+c1x1+c2x1+…+cnr=0 Co+C1x2+c2x2+…+cn2=0 该方程的系数矩阵为范德蒙行列式,值为1 <i<i<+1(x-x),由于根互不相同,故行 列式不为零,所以方程只有非零解,因此f(x)≡0 9.设向量组Ⅰ可以由向量组Ⅰ表示,向量组Ⅰ可以由向量组ⅠⅠ表示,求证向量 组Ⅰ可经由向量组Ⅰ线性表示。 证明:设向量组/中的任意向量a均可以表示为I中的线性组合a=∑bk2, 且I中的任意向量b2均可以表示为Ⅰ中的线性组合b=∑cP, 故任意P中的向量a可表示为a=∑bk1=∑k∑cp)=∑c(b∑k), 故Ⅰ可以由ⅠⅠ线性表示。 10.证明:若向量可以由向量组a1,a2,…,a1的一个部分向量组线性表示,则 定可由a1,a2,,a线性表示。 证明 B可以由向量组a1,a2,,的一个部分向量组线性表示,设这个向量组为a1,a2,,amn, 令除此之外的向量a的系数都为零,即得证 12.已知向量组a1,a2,a3线性无关,从定义出发证明向量组a1+a2,a2+a3,a3+a1 线性无关 证明: 若a1+a2,a2+a3,a3+a1线性相关,即存在不全为零的x,y,z,满足 (a1+a2)x+(a2+a3)y+(a3+a1)z=0 。上式等价与a1(x+2)+a2(x+y)+a3(y+2)=0。因为a1,a2,a3线性无关,因此(x+ 2),(x+y),(y+2)全为零。因此x,y,z都为零,与假设矛盾。因此a1+a2,a2+a3,a3+a1 线性无关 13设非零向量6可以由向量组a1,a2,,a1线性表示,且表示唯一,求证向量 组a1,a2,,a1线性无关 证明 若a1,a2,,a线性相关,则存在不全为零的c1,C2,q满足∑ac=0 于a,2,…,②不全为零,因此表示不唯一,矛盾。因此线性塔c)。由 所以对于的一个线性表示,B=∑ad2,加上上式,得到B=∑a(d11    c0 + c1x1 + c2x 2 1 + · · · + cnx n 1 = 0 c0 + c1x2 + c2x 2 2 + · · · + cnx n 2 = 0 . . . . . . . . . . . . c0 + c1xn+1 + c2x 2 n+1 + · · · + cnx n n+1 = 0 TêßXÍ› èâÑ1™ßäè Q 1≤i≤j≤n+1(xj − xi)ßduäpÿÉ”ß1 ™ÿè"ߧ±êßêkö")ßœdf(x) ≡ 0 9. ï˛|Iå±dï˛|IIL´ßï˛|IIå±dï˛| IIIL´ß¶yï˛ | I å²dï˛| III Ç5L´" y²µï˛|I•?øï˛ a ˛å±L´èII•Ç5|‹a = Pbikiß ÖII•?øï˛ bi ˛å±L´èIII•Ç5|‹ bi = Pcjpjß ?øI•ï˛a åL´èa = Pbiki = P(ki Pcjpj ) = Pci(bi Pk)ß I å±d III Ç5L´" 10. y²µeï˛βå±dï˛|a1, a2, . . . , alòá‹©ï˛|Ç5L´ßKò ½åda1, a2, . . . , alÇ5L´" y²µ βå±dï˛|a1, a2, . . . , alòá‹©ï˛|Ç5L´ß˘áï˛|èa1, a2, . . . , amß -ÿdÉ ï˛aXÍ—è"ß=y" 12. Æï˛|a1, a2, a3 Ç5Ã'ßl½¬—uy²ï˛|a1 + a2, a2 + a3, a3 + a1 Ç5Ã'" y²µ e a1 + a2, a2 + a3, a3 + a1 Ç5É'ß=3ÿè"x, y, zߘv (a1 + a2)x + (a2 + a3)y + (a3 + a1)z = 0 "˛™dÜa1(x + z) + a2(x + y) + a3(y + z) = 0 "œèa1, a2, a3 Ç5Ã'ßœd(x + z),(x+y),(y +z) è""œdx, y, z—è"ßÜbgÒ"œda1 +a2, a2 +a3, a3 +a1 Ç5Ã'" 13.ö"ï˛βå±dï˛|a1, a2, . . . , alÇ5L´ßÖL´çò߶yï˛ |a1, a2, . . . , alÇ5Ã'" y²µ ea1, a2, . . . , alÇ5É'ßK3ÿè"c1, c2, . . . , cl˜v Paici = 0 §±ÈuβòáÇ5L´ßβ = Paidi ,\˛˛™ßβ = Pai(di + ci)" d uc1, c2, . . . , clÿè"ßœdL´ÿçòßgÒ"œda1, a2, . . . , alÇ5Ã