(三)总结所将讲主要内容 布置作业 (四 回顾矩阵的秩及向量组的线性相关性的概念及判断，引入新课。 (五) 新课。 第三节向量组的秩 向品组的科 定义：如果一个向量组的部分组满足 (1)这个部分组是线性无关的： (2)从该向量组剩余的向量中任取一个向量添加到这个部分组中，新的部分组一定线性相 关。 训称这个部公细是该向量组的一个极大线性无关细 利用定理可以知道， 上述定义中的(2) 可以改写成 (2*)该向量组中的任意 个都可以用这个部分组中的向量线性表示： (2*)该向量组中的其余向量都可以用这个部分组中的向量线性表示。 例14=0.0，.4=@10.a=(010,4=-10 可见，4,2线性无关，且四=4+2,4=4-2，所以，西2向量组的极大线性无关组。又，a 也是线性无关的，且m=-%,a=2%-a4,所以m,4也是向量组的一个极大线性无关组。 由此可见，一个向量组的极大无关组不唯一。 定理 一个向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等。 向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为该向量组的秩 矩阵的行秩与列秩 设A是一个m×n矩阵： (2.an A的每一列元都构成一个m维向量，共有n个，记B,=(a,2,a了，称之为A的列向 量组。A的每一行元都构成一个n维向量，共有m个，记为a=(a1,a2,4),称之为A的行 向量组 定义 矩阵A的行向量组的秩，称为A的行秩：矩阵的列向量组的秩，称为A的列秩， 定理 矩阵A的行秩等于矩阵A的列秩。 推论：矩阵A的列秩与矩阵A的行秩相等，且都等于矩阵A的秩。 定理如果矩阵A经过有限次初等行变换化成矩阵B,则A与B中任何对应的列向量组都 有相同的线性相关性，且A中任何列向量组之间的线性表达式与B中对应的列向量组之间的 线性表达式完全相同。 例2求向量组=1-25-3.2=(5,4-1915.=（←10-16-15.a4=(4-1-23)的一个极大线性无关组 并把它用向量组中的其余线性表示。14 （三） 总结所将讲主要内容 布置作业 （四） 回顾矩阵的秩及向量组的线性相关性的概念及判断，引入新课。 （五） 新课。 第三节 向量组的秩 向量组的秩 定义：如果一个向量组的部分组满足 （1） 这个部分组是线性无关的； （2） 从该向量组剩余的向量中任取一个向量添加到这个部分组中，新的部分组一定线性相 关。 则称这个部分组是该向量组的一个极大线性无关组。 利用定理 可以知道，上述定义中的（2）可以改写成 （2*）该向量组中的任意一个都可以用这个部分组中的向量线性表示； （2**）该向量组中的其余向量都可以用这个部分组中的向量线性表示。 例 1 (1,0,0), (0,1,0), (1,1,0), (1, 1,0) 1 = 2 = 3 = 4 = − 可见， 1 2  , 线性无关，且 3 1 2 4 1 2  = + , = − ，所以 1 2  , 向量组的极大线性无关组。又 1 4  , 也是线性无关的，且 2 1 4 3 2 1 4  = − , =  − ，所以 1 4  , 也是向量组的一个极大线性无关组。 由此可见，一个向量组的极大无关组不唯一。 定理 一个向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等。 定义 向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为该向量组的秩。 矩阵的行秩与列秩 设 A 是一个 m  n 矩阵：               = m m mn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 A 的每一列元都构成一个 m 维向量，共有 n 个，记 T j a j a j amj ( , , , )  = 1 2  ，称之为 A 的列向 量组。A 的每一行元都构成一个 n 维向量，共有 m 个，记为 ( , , , ) i = ai1 ai2  ain ，称之为 A 的行 向量组。 定义 矩阵 A 的行向量组的秩，称为 A 的行秩；矩阵的列向量组的秩，称为 A 的列秩。 定理 矩阵 A 的行秩等于矩阵 A 的列秩。 推论：矩阵 A 的列秩与矩阵 A 的行秩相等，且都等于矩阵 A 的秩。 定理 如果矩阵 A 经过有限次初等行变换化成矩阵 B，则 A 与 B 中任何对应的列向量组都 有相同的线性相关性，且 A 中任何列向量组之间的线性表达式与 B 中对应的列向量组之间的 线性表达式完全相同。 例 2 求向量组 (1, 2,5, 3), (5,4, 19,15), ( 10, 1,16, 15), (4, 1, 2,3) 1 = − − 2 = − 3 = − − − 4 = − − 的一个极大线性无关组， 并把它用向量组中的其余线性表示