《数学分析》下册 第十六章多元函数的极限与连续 海南大学数学系 下述定理及其推论相当于数列极限的子列定理与一元函数极限的海涅归原 则（而且证明方法也相似）.读者可通过它们进一步认识定义1中“P→R”所 包含的意义 定理16.5罗P=A的充要条件是：对于D的任-子集E,只要 P,是E的聚点，就有 P)=A. 推论1设EcD,P是E,的聚点.若f(P)不存在，则。f(P)也不 存在. 推论2设E,EcD,P,是它们的聚点，若存在极限 (P)=(P)= 但A≠，则f(P)不存在· 推论3极限。f(P)存在的充要条件是：对于D中任一满足条件P≠P。 且P,=P的点列{P},它所对应的函数列{f(P)}都收敛. 下面两个例子是它们的应用. 例3讨论，功平当，刃一0,0时是否存在极限。 解当动点(x,y)沿着直线y=mx而趋于定点(0,0)时，由于此时 f.功，因而南 wx0=。f儿，m)=1+m, 这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时，对应的极限值也不同，因此 所讨论的极限不存在。 例4二元函数 1,当0<y<x2,-0<x<+oo时， 心x,=0.其余部分 3《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 3 下述定理及其推论相当于数列极限的子列定理与一元函数极限的海涅归原 则(而且证明方法也相似)．读者可通过它们进一步认识定义 1 中“ P P → 0 ”所 包含的意义． 定理 16.5 0 lim ( ) P P P D f P A →  = 的充要条件是：对于 D 的任一子集 E，只要 Po是 E 的聚点，就有 0 lim ( ) P P P E f P A →  = . 推论 1 设 E1 D，P0是 El的聚点.若 0 1 lim p p ( ) p E → f P  不存在，则 ( ) lim p p 0 f P p D →  也不 存在． 推论 2 设 E1，E2  D，P0是它们的聚点，若存在极限 1 lim ( ) 0 1 p p f P A p E → =  , 2 lim ( ) 0 2 p p f P A p E → =  但 A1≠A2，则 ( ) lim p p 0 f P p D →  不存在· 推论 3 极限 ( ) lim p p 0 f P p D →  存在的充要条件是：对于 D 中任一满足条件 Pn≠P。 且 0 lim n→ Pn = P 的点列{Pn}，它所对应的函数列{f(Pn)}都收敛． 下面两个例子是它们的应用． 例 3 讨论 f(x，y)= 2 2 x y xy + 当(x，y)→(O，0)时是否存在极限． 解 当动点(x，y)沿着直线 y=mx 而趋于定点(0，0)时，由于此时 f(x，y)=f(x，mx)= 2 1 m m + ，因而有 2 lim 0 lim 1 (( , ) (0,0) ( , ) ( , ) m m f x y f x mx x y x y mx + → = → = = , 这一结果说明动点沿不同斜率 m 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同，因此 所讨论的极限不存在． 例 4 二元函数 2 1, 0 , , ( , ) 0, . y x x f x y    −    + =   当 时 其余部分