51、二次型及其矩阵表示 二、n元二次型及其矩阵表示 定义2 称n元实二次齐次式 f(x1,x2,…x)=a1x2+2a12x1x2+…+2a1nx1xn +a2x2+…+2a 为n元实二次型. 记a1=an则f(x,x2…x)=∑∑ax,(或∑4x) I j=l 记X=(x1,x2,…,x),A=(an)m,则f(x1,x2,…,x)=XA, 其中A称为二次型的矩阵,A的秩称为二次型的秩 注:(出,所以AT=A, ②A中an是x2的系数,an是交叉项xx系数的一半 n元实二次型f 对应n阶实对称矩阵A 第七章二次砖与二次曲面定义2 第七章 二次型与二次曲面 §1、二次型及其矩阵表示 二、n 元二次型及其矩阵表示 称 n 元实二次齐次式 n n n f x x x a x a x x a x x 1 2 1 2 1 1 2 ( 1 , 2 ,  , ) = 1 1 1 + 2 ++ 2 n n a x a x x 2 2 2 + 22 2 ++ 2 + 2 nn n + a x 为 n 元实二次型. 记 aij = aji, 则 = = = n i n j n ij i j f x x x a x x 1 1 1 2 ( , ,, ) ( ) , 1 = n i j ij i j 或 a x x 记 X = ( x1 , x2 , …, xn ) T, A =( aij )nn , 则 f ( x1 , x2 , …, xn ) = X TAX , 其中 A 称为二次型的矩阵，A 的秩称为二次型的秩. ① 由于aij = aji , 所以 A T= A , ② A中 aii 是 xi 2 的系数, aij 是交叉项 xixj 系数的一半. 注: n 元实二次型 f n 阶实对称矩阵 A 一一对应