《数学分析》下册 第十六章多元函数的极限与连续 海南大学数学系 如左图所示，当(x,y)沿任何直线趋于原点 时，相应的f(x,y)都趋于零，但这并不表明此函数 在(x,y)一(0,0)时极限存在.因为当点 (x,y)沿抛物线y=kx(0<k<1)趋于0点时， f(x,y)将趋于1.所以极限oof(x,y)不存在 下面我们再给出当P(x,y)一P(xo,y)时， f(x,y)趋于+∞（非正常极限）的定义. 定义2设D为二元函数，的定义域，P,(x,y)是D的一个聚点.若对任给 正数M,总存在点P的一个6邻域，使得当P(x,y)∈U°(Po:6)∩D时，都有 f(P)>M,则称f在D上当P一Po时，存在非正常极限+∞，记作 n(. 仿此可类似地定义： mfp)=-o与mnfp)= 例5设fx,)产2x+3y 证明 wmo0f(x,y）=too. 证因为2x2+3y2<4(x+y),对任给正数M,取 62 就有 3M 1 由此推得 237 即 2r2+3p>M. 这就证得结果（该函数在原点附近的图象参见下图 《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 4 如左图所示，当(x，y)沿任何直线趋于原点 时，相应的 f(x，y)都趋于零，但这并不表明此函数 在(x，y)→(0，0)时极限存在．因为当点 (x，y)沿抛物线 y=kχ 2 (0<k<1)趋于 0 点时， f(x，y)将趋于 1．所以极限 lim (x, y)→(0,0) f(χ，y)不存在． 下面我们再给出当 P(x，y)一 P0(x0，y0)时， f(x，y)趋于+∞(非正常极限)的定义． 定义 2 设 D 为二元函数，的定义域，P0(x0，y0)是 D 的一个聚点．若对任给 正数 M，总存在点 P0的一个δ邻域，使得当 P(x，y)∈∪0 (Po；δ)∩D 时，都有 f(P)＞M，则称 f 在 D 上当 P→Po 时，存在非正常极限+∞，记作 → ( , ) = + lim 0 f x y p p , 仿此可类似地定义： → ( ) = − lim 0 p p f p 与 → ( ) =  lim 0 p p f p 例 5 设 f(x，y)= . 2 3 1 2 2 x + y 证明 lim (x, y)→(0,0) f(x，y)=+∞. 证 因为 2x 2 +3y2 <4(x 2 +y2 )，对任给正数 M，取 δ= , 2 1 M 就有 , 2 1 3 2 2 M x + y  由此推得 2 x 2 +3y2 < M 1 , 即 M x y  + 2 2 2 3 1 . 这就证得结果(该函数在原点附近的图象参见下图: