《数学分析》教案 第十二章数项级数 海南大学数学系】 证明：由定义及定理12-2-1即可得。 例1、考察交的收数性， 解：由于当n≥2时，有 1 1 1 -m+i5w-nn-D5 (-D' 因正经数空收数，微空n收敛， 推论（比较判别法的极限形式）设。立“，和云，是两个正项级数。者 是= 则(1)当0<1<+∞时，级数∑.、.同时收敛或同时发散： (2)当1=0且级数∑，收敛时，级数∑“，也收敛： (3)当1=∞且∑，发散时，级数∑“，也发散。 证明：由比较原则即可得。 例2、讨论级数工2一。的收敛性， 1 解：利用级数工的收数性，由推论可蜘级数工2收效。 例3、由级数∑的发散性，可知级数∑s二是发散的。 二、比式判别法和根式判别法 定理12.2.3（达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设∑4。为正项级数，且存在某个正 整数N。及常数g∈(0,1) (1)若对n>N。,有”≤q,则级数∑.收敛： 《数学分析》教案 第十二章 数项级数 海南大学数学系 2 证明：由定义及定理 12-2-1 即可得。 例 1、考察   =1 − + 2 1 1 n n n 的收敛性。 解：由于当 n  2 时，有 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 1 −  − = −  n − n + n n n n n ， 因正项级数   =2 − 2 ( 1) 1 n n 收敛，故   =1 − + 2 1 1 n n n 收敛。 推论（比较判别法的极限形式） 设   n=1 n u 和   n=1 n v 是两个正项级数，若 l v u n n n = → lim ， 则 （1） 当 0  l  + 时，级数   n=1 n u 、  n=1 n v 同时收敛或同时发散； （2）当 l = 0 且级数   n=1 n v 收敛时，级数   n=1 n u 也收敛； （3）当 l = + 且   n=1 n v 发散时，级数   n=1 n u 也发散。 证明：由比较原则即可得。 例 2、讨论级数  − n n 2 1 的收敛性。 解：利用级数  n 2 1 的收敛性，由推论可知级数  − n n 2 1 收敛。 例 3、 由级数  n 1 的发散性，可知级数  n 1 sin 是发散的。 二、 比式判别法和根式判别法 定理 12.2.3（达朗贝尔判别法，或称比式判别法） 设 un 为正项级数，且存在某个正 整数 N0 及常数 q (0,1) ： （1）若对 n  N0 ，有 q u u n n  +1 ，则级数 un 收敛 ；