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.356. 北京科技大学学报 第30卷 C8-C& w=Wok Co一Co∞ 的数学模型 (6) (1)液相溶质浓度的变化： =Dt 2 (7) -v. 34 mDe arr=r (9) 式中，a与B为2+3w以-3ω=0的两个根：g:为t 式中，D。为溶质在液相中的扩散系数，初始条件 时刻的吸附量，q∞为平衡时的吸附量；W0为单位 为： 体积溶液所加入的介孔复合材料的质量，gL；0 t=0,C=C0 (10) 为介孔材料吸附剂颗粒的粒径，本实验所用的粉状 (2)固相颗粒内扩散方程： 介孔净水材料的平均粒径为0.0036cm, 设u=u'(a-B),定义Fmc(a)=1+ g=,29,0≤≤p at r2arr an (11) erf(a「r)及Fume(Br)=1十ef(B「r),则式(2)可 初始条件： 以改写为： t=0,q=0,r<rp (12) F=u-cexp(at)Func(a/)+ 边界条件： Bexp()Func(B/)=0 (13) (8) r=rp,q=kC",t≥0 2.2计算模型的求解 ,=0.2=0.20 (14) 根据实验结果，染料分子在介孔材料上的吸附 3.2 理论模型的求解 等温线为g=2.10C.82,则k与n的值分别为210 对于该模型方程，常见的求解方法有隐式差分 和0.82.通过染料分子吸附速率的测定可知不同时 法、最小二乘法和抛物线拟合法等门.这些方法或 刻t的液相浓度、初浓度及平衡浓度，由式(6)可算 是计算量大，或有时不易获得收敛解，针对本模型 出ω的值，进而可以算出a和B的值.由F(t)的 方程的特点，可用正交配置法进行数值求解8]，此 值，可应用式(4)算出u的值：再利用u与u关系算 数值求解方法非常适合于非线性问题，为了能够有 出u的值，可见式(8)成为只有变量r的超越方程， 效地利用正交配置法，首先将上述诸方程进行量纲 应用计算机解此方程，即可得到不同吸附时刻t的 为1化.现定义下列量纲为1的参数， τ值，具体数值见表2. 由表2及式(7)，将t与t作线性回归，则回归 a=,=g,y=4 直线的斜率即为D/i,这时可以算出D的值， D,=1.89×10-7cm2s-1,r-=0.973.在有效扩 X舌n,=-3a如 VeCo (15) 散系数计算中，τ与t作线性回归的相关系数在 引入这些参数后，式(9)一(14)可变为如下形 0.97以上，表明此实验条件下有效扩散系数不随时 式 间与液相浓度等因素的变化而变化.因此，这种方 (1)液相溶质浓度的变化： 法可简捷、较准确地测定一定初始浓度下功能化介 =n4 ay (16) 孔复合体在该体系中的有效扩散系数， 初始条件： 3理论模型的建立和求解 β=0，X=1 (17) 3.1理论模型的建立 (2)固相颗粒内扩散方程： 对于本实验浓度范围内的传质过程，可作如下 12y= adaa da =a3 (18) 假设： 初始条件： (1)假设介孔材料颗粒为各向同性的刚性球 B=0,Y=0,0≤a≤1 9 体，在传质过程中粒径保持不变； 边界条件： (2)在传质过程中，外部搅拌作用良好，忽略液 膜传质阻力，在颗粒表面处存在快速平衡； =0.器=0.20 (20) (③)颗粒内有效扩散主要由颗粒表面扩散提 a=1,Y=X",>0 (21) 供，且颗粒内扩散是关键的控制步骤. 已知方程的解关于α=0对称，可考虑方程具 根据上述假设，对染料分子的传质过程有如下 有如下形式的尝试解0)：ω＝ W0k C n 0—C n ∞ C0—C∞ （6） τ＝ Di t r 2 （7） 式中α与β为χ2＋3ωχ—3ω＝0的两个根；qt 为 t 时刻的吸附量q∞ 为平衡时的吸附量；W0 为单位 体积溶液所加入的介孔复合材料的质量g·L —1 ；r0 为介孔材料吸附剂颗粒的粒径本实验所用的粉状 介孔净水材料的平均粒径为0∙0036cm． 设 u ＝ u′（α—β）定 义 Func （ατ）＝1＋ erf（ατ）及 Fune（βτ）＝1＋erf （βτ）则式（2）可 以改写为： F＝ u—αexp（α2τ）Func（ατ）＋ βexp（β2τ）Func（βτ）＝0 （8） 2∙2 计算模型的求解 根据实验结果染料分子在介孔材料上的吸附 等温线为 q＝2∙10C 0∙82则 k 与 n 的值分别为2∙10 和0∙82．通过染料分子吸附速率的测定可知不同时 刻 t 的液相浓度、初浓度及平衡浓度由式（6）可算 出 ω的值进而可以算出 α和β的值．由 F（ t）的 值可应用式（4）算出 u′的值；再利用 u′与 u 关系算 出 u 的值．可见式（8）成为只有变量 r 的超越方程 应用计算机解此方程即可得到不同吸附时刻 t 的 τ值具体数值见表2． 由表2及式（7）将 τ与 t 作线性回归则回归 直线的斜率即为 D／i ri这时可以算出 Di 的值 Di＝1∙89×10—7 cm 2·s —1rτ—t＝0∙973．在有效扩 散系数计算中τ与 t 作线性回归的相关系数在 0∙97以上表明此实验条件下有效扩散系数不随时 间与液相浓度等因素的变化而变化．因此这种方 法可简捷、较准确地测定一定初始浓度下功能化介 孔复合体在该体系中的有效扩散系数． 3 理论模型的建立和求解 3∙1 理论模型的建立 对于本实验浓度范围内的传质过程可作如下 假设： （1） 假设介孔材料颗粒为各向同性的刚性球 体在传质过程中粒径保持不变； （2） 在传质过程中外部搅拌作用良好忽略液 膜传质阻力在颗粒表面处存在快速平衡； （3） 颗粒内有效扩散主要由颗粒表面扩散提 供且颗粒内扩散是关键的控制步骤． 根据上述假设对染料分子的传质过程有如下 的数学模型． （1） 液相溶质浓度的变化： — V c d C d t ＝ 3 rp mDc ∂q ∂r r＝ r p （9） 式中Dc 为溶质在液相中的扩散系数．初始条件 为： t＝0C＝C0 （10） （2） 固相颗粒内扩散方程： ∂q ∂t ＝ Dc r 2 ∂ ∂r r 2∂q ∂r 0≤ r≤ rp （11） 初始条件： t＝0q＝0r＜ rp （12） 边界条件： r＝ rpq＝kf C nt≥0 （13） r＝0 ∂q ∂r ＝0t≥0 （14） 3∙2 理论模型的求解 对于该模型方程常见的求解方法有隐式差分 法、最小二乘法和抛物线拟合法等［7］．这些方法或 是计算量大或有时不易获得收敛解．针对本模型 方程的特点可用正交配置法进行数值求解［8—9］此 数值求解方法非常适合于非线性问题．为了能够有 效地利用正交配置法首先将上述诸方程进行量纲 为1化．现定义下列量纲为1的参数． α＝ r rp β＝ tDc r 2 p Y ＝ q q0 X＝ C C0 Dg＝—3 m V c q0 C0 （15） 引入这些参数后式（9）～（14）可变为如下形 式． （1） 液相溶质浓度的变化： d X dβ ＝ Dg ∂Y ∂α α＝1 （16） 初始条件： β＝0X＝1 （17） （2） 固相颗粒内扩散方程： 1 α2 ∂ ∂α α2∂Y ∂α ＝ ∂Y ∂β （18） 初始条件： β＝0Y ＝00≤α≤1 （19） 边界条件： α＝0 ∂Y ∂α ＝0β≥0 （20） α＝1Y ＝X nβ≥0 （21） 已知方程的解关于 α＝0对称可考虑方程具 有如下形式的尝试解［8—10］： ·356· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷