14.设向量组a1,a2,,a1线性无关,向量β可以经其表示为 B=k1a1+k2a2+…+ka 且k1≠0,求证β,a2,…,a1线性无关。 证明 我们可以将(Ba2…a)记为矩阵B,将(a1a2…a)记为矩阵A 矩阵B=(Ba2…a)=(k2a1+k2a2+…+ka1 线 性无关,因此矩阵A的秩为l。因为k1≠0,因此对B做初等列变换可以得到矩阵A,因 此矩阵B的秩也为因此,B,a2,a1线性无关 16.证明:向量组Ⅰ可经向量组Ⅰ线性表示,则向量组I的秩小于向量组Ⅰ的秩。 证明 令A为中向量构成的矩阵,B为Ⅰ中向量构成的矩阵。对于A中任意向量a,方 程BX=a都有解。因此rB=rBA=mar(rB,TA),因此必有rB≥TA 17.证明:等价向量组的秩也相等,问逆命题是否成立 证明 两个向量组A,B等价的充分必要条件为rA=TB=TAB所以等价向量组的秩相等。逆 命题不成立,反例如下 b 0 向量a,b都可以认为是有一个向量的向量组,但是他们不等价 20.设X1,X2,,Xm是齐次线性方程组AX=0的基础解系,求证X1+X2,X2,,Xm也 是方程组的一个基础解系。 证明: (1)由已知条件可以知道任何方程组AX=0的解X都可以表示为X=c1X1+c2X2+ +cmXm。继续可以得到 X=CX1+C2X2+ (X1+X2)+(2-c1)X2+…+ 其中的c都是任意常数。因此,原方程的任意一个解可以由X1+X2,X2,,Xm线性 表示。 (2)X1,X2,,Xm是齐次线性方程组AX=0的基础解系,因此,这些向量线性无关 那么,将每一个向量X作为矩阵的列向量,可得 X2 14. ï˛|a1, a2, . . . , alÇ5Ã'ßï˛β å±²ŸL´è β = k1a1 + k2a2 + · · · + klal Ök1 6= 0߶yβ, a2, . . . , alÇ5Ã'" y²µ ·Çå±Ú  β a2 . . . al  Pè› BßÚ  a1 a2 . . . al  Pè› A" › B =  β a2 . . . al  =  k1a1 + k2a2 + · · · + klal a2 . . . al  œèa1, a2, . . . , alÇ 5Ã'ßœd› Aùèl"œèk1 6= 0 ßœdÈBâ–CÜå±› Aßœ d› Bùèèl"œdßβ, a2, . . . , al Ç5Ã'" 16. y²µï˛|Iå²ï˛|IIÇ5L´ßKï˛|Iùuï˛|IIù" y²µ -AèI•ï˛§› ßBèII•ï˛§› " ÈuA•?øï˛aßê ßBX = a—k)"œdrB = rB|A = max(rB, rA)ßœd7krB ≥ rA" 17. y²µdï˛|ùèÉßØ_·K¥ƒ§·" y²µ ¸áï˛|A, Bdø©7á^áèrA = rB = rA|B §±dï˛|ùÉ"_ ·Kÿ§·ßá~Xeµ a = 0 1 ! b = 1 0 ! ï˛a, b—å±@è¥kòáï˛ï˛|ߥ¶Çÿd" 20. X1, X2, . . . , Xm¥‡gÇ5êß| AX = 0ƒ:)X߶yX1+X2, X2, . . . , Xmè ¥êß|òáƒ:)X" y²µ (1)dÆ^áå±?¤êß|AX = 0) X¯—å±L´è X¯ = c1X1 + c2X2 + · · · + cmXm"UYå± X¯ = c1X1 + c2X2 + · · · + cmXm = c1(X1 + X2) + (c2 − c1)X2 + · · · + cmXm ߟ•c—¥?ø~Í"œdßêß?øòá)å±dX1 + X2, X2, . . . , XmÇ5 L´" (2)X1, X2, . . . , Xm¥‡gÇ5êß| AX = 0ƒ:)Xßœdߢ ï˛Ç5Ã'" @oßÚzòáï˛Xiäè› ï˛ßåµ C =  X1 X2 . . . Xm