《数学分析》教案 第十二章数项缓数 海南大学数学系 (2)若对n>N,有“≥1，则级数∑4，发散。 证明：(1)不妨设对一切n,有”≤q成立，于是，有 u。 故费益一之≤9即5g由于当ge0时缓数 之g产收敛。由此较原则。可知级数∑，收敛。 (2)因此时m“,≠0，故级数∑4，发散 推论（比式判别法的极限形式）设∑4，为正项级数，且 2=g 则(1)当g<1时，级数∑un收敛： (2)当q>1(可为+o)时，级数∑un发散 (3)当g=1时，级数∑4，可能收敛，也可能发散。如：∑，∑ 证明：由比式判别法和极限定义即可得。 例4、讨论级数 得8.8- 的收敛性。 例5、讨论级数∑-(x>0)的收敛性。 定理12.2.4（柯西判别法，或称根式判别法）设∑4.为正项级数，且存在某个正整 数N。及正常数1， (1)若对n>N。,有4。s1<1,则级数∑4n收敛： (2)若对n>N。,有un≥1，则级数∑4n发散。《数学分析》教案 第十二章 数项级数 海南大学数学系 3 （2）若对 n  N0 ，有 1 1  + n n u u ，则级数 un 发散。 证明：（1）不妨设对一切 n ，有 q u u n n  +1 成立，于是，有 q u u  1 2 ， , 2 3 q u u  ， , 1 q u u n n  − 。 故 1 2 1 3 1 2 − −     n n n q u u u u u u  ， 即 1 1 −  n un u q ，由于，当 q (0,1) 时，级数   = − 1 1 n n q 收敛，由比较原则，可知级数 un 收敛。 （2）因此时 lim  0 → n n u ，故级数 un 发散。 推论（比式判别法的极限形式） 设 un 为正项级数，且 q u u n n n = + → 1 lim ， 则（1）当 q  1 时，级数 un 收敛； （2）当 q  1 （可为 + ）时，级数 un 发散； （3）当 q = 1 时，级数 un 可能收敛，也可能发散。如：  n 1 ， 2 1 n 。 证明：由比式判别法和极限定义即可得。 例 4、讨论级数     +   + −   + − + +     +   + 1 5 9 [1 4( 1)] 2 5 8 [2 3( 1)] 1 5 9 2 5 8 1 5 2 5 1 2 n n 的收敛性。 例 5、 讨论级数 ( 0) 1   − nx x n 的收敛性。 定理 12.2.4（柯西判别法，或称根式判别法） 设 un 为正项级数，且存在某个正整 数 N0 及正常数 l， （1）若对 n  N0 ，有 n un  l  1， 则级数 un 收敛； （2）若对 n  N0 ，有 n un  1， 则级数 un 发散