《数学分析》下册 第十六章多元函数的极限与连续 海南大学数学系 二元函数极限的四则运算法则与一元函数极限四则运算法则相仿，特别 「(x,y)看作点函数f(P)时，相应定理的证法也完全相同，这里就不再列出. 二、累次极限 在上一段所研究的极限f(x,)中，两个自变量x,y同时以任何方 式趋于x,yo.这种极限也称为重极限.在这一段里，我们要考察x与y依一定 的先后顺序相继趋于x与y时f的极限，这种极限称为累次极限. 定义3设E,EyCR,xo是E的聚点，y是E,的聚点，二元函数f在集合 E.XE上有定义。若对每一个y∈Ey≠y,存在极限旦影一fx,以由于此 极限一般与y有关，因此记作 py)=■fx,y) 而且进一步存在极限 L=品fx以 则称此极限为二元函数f先对x(一x)后对y(一y)的累次极限，并记作 L是盘x,) 或简记作 L=mmfx,以 类似地可以定义先对y后对z的累次极限 K=四fx,以 累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系 下面三个例子将说明这一点。 5《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 5 二元函数极限的四则运算法则与一元函数极限四则运算法则相仿，特别 f(x，y)看作点函数 f(P)时，相应定理的证法也完全相同，这里就不再列出． 二、 累次极限 在上一段所研究的极限 lim (x, y)→(0,0) f(x，y)中，两个自变量 x，y 同时以任何方 式趋于 x0，y0．这种极限也称为重极限．在这一段里，我们要考察 x 与 y 依一定 的先后顺序相继趋于 x0与 y0时 f 的极限，这种极限称为累次极限． 定义 3 设 Eχ，Ey  R，x0是 Eχ的聚点，yo是 Ey的聚点，二元函数 f 在集合 D=Eχ×Ey ①上有定义。若对每一个 y∈Ey,y≠y0,存在极限旦影 ( , ), lim 0 x x f x y Ex x →  由于此 极限一般与 y 有关，因此记作 ( y) = ( , ), lim 0 x x f x y Ex x →  而且进一步存在极限 L= ( , ), lim 0 x x f x y x Ey →  则称此极限为二元函数 f 先对 x(→x0)后对 y(→y0)的累次极限，并记作 L= ( , ) lim lim 0 0 y y x x f x y Ex x E y y → →   或简记作 L= ( , ). lim lim 0 0 f x y y→y y→y 类似地可以定义先对 y 后对 z 的累次极限 K= ( , ). lim lim 0 0 f x y y→x y→y 累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系． 下面三个例子将说明这一点．