定理 如果向量组4,2,4，B线性相关，而4，4线性无关，则向量组B可由向量组 4,2,4,线性表示，且表示法唯一。 提示：该定理的证明法典型，体现了一种证明题的思路 证明：先证向量B可由向量组，2，G,线性表示：再证表示法唯一。 即设有两种表示法，按定理假设推出两种表示法的系数相等即可。 第三节向量组的秩 向量组之间的线性关系 定义（等价）对于给定的两个向量组(I）a4,4,（Ⅱ)民，B 如果向量组(I)中的每个向量都可由向量组（Ⅱ）中的向量线性表示，则称向量组(I) 可由向量组（Ⅱ）线性表 如果向量组(【)与向量组（Ⅱ）可以相互线性表示，则称向 量组(I 与向量组（Ⅱ）等价。 向量组的等价关系具有如下三个性质 (1)自反性：任意一个向量组都与自身等价： (2)对称性：如果(【)与（Ⅱ）等价，则向量组（Ⅱ）与(1)等价。 (3)传递性：如果(1)~（Ⅱ），（Ⅱ）~（Ⅲ），则(1)~()。 定理如果向量组,2,4，线性无关，并且可以由向量组A,及线性表示，则必有rss。 推论1如果向量组，a,可以由向量组历，及线性表示，而且>s,那么a,4,必 定线性无关。 推论2两个线性无关的等价向量组所含有的向量个数必定相等。 推论3任意含有n+1个n维向量的向量组必定线性相关。 例1向量组4=2,32=32,4=(5，)一定线性相关，但其中任意两个向量都线性无关。 例2判断向量组=(1,00，a2=,010,a=Q,014=0,10,的线性相关性，如线性相关，写出线 性表达形式。 解：设存在四个实数，2，k3k4,使k+西+k马+k=0, +=0 即+购 解得=1=山=L=-1 k+k=0 所以线性表达式为a=一+a 13 0 1 2 21 22 2 11 12 1 =  n n nn n n a a a a a a a a a D       。 定理 如果向量组 1 ,2 ,  ,r , 线性相关，而   r , , , 1 2  线性无关，则向量组  可由向量组   r , , , 1 2  线性表示，且表示法唯一。 提示：该定理的证明法典型，体现了一种证明题的思路。 证明：先证向量  可由向量组   r , , , 1 2  线性表示；再证表示法唯一。 即设有两种表示法，按定理假设推出两种表示法的系数相等即可。 第三节 向量组的秩 向量组之间的线性关系 定义（等价）对于给定的两个向量组（Ⅰ）   r , , , 1 2  ，（Ⅱ）   s , , , 1 2  如果向量组（Ⅰ）中的每个向量都可由向量组（Ⅱ）中的向量线性表示，则称向量组（Ⅰ） 可由向量组（Ⅱ）线性表示，如果向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）可以相互线性表示，则称向 量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价。 向量组的等价关系具有如下三个性质 （1）自反性：任意一个向量组都与自身等价； （2）对称性：如果（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，则向量组（Ⅱ）与（Ⅰ）等价。 （3）传递性：如果（Ⅰ）~（Ⅱ），（Ⅱ）~（Ⅲ），则（Ⅰ）~（Ⅲ）。 定理 如果向量组   r , , , 1 2  线性无关，并且可以由向量组   s , , , 1 2  线性表示，则必有 r  s 。 推论 1 如果向量组   r , , , 1 2  可以由向量组   s , , , 1 2  线性表示，而且 r  s ，那么   r , , , 1 2  必 定线性无关。 推论 2 两个线性无关的等价向量组所含有的向量个数必定相等。 推论 3 任意含有 n+1 个 n 维向量的向量组必定线性相关。 例 1 向量组 (2,3), (3,2), ( 5,7) 1 = 2 = 3 = − 一定线性相关，但其中任意两个向量都线性无关。 例 2 判断向量组 (1,1,0,0), (1,0,1,0), (0,0,1,1), (0,1,0,1) 1 = 2 = 3 = 4 = 的线性相关性，如线性相关，写出线 性表达形式。 解：设存在四个实数 1 2 3 4 k ,k ,k ,k ，使 k11 + k22 + k33 + k44 = 0， 即        + = + = + = + = 0 0 0 0 3 4 2 3 1 4 1 2 k k k k k k k k ，解得 k1 =1,k2 = −1,k3 =1,k4 = −1。 所以线性表达式为 4 =1 −2 +3