《数学分析》下册 第十六章多元函数的极限与连续 海南大学数学系 =1(x2-4)+xy-2+(y2-1) =|(x+2)(x-2)+(x-2)y+2(y-1)+(y+1)(y-1)1 Ix-21lx+y+21+ly-1lly+31. 先限制在点(2,1)的6=1的方邻域 ((x,y)1川x-2<1,1y-1l<1 内讨论，于是有 |y3=ly-1+4≤ly-1+4<5 |x+y+2l=|(x-2)+(y-1)+5 ≤|x-2l+y-1+5<7. 所以 Ix+xy+y2-71571x-21+5ly-11 <7(x-2+ly-1|) 设e为任给的正数，取8=min(1,升4)，则当|x一2<6，|y-1|<6, (x,y)≠(2,1)时，就有 |x2+xy+y2-7<7·26=148<e 例2设 .n.cc 0 (x,y)=(0,0) 证明 0.of(x,y）=0. 证对自变量作极坐标变换x=rcos o,y=rsin o.这时(x,y)一(0,0)等 价于对任何0，都有r→0.由于 1f,）0l-+习 x2-12 sn do 因此，对任何e>0,只须取8=2√E,当0<r=√2+y2<6时，不管0取什值 都有f(x,y)-0Ke,即xmo)f(x,y)=0 2 《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 2 = |(x2 -4)+xy-2+(y2 -1)| =|(x+2)( x-2)+( x-2)y+2(y-1)+(y+1)(y-1)| ≤|x-2||x+y+2|+|y-1||y+3|. 先限制在点（2，1）的δ=1 的方邻域 {（x，y）||x-2|＜1，|y-1|＜1} 内讨论，于是有 |y+3|=|y-1+4|≤|y-1|+4＜5 |x+y+2|=|(x-2)+(y-1)+5| ≤|x-2|+|y-1|+5＜7． 所以 |x2 +xy+y2 -7|≤7|x-2|+5|y-1| ＜7(|x-2|+|y-1|). 设ε为任给的正数，取δ=min(1， 14  )，则当|x 一 2|＜δ,| y-1 |＜δ, (x，y)≠（2，1）时，就有 |x2 +xy+y2 -7|＜7·2δ=14δ＜ε. 例2 设 f(x,y)= 0 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 2 2 2 2 =     + − x y x y x y x y xy 证明 lim (x, y)→(0,0) f(x,y)=0． 证 对自变量作极坐标变换 x=rcos  ,y=rsin  ．这时(x，y)→(0，0)等 价于对任何  ,都有 r→0．由于 |f(x,y)-0|= 2 2 2 2 x y x y xy + − = 2 2 4 1 |sin 4 | 4 1 r   r 因此，对任何ε＞0，只须取δ=2  ，当 0＜r= 2 2 x y +   时，不管  取什值 都有|f(x,y)-0|<ε,即 ( , ) 0 lim ( , ) ( ) 0 0 x y → x y f x y =