第1讲微分方程与解 微分方程 什么是微分方程?它是怎样产生的?这是首先要回答的问题 300多年前,由牛顿( Newton,1642-1727)和莱布尼兹( eibniz,1646-1716所创立的微 积分学,是人类科学史上划时代的重大发现,而微积分的产生和发展,又与求解微分方 程问题密切相关这是因为,微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规 律的需求一般地,运动规律很难全靠实验观测认识清楚,因为人们不太可能观察到运动 的全过程然而,运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间,通常在运动过程中按照 某种己知定律存在着联系,我们容易捕捉到这种联系,而这种联系,用数学语言表达出 来,其结果往往形成一个微分方程一旦求出这个方程的解,其运动规律将一目了然下 面的例子,将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言 例1物体下落问题 设质量为m的物体,在时间=0时,在距地面高度为H处以初始速度v(0)=v0垂直 地面下落,求ss此物体下落时距离与时间的关系 解如图1-1建立坐标系,设为t时刻物体的位置坐标于是物体下落的速度为 加速度为 质量为m的物体,在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg和空气阻力,当速度不太 大时,空气阻力可取为与速度成正比于是根据牛顿第二定律 (力=质量×加速度) 可以列出方程 m8=-mg(= (1.1) 其中k>0为阻尼系数,g是重力加速度 (1.1)式就是一个微分方程,这里t是自变量,x是未知函数,是未知函数对t导 数现在,我们还不会求解方程(1.1),但是,如果考虑k=0的情形,即自由落体运动,此 时方程(1.1)可化为 将上式对t积分两次得 gt+ct+cal 其中 是两个独立的任意常数,它是方程(12)的解 一般说来,微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关第 1 讲 微分方程与解 微分方程 什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题. 300 多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微 积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方 程问题密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规 律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动 的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照 某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出 来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下 面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言. 例 1 物体下落问题 设质量为 m 的物体，在时间 t=0 时，在距地面高度为 H 处以初始速度 v(0) = v0垂直 地面下落，求 ss 此物体下落时距离与时间的关系. 解 如图 1-1 建立坐标系，设为 t 时刻物体的位置坐标.于是物体下落的速度为 ds v dt = 加速度为 质量为 m 的物体，在下落的任一时刻所受到的外力有重力 mg 和空气阻力，当速度不太 大时，空气阻力可取为与速度成正比.于是根据牛顿第二定律 F = ma (力=质量×加速度) 可以列出方程 (·= ） (1.1) 其中 k ＞ 0 为阻尼系数，g 是重力加速度. (1.1)式就是一个微分方程，这里 t 是自变量，x 是未知函数， 是未知函数对 t 导 数.现在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果考虑 k=0 的情形，即自由落体运动，此 时方程(1.1)可化为 (1.2) 将上式对 t 积分两次得 (1.3) 其中 和 是两个独立的任意常数，它是方程(1.2)的解. 一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关