Vol.15 No.6 郭兴旺等：圆锯片振动模态的分析 ,625· 1圆锯片的频率方程及其无量纲化 普通锯片可看作一个中间固支外边自由的等厚薄圆环板，如图1所示。设所研究的锯片 满足克希荷夫和勒符所提出的板的小挠度理论的基本 假定[。在柱坐标系中，锯片的自由横向振动微分方程 为： DVw+m ai =0 (1) 其中D=2Eh3/【3(1-v2)】为抗弯刚度，m=2hp为 单位面积质量。边界条件为：在r=b处，挠度和斜率 为零，即 图1锯片简图 Fig.1 Sketch of saw blade [w],b=0 (2) [3w/2r],=6=0 (3) 在r=·处，弯矩和横向剪力（包括扭矩效应）为零，即 [+(”+2)]-0 (4) [+上晋+片语)+号凉2”吕)}05) 设方程(1)的解为： w=W(r,θ)sino(t-t) (6) 式中W(r,)为振型函数。把(6)式代入方程(1)可得： 7W-B4W=0 (7) 其中： B=m0D (8) 应用分离变量法及有关Bess©l方程的知识解方程(7)，最后得到： W=R(r)⊙(6) (9) 式中 R(r)=CJ(Br)+C2Y (Br)+CI (Br)+CK (Br) (10) ⊙(0)=cosn(0-0。) 常数C、C、C、C,的比值由边界条件确定，实际值尚需进一步由初始条件确定。常数9。 由初始条件确定。将式(9)代人式(6)得： w=[CJ(Br)+C2 Y (Br)+C3I (Br)+CK (Br)]cosn (0-0)sinc(t-to)(11) 此为锯片在某阶单模态下的主振动，它是方程(1)的一个特解。至于方程(1)的通解， 即锯片的一般自由响应，是各阶主振动的叠加。在板问题中，用两个下标m,n来表明某阶V bl . 15 N 6 6 郭兴旺等 : 圆锯片振动模态的分析 1 圆锯片 的频率方程及其无量纲化 普通 锯 片可看 作一 个中间 固支外 边 自由的等厚 薄 圆环板 , 如 图 l 所示 。 设 所研究 的 锯 片 满 足 克希荷夫 和勒符 所提 出的板的小 挠 度理论 的基本 假 定 〔 ’ l 。 在柱 坐 标系 中 , 锯片的 自由横 向振 动微 分方程 为 : 。 切、 , + 而 典 一 。 J r ( 1 ) 其中 力 二 Z E h , / 【3 ( 1 一 , ’ ) l 为 抗 弯刚 度 , 示 = 2 h p 为 单位 面积质量 。 边 界条 件 为 : 在 r 二 b 处 , 挠度 和斜 率 为零 , r _ b “ O ( 2 ) 图 1 锯片简 图 %-F . 1 5翻功由 of asw b肠山 , w / 。 r ] : _ 。 二 0 ( 3 ) 卜脚即 在 ; 二 a 处 , 弯矩 和横向剪力 (包括 扭矩效应 ) 为零 , 即 l令 〔会( 令 · 告 + , ( 生 刁 林 , . 1 — 十 - 气; 刁 Y 犷 。 谕 , 8 2 ( 4 ) 一 0 r 一 a 飞 . l J se 、 , 少 二 十 粤 票 卜 生共里 沙 r 厂 沙 口一 r 斗 (竺 一 竺 ) 沙 )t 一 沙 r r ] = O ( 5 ) 、了. ` 、户. n12 尹 了 八O 口. `、了`. 设方程 ( l) 的解 为 : w = w ( r , 0 ) s in 。 ( t 一 0t ) 式 中 W ( ; , 口) 为振 型函 数 。 把 ( 6) 式代入方 程 ( l) 可 得 : 切 W 一 刀 4 W = O 其 中: 尸= 示 。 , / D 应 用分 离 变量法 及有 关 B路 s d 方程的 知识解 方 程 ( 7 ) , 最后得到 : W = R ( r ) O ( 8 ) 式 中 R ( r ) = C l 人 (刀 r ) + Q X ( 刀 r ) + q l 。 ( 刀 r ) + q 凡 叨 r ) ( 9 ) ( 10 ) 0 ( 8 ) = co s n ( 口一 0 ) 常数 C , 、 矶 、 q 、 q 的 比值 由边界 条件 确 定 , 实 际 值 尚需进 一 步 由初 始 条件确 定 。 常 数 0 由初始 条件 确定 。 将式 ( 9) 代人式 ( 6) 得 : w = 「C l蒸 伊 r ) + 矶 玖 叨 r ) + 认I 。 伊 r ) + q 凡 ( 刀 r ) 〕co s 。 ( 8 一 口。 ) s in 。 ( r 一 0t ) ( 1 1 ) 此 为锯 片在 某 阶单模态下 的 主 振 动 , 它 是 方 程 ( l) 的一 个特 解 。 至 于方 程 ( l) 的 通 解 , 即锯 片的一 般 自由响应 , 是 各 阶 主振动 的叠加 。 在 板 问题 中 , 用 两 个下 标 从 , 。 来表 明某 阶