《数学分析》教案 第十二章数项级数 海南大学数学系 证明：由比较判别法即可得。 推论（根式判别法的极限形式）设∑4，为正项级数，且 ma。=1, 则(1)当1<1时，级数∑4n收敛： (2)当1>1（可为+0）时，级数∑un发散： (3)当g=1时，级数∑4，可能收敛，也可能发散。如：∑号，∑ 例6、讨论级数∑2+仁少的敛散性。 解：由上推论即得。 说明：因中=9户中版=g这就设明凡能用比式别法刻定收敛性的级数。也 能用根式判别法来判断，即根式判别法较之比式判别法更有效。但反之不能，如例6。 三、积分判别法 特点：积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正 项级数的敛散性。 定理12-9设f(x)为[1，+o)上非负减函数，则正项级数∑f()与反常积分广f(x)k同 时收敛或同时发散。 证明：由假设fx)为[1，+∞)上非负减函数，则对任何正数A,fx)在[1，A]上可积，从而 有f(m)≤f(x)≤fn-l),n=2,3. 依次相加，得 m≤fxdt≤2fm-)=fm) 2 若反常积分收敛，则对m,有 S.-f(m)sf)+f(xdssf()+["f(x)ds. 于是，知级数∑fm)收敛 反之，若级数∑fm)收敛，则对任意正整数m心)，有 《数学分析》教案 第十二章 数项级数 海南大学数学系 4 证明：由比较判别法即可得。 推论（根式判别法的极限形式） 设 un 为正项级数，且 u l n n n = → lim ， 则 （1）当 l 1 时，级数 un 收敛； （2）当 l 1 （可为 + ）时，级数 un 发散； （3）当 q = 1 时，级数 un 可能收敛，也可能发散。如：  n 1 ， 2 1 n 。 例 6、 讨论级数  + − n n 2 2 ( 1) 的敛散性。 解：由上推论即得。 说明：因 + =  → q u u n n n 1 lim n un q n = → lim 这就说明凡能用比式判别法判定收敛性的级数，也 能用根式判别法来判断，即根式判别法较之比式判别法更有效。但反之不能，如例 6。 三、 积分判别法 特点：积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正 项级数的敛散性。 定理 12-9 设 f (x) 为[ 1,+) 上非负减函数，则正项级数  f (n) 与反常积分  + 1 f (x)dx 同 时收敛或同时发散。 证明：由假设 f (x) 为[ 1,+) 上非负减函数，则对任何正数 A， f (x) 在[1，A]上可积，从而 有  −   − n n f n f x dx f n 1 ( ) ( ) ( 1) ，n = 2,3,  依次相加，得     − = = =   − = 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ( 1) ( ) m n m m n m n f n f x dx f n f n 若反常积分收敛，则对 m ，有    + = =  +  + 1 1 1 S f (n) f (1) f (x)dx f (1) f (x)dx m m n m 。 于是，知 级数  f (n) 收敛。 反之，若级数  f (n) 收敛，则对任意正整数 m( 1) ，有