例1求球体x2+y2+z2≤4a2被圆柱体x2+y2≤2ar的公共部分的体积. 分析：(1)画出几何草图 (3)写出曲顶柱体的表达式（利用对称性） 由对称性可知：所求立体的体积是 V=4到∬4a2-x2-y, (4)选择坐标系（极坐标），确定积分区间 该立体在第一卦限部分体积的4倍 x=pcoso 个2 (2)找出曲顶柱体的曲顶表达式及区边 将y=psinp 带入区边 由x2+y2+z2≤4a2可知z2≤4a2-x2-y2 表达式中可得 D:0≤p≤2 acosp, 由x2+y2≤2am可知y2≤2ar-x2 D 0≤p号 x2a 因此立体在第一卦限部分的曲顶为 (5)确定积分顺序并计算 =4a2-x2-y2 V=4∬V4a2-p2 pdpdo 因此立体在第一卦限部分的区边为 dod-ppdp D:y=\2ax-x2,y=0例 1 求球体 2 2 2 2 x y z a    4 被圆柱体 2 2 x y ax   2 的公共部分的体积． 分析：（1）画出几何草图 x y z O 2a D 2a （2）找出曲顶柱体的曲顶表达式及区边 由对称性可知：所求立体的体积是 该立体在第一卦限部分体积的 4 倍 由 2 2 2 2 x y z a    4 可 知 2 2 2 2 z a x y    4 2 2 2 z a x y    4 因此立体在第一卦限部分的曲顶为 由 2 2 x y ax   2 可知 2 2 y ax x   2 因此立体在第一卦限部分的区 边为 2 D y ax x : 2 ,   y  0 （3）写出曲顶柱体的表达式（利用对称性）     D V a x y dxdy 2 2 2 4 4 ， （4）选择坐标系（极坐标），确定积分区间 将 cos sin x y          带入区边 D a : 0 2 cos     ， 表达式中可得 0 2     （5）确定积分顺序并计算 2 2 4 4 D V a d d        2 cos 2 2 2 0 0 4 4 a d a d          