城《在小2+广≤R},则A为9平面上的矩形区域 0,x02].设D为在圆环，p<e2sr+少sR中除去中心角为e的扇 形BBAA所得的区域，则在变换(8)下，D:对应于平面上的矩形区域 4,=s,x[D,2r-.但极坐标变换(8)在D:与△，之间是一对一变换，且4，在 上函数行列式(，0)>0.于是由定理21.13有 ∬/lddy ff(reoso,rsno)daB 因为x,以在有界闭区域D上有界，在上式中令￡→0即得 (dy f(rcos0.rsin ordrdo 若D是一般的有界区域，则取足够大的R>0,使D包含在圆域 D.ysR 内，并且在DR上定义函数 ∫fxy以(xy)eD f(x,y)=1o.(x.y)eD (i)若原点OED,y平面上射线日=常数与D的边界至多交于两点.△表 示为《O)sr≤⑧a≤0≤B,于是有 le) 若原点O任D,xy平面上的圆r=常数与D的边界至多交于两点， △表示为A)s0≤8，斯≤r≤5，于是有 ∬r(x.yybrdy frdr了frcos0,.rsin 0)o《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 5 定理 21.14 设 f (x, y) 满足定理 21．13 的条件，且在极坐标变换（8）下， xy 平面上有界区域 D 与 r 平面上区域  对应，则成立 ( )  D f x, y dxdy = ( )   f r cos,rsin  rdrd . 证明 若 D 为圆域 ( )  2 2 2 x, y x + y  R ，则  为 r 平面上的矩形区域 0,R0,2 ．设 D 为在圆环 ( )  2 2 2 2 x, y 0    x + y  R 中除去中心角为  的扇 形 BBAA 所得的区域，则在变换（8）下， D 对应于平面上的矩形区域  = ,R0,2 − ．但极坐标变换（8）在 D 与  之间是一对一变换，且  在 上函数行列式 J(r, )  0 ．于是由定理 21．13 有 ( )  D f x, y dxdy = ( )   f r cos ,rsin  rdrd ， 因为 f (x, y) 在有界闭区域 D 上有界，在上式中令  →0 即得 ( )  D f x, y dxdy = ( )   f r cos,rsin  rdrd . 若 D 是一般的有界区域，则取足够大的 R  0 ，使 D 包含在圆域 DR = ( )  2 2 2 x, y x + y  R 内，并且在 DR 上定义函数 f (x, y)= ( ) ( )  ( )     x y D f x y x y D 0, , , , , ， （ⅰ）若原点 OD, xy 平面上射线  =常数与 D 的边界至多交于两点. 表 示为 r1 ( )  r  r2 ( ),    ，于是有 ( )  D f x, y dxdy = ( ) ( ) ( )          2 1 cos , sin r r d f r r rdr . 若原点 OD, xy 平面上的圆 r =常数与 D 的边界至多交于两点．  表示为 ( ) ( ) 1 2 1 2  r   r ,r  r  r ，于是有 ( )  D f x, y dxdy = ( ) ( ) ( )   2 1 2 1 cos , sin r r r r rdr f r r d      ．