教案第五章万有引力场 i=v,e,+voe 2=+ 行星的角动量是守恒的：甲L=心出恒量 (1) 能量为：E=m-Gm=-恒量，代入产表达式得 =出+m(9-6-恒量 (2) 由(1)式和(2)式可得： LIr2 V2nE+cmm）2=d 积分后可得：=41+ecos0) (3) 脚4，e (3)式是典型的圆锥曲线方程，因为E<0,故偏心率<1：因此进一步得知方椭圆 方程，这样，由万有引力定律也就验证了开普勒第一定律。 2.面积定律的论证： 我们知道，开普勒的等面积定律隐含着角动量守恒定律，下面我们从角动量守恒定 律来给出等面积定律。 如图，在d血时间内，径矢F扫过的面积为杰=d0 则会出0m恒量 1 即在相等时间内，径矢扫过的面积相等。 81教案 第五章 万有引力场 81 r r o o v v e v e    = + 2 2 2 r o v = v +v 而 dt dr vr = ； dt d v r   = ； 2 2 2 2        +      = dt d r dt dr v  行星的角动量是守恒的：即 = = dt d L mr 2  恒量 （1） 能量为： r mm E mv G  = − 2 2 1 =恒量，代入 v 2 表达式得 =   −       +      = r mm G dt d mr dt dr E m 2 2 2 2 1 2 1  恒量 （2） 由（1）式和（2）式可得： dr d r L r m E Gmm L r =  −      +  2 2 2 1 2 / 积分后可得： (1 cos ) 1 A e  r = + （3） 其中 2 2 L Gm m A  = ； 1/ 2 2 2 3 2 2 1          = + G m m EL e （3）式是典型的圆锥曲线方程，因为 E<0，故偏心率 e<1；因此进一步得知方椭圆 方程，这样，由万有引力定律也就验证了开普勒第一定律。 2．面积定律的论证： 我们知道，开普勒的等面积定律隐含着角动量守恒定律，下面我们从角动量守恒定 律来给出等面积定律。 如图，在 dt 时间内，径矢 r  扫过的面积为 ds r d 2 2 1 = 则 = = =  = = m L mr m r dt d r dt ds 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2    恒量 即在相等时间内，径矢扫过的面积相等。 O r d