《数学分析》下册 第十六章多元函数的极限与连续 海南大学数学系 例6设，功平·由斜3已经知道，功一0,0时的重极 限不存在.但当y≠0时有 xV 0+y=0. 从而有 字0 同理可得 =0 即F的两个累次极限都存在而且相等。 例7设fK,)==y+?+少它关于原点的两个累次极限分别为 x+y x +y y 与 品a0 当沿斜率不同的直线y=x,(x,y)→(0,0)时，容易验证所得极限也不同.因 此该函数的重极限不存在（下面的定理16.6将告诉我们，这是一个必然的结果）. 例8设f(x,)=xsin{+ys1n上，它关于原点的两个累次极限都不存在.这 是因为对任何y≠0，当x→0时f的第二项不存在极限.同理，对任x≠0，当y →0时「的第一项也不存在极限.但是由于 故按定义1知道f的二重极限存在，且mfx,)=0. 下述定理告诉我们：二重极限与累次极限在一定条件下也是有联系的， 定理16.6若f(x,y)在点(x,y)存在二重极限 四wfx,) 与累次极限 .y) 6 《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 6 例 6 设 f(x，y)= . 2 2 x y xy + ．由例 3 已经知道(x，y)→(0，0)时 f 的重极 限不存在．但当 y≠0 时有 0. 2 2 lim 0 = + → x y xy x 从而有 0. 2 2 lim lim 0 0 = + → → x y xy x x 同理可得 0. 2 2 lim lim 0 0 = + → → x y xy x y 即 f 的两个累次极限都存在而且相等． 例 7 设 f(x，y)= . 2 2 x y x y x y + − + + 它关于原点的两个累次极限分别为 ( 1) 1 lim 0 2 lim 0 2 2 lim lim 0 0 = − = − − = + − + + → → → → y y y y x y x y x y x y y y , 与 ( 1) 1 lim 0 2 lim 0 2 2 lim lim 0 0 = + = + = + − + + → → → → x x x x x y x y x y x y x y . 当沿斜率不同的直线 y=xm，(x，y)→(0，0)时，容易验证所得极限也不同．因 此该函数的重极限不存在(下面的定理 16．6 将告诉我们，这是一个必然的结果)． 例8 设f(χ，y)= xsin y 1 +ysin x 1 ,它关于原点的两个累次极限都不存在．这 是因为对任何 y≠0，当 x→0 时 f 的第二项不存在极限．同理，对任 x≠0，当 y →0 时 f 的第一项也不存在极限．但是由于 x y y x 1 sin 1 sin + ≤|x|+|y|， 故按定义 1 知道 f 的二重极限存在，且 ( , ) 0. lim lim x→0 y→0 f x y = 下述定理告诉我们：二重极限与累次极限在一定条件下也是有联系的． 定理 16.6 若 f(x，y)在点(xo，yo)存在二重极限 ( , ) lim lim ( , ) ( , ) 0 0 f x y x y → x y 与累次极限 ( , ) lim lim 0 0 f x y x→x y→y