证:由于电磁场(E,B)构成二阶张量F,故不同参考系之间的变换关系为 (3.5) 其中an为洛伦兹变换。Eq1(35)写成矩阵方程为 F=a.F (36) 进而假定元沿x方向,那么 ] B1 iE (3.7) 00i6 B3 -B2 -iEl/ 0100 B30B1-iE2/ B2-B10 (38) 0 (B3-E2)-(B2+E3) -(B3-=E) 0 B -i(E2-B3)/c (B2+E3) B 0 Es +uB2)/ (3.9) iE y(E2-vB3)/c iy(E3 +uB2)/c 0 写成具体分量形式 B B +E3) B B√√E BB E2) 333 E2=7(E2-B3) 7(E3+vB2) 3.15) 般来说,可以把矢量场按平行和垂直于相对运动速度的方向分解,则Eq、3.10~3.15)可写成 E‖=E 7(E+×B) (317 B (318) 7(B c2 证毕 4 Example 4 (教材P281)试求匀速运动点电荷的场。 解:设S系的原点固定在点电荷q上,则该点电荷相对于S是静止的,其场为证：由于电磁场(E, ~ B~ )构成二阶张量Fµν，故不同参考系之间的变换关系为： F 0 µν = αµβανγFβγ (3.5) 其中αµβ为洛伦兹变换。Eq.(3.5)写成矩阵方程为： ↔ F 0 = ~α · ↔ F · ~α T (3.6) 进而假定~v沿x方向，那么   0 B3 −B2 −iE1/c −B3 0 B1 −iE2/c B2 −B1 0 −iE3/c iE1/c iE2/c iE3/c 0   (3.7) =   γ 0 0 iβγ 0 1 0 0 0 0 1 0 −iβγ 0 0 γ     0 B3 −B2 −iE1/c −B3 0 B1 −iE2/c B2 −B1 0 −iE3/c iE1/c iE2/c iE3/c 0     γ 0 0 −iβγ 0 1 0 0 0 0 1 0 iβγ 0 0 γ   (3.8) =   0 γ(B3 − v c 2E2) −γ(B2 + v c 2E3) −iE1/c −γ(B3 − v c 2E2) 0 B1 −iγ(E2 − vB3)/c γ(B2 + v c 2E3) −B1 0 −iγ(E3 + vB2)/c iE1/c iγ(E2 − vB3)/c iγ(E3 + vB2)/c 0   (3.9) 写成具体分量形式： B1 = B1 (3.10) B2 = γ(B2 + v c 2 E3) (3.11) B3 = γ(B3 − v c 2 E2) (3.12) E1 = E1 (3.13) E2 = γ(E2 − vB3) (3.14) E3 = γ(E3 + vB2) (3.15) 一般来说，可以把矢量场按平行和垂直于相对运动速度的方向分解，则Eq.(3.10∼3.15)可写成： E~ k = E~ k (3.16) E~ ⊥ = γ(E~ + ~v × B~ )⊥ (3.17) B~ k = B~ k (3.18) B~ ⊥ = γ(B~ − ~v c 2 × E~ )⊥ (3.19) 证毕。 4 Example 4 (教材P281)试求匀速运动点电荷的场。 解：设S系的原点固定在点电荷q上，则该点电荷相对于S是静止的, 其场为 E~ = 1 4πε0 q~r 0 r 03 B~ = 0 (4.1) 5