%+k2++k,=0 (*) 成立，则称向量组4,2,4，是线性相关的：否则，只有当k=:=.=本，=0时，(*)式才成立 称向量组线性无关。 注意：线性无关的等价说法：对任r个不全为零的数(，就有a,≠0。含有零向量的向 量组一定线性相关」 (4)线性相关的性质与判定 定理向量组4，4，≥2)线性相关的充分必要条件为：其中至少有一个向量是其余 r-1个向量的线性组合。 推论：向量组a,4,22)线性无关的充分必要条件为：其中任意一个向量都不能由 其余的，-1个向量的线性表示。 例1讨论向量组白=L0,0=010.=0.0的线性相关性。 例2判断下列向量组是否线性相关？如果线性相关，试找出其中的一个向量是其余向 量的线性组合，并写出它的表达式。 (1)a=1,0.0a=2L0.4=(4,50 (2)m=Lad2,a四=Lbb2,ba=Lc2,c2,a=Ld.d2,d其中a,bcd各不相同。 例3如果m,m,线性无关，证明向量组房=m+22,历=2m+3如，房=3好+4a3也线性无关。 定理如果向量组4,2，a,中有一部分向量线性相关，那么该向量组一定线性相关。 推论1若向量组中含有零向量，则此向量组一定线性相关。 推论2若向量组4,2，么，线性无关，则它的任意一个部分组也一定线性无关。 m维向量组的线性相关性的定理 定理如果向量组4,2,4，中有一部分向量线性相关，那么该向量组一定线性相关。 推论1若向量组中含有零向量，则此向量组一定线性相关。 推论2若向量组4，4，线性无关，则它的任意一个部分组也一定线性无关。 定理设a=a1,2a,月=a1,a2,ar,r）,f=1,2,m。若r维向量组函，2，an线性无关， 则r+1维向量组民，乃，B也线性无关。 推论r维向量组的每个向量添加上n-r分量，成为n维向量组。若r维向量组线性无关 则维向量组也一定线性无关：反之，若维向量组线性相关，则r维向量组也线性相关。 定理3.4设有n个n维向量组a=a,a24),则4，a,线性无关的充分必要条件为12 k11 + k22 ++ krr = 0 （*） 成立，则称向量组   r , , , 1 2  是线性相关的；否则，只有当 k1 = k2 == kr = 0 时，（*）式才成立， 称向量组线性无关。 注意：线性无关的等价说法：对任 r 个不全为零的数 i k ，就有  =  r i i i k 1  0 。含有零向量的向 量组一定线性相关。 （4）线性相关的性质与判定 定理 向量组   r , , , 1 2  (r  2) 线性相关的充分必要条件为：其中至少有一个向量是其余 r −1 个向量的线性组合。 推论：向量组   r , , , 1 2  (r  2) 线性无关的充分必要条件为：其中任意一个向量都不能由 其余的 r −1 个向量的线性表示。 例 1 讨论向量组 (1,0, ,0), (0,1, ,0), , (0,0, ,1) e1 =  e2 =   en =  的线性相关性。 例 2 判断下列向量组是否线性相关？如果线性相关，试找出其中的一个向量是其余向 量的线性组合，并写出它的表达式。 （1） (1,0,0), (2,1,0), (4,5,0) 1 = 2 = 3 = （2） (1, , , ), (1, , , ), (1, , , ), (1, , , ) 2 3 4 2 3 3 2 3 2 2 3 1 = a a a  = b b b  = c c c  = d d d 其中 a,b,c,d 各不相同。 例 3 如果 1 2 3  , , 线性无关，证明向量组 1 1 2 2 2 3 3 3 1 4 3  = + 2 , = 2 +3 , =  +  也线性无关。 定理 如果向量组   s , , , 1 2  中有一部分向量线性相关，那么该向量组一定线性相关。 推论 1 若向量组中含有零向量，则此向量组一定线性相关。 推论 2 若向量组   s , , , 1 2  线性无关，则它的任意一个部分组也一定线性无关。 n 维向量组的线性相关性的定理 定理 如果向量组   s , , , 1 2  中有一部分向量线性相关，那么该向量组一定线性相关。 推论 1 若向量组中含有零向量，则此向量组一定线性相关。 推论 2 若向量组   s , , , 1 2  线性无关，则它的任意一个部分组也一定线性无关。 定理 设 ( , , , ), ( , , , , ) i = ai1 ai2  air i = ai1 ai2  air air+1 ，i = 1,2,  ,m 。若 r 维向量组 1 ,2 ,  ,m 线性无关， 则 r+1 维向量组 1 ,2 ,  ,m 也线性无关。 推论 r 维向量组的每个向量添加上 n-r 分量，成为 n 维向量组。若 r 维向量组线性无关， 则 n 维向量组也一定线性无关；反之，若 n 维向量组线性相关，则 r 维向量组也线性相关。 定理 3.4 设有 n 个 n 维向量组 ( , , , ) i = ai1 ai2  ain ，则   n , , , 1 2  线性无关的充分必要条件为