《数学分析》下册 第十六章多元函数的极限与连续 海南大学数学系 则它们必相等. 证设 ()=A 则对任给的正数e,总存在正数8，使得当P(x,y)∈U(P:6)时，有 f(x,y)-Al<E 另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式0<x-x<8的x,存在极限 =a,=06. 回到不等式(2)，让其中y一y。,由(4)可得 |p(x)-A≤e. 故由(3)，（⑤）证得p(x)=A,即 m四（x,y)=-w）(x,y)=A 由这个定理可导出如下两个便于应用的推论. 推论1若累次极限 f红川，nfx》 和二重极限 a周wf6x,刀 都存在，则三者相等. 推论2若累次极限 fx,y)与nfx,y) 存在但不相等，则二重极限，f(x,y)必不存在。 注意：定理16.6保证了在二重极限与一个累次极限都存在时，它们必相 等.（本节习题3则给出较定理16.6弱一些的充分条件.）但它们对另一个累次 极限的存在性却得不出什么结论，对此只需考察本节习题2（⑤）. 推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件：推论2可被用来否定二重极限的存 在性（如例7）. 总的来说二重极限与累次极限的关系如下： 7《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 7 则它们必相等． 证设 x y → x y f (x, y) = A lim ( , ) ( , ) 0 0 则对任给的正数ε，总存在正数δ，使得当 P(x，y)∈∪0 (Po；δ)时，有 |f(x,y)-A|＜ε 另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式 0＜|x-x0|＜δ的 x，存在极限 lim 0 y→y (x，y)=  (x)． 回到不等式(2)，让其中 y→yo，由(4)可得 |  (x)-A|≤ε． 故由(3)，(5)证得 lim 0 x→x  (χ)=A，即 lim 0 x→x lim 0 y→y (χ，y)= lim ( , ) ( ) 0 x y → y→y (x，y)=A. 由这个定理可导出如下两个便于应用的推论． 推论 1 若累次极限 ( , ) lim lim 0 0 f x y x→x y→y ， ( , ) lim lim 0 0 f x y y→y x→x 和二重极限 lim ( , ) ( ) 0 x y → y→y f(x，y) 都存在，则三者相等． 推论 2 若累次极限 ( , ) lim lim 0 0 f x y x→x y→y 与 ( , ) lim lim 0 0 f x y y→y x→x 存在但不相等，则二重极限 lim ( , ) ( ) 0 x y → y→y f(x，y)必不存在． 注意: 定理 16.6 保证了在二重极限与一个累次极限都存在时，它们必相 等．(本节习题 3 则给出较定理 16.6 弱一些的充分条件．)但它们对另一个累次 极限的存在性却得不出什么结论，对此只需考察本节习题 2(5)． 推论 1 给出了累次极限次序可交换的一个充分条件；推论 2 可被用来否定二重极限的存 在性(如例 7)． 总的来说二重极限与累次极限的关系如下: